精选母题第2讲：等腰三角形的性质与判定-2025-2026学年苏科版数学八年级上学期

2025—2026学年八年级上学期数学精选母题系列 精选母题第2讲：等腰三角形的性质与判定 母题1：根据等腰的定义求周长 等腰三角形的两边长分别为4和6，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．14 B．12 C．14或16 D．12或14 ▋▎名师点拨 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．注意分情况讨论．根据三角形三边之间的关系，确定该等腰三角形的底和腰即可求出周长． 【详解】解：若腰长为4，则，满足题意． 若腰长为6，则，满足题意．…………………避坑指南：此处要分4为腰和6为腰两种情况讨论，涉及等腰三角形的边长问题还要注意检验是否能构成三角形。 ∴该等腰三角形的三边长分别为：4、4、6或6、6、4， ∴该等腰三角形的周长为：14或16． 故选：C． 1．若等腰三角形的一边长是10，另一边长是8，则它的周长是（   ） A．28 B．26 C．18 D．26或28 2．已知等腰三角形的底边长为，一边上的中线把其周长分成两部分，这两部分的差为，则腰长为（    ） A． B． C．或 D． 3. （1）等腰三角形的两条边长分别为9和12，则这个等腰三角形的周长是 ． （2）若等腰三角形的周长为，一条边长为，则这个等腰三角形的底边长为 ． 4. 一个等腰三角形的三边长分别为，，，则它的周长是 ． 母题2：根据等腰的定义求内角 已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（   ） A． B．或 C． D． ▋▎名师点拨 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质，分为顶角和底角两种情况分析求解即可． 【详解】解：若为顶角，符合题意；…………………避坑指南：此处要分为顶角和为底角两种情况讨论， 若为底角，但不符合三角形的内角和定理， 故该等腰三角形的顶角是． 故选：D． …………………名师点拨：对题目中不明确的条件要能想到分类讨论。 1．如果等腰三角形的一个角是70°，那么它的底角是（　　） A．55° B．70°或40° C．40°或55° D．70°或55° 2．等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（  ） A． B．或 C． D．或 3. 已知等腰三角形的一个内角为，则另两个角的度数是 ． 4. 等腰中，已知一内角等于，求三角形的底角为 ． 母题3：根据三线和一证明求解 如图，在中，，E为边上的点，且，D为线段的中点，过点E作，过点A作，且相交于点F． (1)求证：； (2)求证：． ▋▎名师点拨 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由余角的性质可得； （2）由“”可证，可得． 【详解】（1）证明：∵，D为线段的中点， ∴，…………………名师点拨：等腰三角形的三线合一的性质，形式变换多样，要根据题目条件和自己要证的结论选择正确的形式。 ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 1．如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接． (1)若，，求的周长． (2)分别过点，作于、于，若，，求的长． 2．如图，在等腰和等腰中，，，且、、三点共线，作于．若，，求． 3．如图，中，平分，，求证：． 4．如图，在等边中，交于C，交于B，延长到E，使得，过作于F． (1)求证：； (2)连接，求证：． 母题4：根据等边对等角求角度 如图，在中，高和交于点H，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． ▋▎名师点拨 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】由同角的余角相等，结合已知可证，可得，从而可得，进而可得的度数． 【详解】解：∵和是的高， ∴，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，…………………名师点拨：“等边对等角”是常用的证明两角相等的策略之一，但要注意使用条件：只能在同一个三角形内使用，如果两个角出现在两个不同的三角形中，可以考虑用全等证明。 ∵， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 【点睛】本题考查同角的余角相等，三角形全等的判定和性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余． 1．如图，点D，E在的边上，，再添加一个条件能推理得出，（不添加辅助线），下列条件不可以的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，，相交于点，若，，则 ． 3．在中，为钝角，都是这个三角形的高，P为的中点，若，则的度数为 ． 4．如图，在中，，点为的中点，，过点分别作、，垂足分别为，，连接，． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； 母题5：等腰三角形的判定问题 如图，中，，，是角平分线，于，、相交于点，则图中的等腰三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ▋▎名师点拨 【知识点】角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；要综合运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，找到相等的线段，来判定等腰三角形． 根据等腰三角形的判定，运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，证得，则可得，，即、、、是等腰三角形． 【详解】解：，， ，， 是角平分线， ， ． 是等腰三角形．…………………名师点拨：等腰三角形的判定方法，可以通过定义证明两边相等，也可以通过等角对等边来证明。 是角平分线，，， ， ， 、是等腰三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， 也是等腰三角形， 此图中有4个等腰三角形． 故选：C． 1．观察下列尺规作图的痕迹，不能判断是等腰三角形的是（   ） A． B． C． D． 2. 如图，在中，，CD是边AB上的高，的平分线AF交CD于点E，交BC于点F，则必为（   ） A．一般三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．已知点O到的两边、所在直线的距离相等，且． (1)如图（1），若点O在上，求证：； (2)如图（2），若点O在的内部，求证：； (3)若点O在的外部，还成立吗？请画图表示． 4．从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就说原三角形可分割，这条线段叫做这个三角形的分割线． 例如图1，从的顶点A引一条线段，若、都是等腰三角形，则可分割，线段即为的分割线．那么，是否所有的三角形均可分割呢？为此，小许同学展开了探究． (1)她发现如图2，图3所示的均可分割，请你在图2，图3中选一个，用尺规作图画出它们的分割线；（不写作法，但保留作图痕迹） (2)她猜想：“直角三角形都是可分割三角形”，你觉得她的猜想正确吗？若正确，请证明：若不正确，请举一个反例． 母题6：等边三角形的性质判定 如图，，为正三角形（即三边相等，三个角都为），C，A，D三点共线，与交于点G，与交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连结，求证：． ▋▎名师点拨 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，求得，证明，即可得到结论； （2）根据得出，再根据“”即可得到结论； （3）由（2）知，，推出是等边三角形，得到，根据平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵为正三角形， ， ， 在和中 ， ， ． （2）证明：∵， ， ， ， ， 在和中 ， ． （3）证明：∵， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ． 1．如图，中，，，于，平分，交于，交于． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 2．如图，在与中，，，，过点作，交于，交于，连结，交于． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 3．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 4．如图，在等边三角形中，，垂足分别是点E，F，D．若．求证：是等边三角形． 母题7：格点图中画等腰三角形 如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰三角形，且另外一个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形． ▋▎名师点拨 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定与性质，根据等腰三角形的判定画出图形即可． 【详解】解：如图，即为所求． 1．如图，图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形． (1)在图1中，以为腰画一个等腰锐角三角形； (2)在图2中，以为腰画一个等腰直角三角形； (3)在图3中，以为腰画一个等腰钝角三角形． 2．如图，在的网格中，点A，B在格点上，点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 母题8：等腰的性质与判定综合 如图①，等腰中，，点D是上一动点，点E、P分别在的延长线上，且． 【问题思考】在图①中，求证：； 【问题再探】若，如图②，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题拓展】若且平分，如图③，若，求的值． ▋▎名师点拨 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）由题意易证，得出，即得出，从而得出； （2）在上取点G，使，连接GC，易证和为等边三角形，从而可证，得出，进而得出； （3）延长BA、CP交于点H，易证，得出．再证明，得出，从而即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵，AB=AE， ∴，． 又∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （2），理由如下， 如图，在上取点G，使，连接GC． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴为等边三角形，…………………名师点拨：等腰三角形的性质和判定综合问题，通常都是先使用等腰三角形的判定方法证明是等腰三角形，然后再由等腰三角形的性质得出需要的结论或条件，这种问题多数还需要配合全等三角形的性质和判定联合使用。 ∴， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴BG=AP． ∵ ∴EP=GP， ∴； （3）解：延长交于点H，如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，角平分线的定义等知识．掌握全等三角形的性质和判定是解题关键，正确作出辅助线构造等边三角形和全等三角形也是关键． 1．如图①，已知点在线段上，在和中，，，且为的中点． (1)若的延长线交于点，求证：； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若将按如图②所示位置放置，使点在线段的延长线上（其它条件不变），（2）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 2．已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】 （1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】 （2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 3．类比探究∶在中，． 模型建立（1）如图1，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由．小敏认为：可以延长交于点，容易得到与全等，从而解决问题．请你判断线段与的数量关系，并根据她的思路补全证明过程； 模型拓展∶（2）如图2，点在上，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由 4．在△ABC中，，于点D，点E为边上的中点，连接DE．   【基本图形再认识】 如图1，的形状是 三角形； 【基本变换再探索】 如图2，点M为线段上一点，连接，将线段绕点D沿逆时针方向旋转，得线段，连接，求证：； 【基本变换再应用】 如图3，点P为线段上一点，连接，作，交延长线于点Q，线段与之间的数量关系为 ，请说明理由． 2 / 2 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年八年级上学期数学精选母题系列 精选母题第2讲：等腰三角形的性质与判定 母题1：根据等腰的定义求周长 等腰三角形的两边长分别为4和6，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．14 B．12 C．14或16 D．12或14 ▋▎名师点拨 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．注意分情况讨论．根据三角形三边之间的关系，确定该等腰三角形的底和腰即可求出周长． 【详解】解：若腰长为4，则，满足题意． 若腰长为6，则，满足题意．…………………避坑指南：此处要分4为腰和6为腰两种情况讨论，涉及等腰三角形的边长问题还要注意检验是否能构成三角形。 ∴该等腰三角形的三边长分别为：4、4、6或6、6、4， ∴该等腰三角形的周长为：14或16． 故选：C． 1．若等腰三角形的一边长是10，另一边长是8，则它的周长是（   ） A．28 B．26 C．18 D．26或28 【答案】D 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得等腰三角形边长可以是10，10，8或10，8，8， 两种情况都符合三角形三边关系， 所以周长是28或26． 故选：D． 2．已知等腰三角形的底边长为，一边上的中线把其周长分成两部分，这两部分的差为，则腰长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义 【分析】题目主要考查等腰三角形的定义，理解题意，结合图形分情况分析求解即可． 【详解】解：是边的中点， ． （1）如图①，当时， 即当时，； （2）如图②，当， 即时，． 综上所述，腰长为或． 故选C． 3. （1）等腰三角形的两条边长分别为9和12，则这个等腰三角形的周长是 ． （2）若等腰三角形的周长为，一条边长为，则这个等腰三角形的底边长为 ． 【答案】 30或33 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的构成条件、三角形的三边关系，分类讨论是解答的关键： （1）分9为腰和12为腰两种情况讨论即可； （2）分的边为腰和为底边两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：①当9为腰时，满足构成三角形的条件， 故此三角形的周长； ②当12为腰时，满足构成三角形的条件， 故此三角形的周长， 故这个等腰三角形的周长是30或33； （2）解：①当4为腰时，底边长为，，不符合三角形三边关系； ②当4为底边时，腰长为，，符合三角形三边关系． 故这个等腰三角形的底边长为． 故答案为：30或33；． 4. 一个等腰三角形的三边长分别为，，，则它的周长是 ． 【答案】 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的分类讨论及三角形三边之间的关系，明确所给的三边能否组成三角形是解题的关键．分类讨论a的可能值，同时需要考虑所给的三边能否组成三角形． 【详解】当时，三角形的三边为3，3，6，而，不能组成三角形； 当时，三角形的三边为3，6，6，所以它的周长为， 故答案为：． 母题2：根据等腰的定义求内角 已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（   ） A． B．或 C． D． ▋▎名师点拨 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质，分为顶角和底角两种情况分析求解即可． 【详解】解：若为顶角，符合题意；…………………避坑指南：此处要分为顶角和为底角两种情况讨论， 若为底角，但不符合三角形的内角和定理， 故该等腰三角形的顶角是． 故选：D． …………………名师点拨：对题目中不明确的条件要能想到分类讨论。 1．如果等腰三角形的一个角是70°，那么它的底角是（　　） A．55° B．70°或40° C．40°或55° D．70°或55° 【答案】D 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】分已知角是底角与不是底角两种情况，分别结合三角形内角和等于180°求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个角等于70°， ∴①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是70°， ②当这个是70°是顶角，设等腰三角形的底角是x°， 则2x+70°＝180°，解可得，x＝55°，即该等腰三角形的底角的度数是55°； ∴该等腰三角形的底角为70°或55°． 故选D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键． 2．等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类思想的应用，熟练掌握性质和定理．当为顶角时，答案就是本身；当为底角时，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：当为顶角时，答案就是本身； 当为底角时，另一个底角为，顶角为， 故顶角为或． 故选：D． 3. 已知等腰三角形的一个内角为，则另两个角的度数是 ． 【答案】，或， 【知识点】等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 等腰三角形两个底角相等，分两种情况：角为顶角和角为底角，分别计算另外两个角即可． 【详解】解：若角为顶角，则另外两个底角为：； 若角为底角，则另外一个底角也为，则顶角为：． 故答案为：，或，． 4. 等腰中，已知一内角等于，求三角形的底角为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质分两种情况进行讨论． 根据等腰三角形的性质分类讨论即可． 【详解】解：①当是底角时，则答案为：； ②当是顶角时，底角为：； 所以底角的度数为或． 故答案为：或． 母题3：根据三线和一证明求解 如图，在中，，E为边上的点，且，D为线段的中点，过点E作，过点A作，且相交于点F． (1)求证：； (2)求证：． ▋▎名师点拨 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由余角的性质可得； （2）由“”可证，可得． 【详解】（1）证明：∵，D为线段的中点， ∴，…………………名师点拨：等腰三角形的三线合一的性质，形式变换多样，要根据题目条件和自己要证的结论选择正确的形式。 ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 1．如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接． (1)若，，求的周长． (2)分别过点，作于、于，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质． （1）根据垂直平分线的性质得到，由的周长为即可解答； （2）先证明，推出，求出，再根据等腰三角形三线合一求出，由即可解答． 【详解】（1）解：点在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为； （2）解：∵、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．如图，在等腰和等腰中，，，且、、三点共线，作于．若，，求． 【答案】7 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三线合一 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． 由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可得，可得出答案． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， 又， ， ，，， ， ． 3．如图，中，平分，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．过点D作，垂足为E，由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据“角角边”证明，最后根据全等三角形对应边相等即可证明． 【详解】证明：过点D作，垂足为E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在等边中，交于C，交于B，延长到E，使得，过作于F． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三线合一、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． （1）根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后求出； （2）根据两直线平行，内错角相等求出，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用等腰三角形三线合一的性质证明即可． 【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 母题4：根据等边对等角求角度 如图，在中，高和交于点H，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． ▋▎名师点拨 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】由同角的余角相等，结合已知可证，可得，从而可得，进而可得的度数． 【详解】解：∵和是的高， ∴，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，…………………名师点拨：“等边对等角”是常用的证明两角相等的策略之一，但要注意使用条件：只能在同一个三角形内使用，如果两个角出现在两个不同的三角形中，可以考虑用全等证明。 ∵， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 【点睛】本题考查同角的余角相等，三角形全等的判定和性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余． 1．如图，点D，E在的边上，，再添加一个条件能推理得出，（不添加辅助线），下列条件不可以的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、等边对等角、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有：，，，，．根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、添加， ∴，根据能推理得出，故此选项不符合题意； B、添加， ∴，根据能推理得出，故此选项不符合题意； C、添加，又∵， ∴， 同选项A，根据能推理得出，故此选项不符合题意； D、添加，不能推理得出，故此选项符合题意； 故选：D． 2．如图，，相交于点，若，，则 ． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，结合等腰三角形的性质进行角度推导． 根据全等三角形的性质得出，再利用等腰三角形的性质求出和的度数，进而求出的度数，最后通过角的和差关系求出的度数． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．在中，为钝角，都是这个三角形的高，P为的中点，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形中两锐角互余，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边对等角，根据直角三角形中两锐角互余，先求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得到，，根据等边对等角得到，最后根据求出结果． 【详解】解：， ， ，P为的中点， ，， ， ， 故答案为：． 4．如图，在中，，点为的中点，，过点分别作、，垂足分别为，，连接，． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； 【答案】(1)证明见解析(2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】（）连接，由线段垂直平分线的性质得，进而可证，得到，再根据角平分线的判定即可求证； （）由四边形内角和可得，由全等三角形的性质得，进而得到，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵点为的中点，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 母题5：等腰三角形的判定问题 如图，中，，，是角平分线，于，、相交于点，则图中的等腰三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ▋▎名师点拨 【知识点】角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；要综合运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，找到相等的线段，来判定等腰三角形． 根据等腰三角形的判定，运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，证得，则可得，，即、、、是等腰三角形． 【详解】解：，， ，， 是角平分线， ， ． 是等腰三角形．…………………名师点拨：等腰三角形的判定方法，可以通过定义证明两边相等，也可以通过等角对等边来证明。 是角平分线，，， ， ， 、是等腰三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， 也是等腰三角形， 此图中有4个等腰三角形． 故选：C． 1．观察下列尺规作图的痕迹，不能判断是等腰三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键，根据等腰三角形的判定定理对各项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、通过尺规作图，可得，可判断是等腰三角形； B、通过尺规作图，可得，可判断是等腰三角形； C、无法判断是等腰三角形； D、通过尺规作图，可知是作得的垂直平分线，所以，可判断是等腰三角形； 故选：C． 2. 如图，在中，，CD是边AB上的高，的平分线AF交CD于点E，交BC于点F，则必为（   ） A．一般三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关的判定定理． 首先根据条件，是边上的高，可证出，再根据同角的补角相等可得到，再利用三角形的外角与内角的关系可得到，最后利用等角对等边可证出结论． 【详解】是的平分线， 是边上的高， 是等腰三角形， 故选：B． 3．已知点O到的两边、所在直线的距离相等，且． (1)如图（1），若点O在上，求证：； (2)如图（2），若点O在的内部，求证：； (3)若点O在的外部，还成立吗？请画图表示． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)点O在的外部时，不一定成立；画图见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）过点O作于D，作于E，易证得，即可得，根据等角对等边的性质，即可证得； （2）过点O作于D，作于E，易证得，然后又由，根据等边对等角的性质，易证得，根据等角对等边的性质，即可证明； （3）过点O作于D，作的延长线于点E，易证得，然后又由，根据等边对等角的性质，易证得，根据等角对等边的性质，，再画出的情况． 【详解】（1）证明：过点O作于D，作于E，如图1所示： 则，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点O作于D，作于E，如图2所示： 则，， 在和中， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：不一定成立． 证明：如图3，过点O作于D，作于点E，当、两点分别在、的延长线上时，成立， 则，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图4，过点O作于D，作于点E，当点在上、点E在的延长线上时，． 综上分析可知：点O在的外部时，不一定成立． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质以及直角三角形全等的判定与性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法． 4．从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就说原三角形可分割，这条线段叫做这个三角形的分割线． 例如图1，从的顶点A引一条线段，若、都是等腰三角形，则可分割，线段即为的分割线．那么，是否所有的三角形均可分割呢？为此，小许同学展开了探究． (1)她发现如图2，图3所示的均可分割，请你在图2，图3中选一个，用尺规作图画出它们的分割线；（不写作法，但保留作图痕迹） (2)她猜想：“直角三角形都是可分割三角形”，你觉得她的猜想正确吗？若正确，请证明：若不正确，请举一个反例． 【答案】(1)见解析 (2)猜想正确，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握垂直平分线的作图是关键． （1）根据题意作相应边的垂直平分线即可； （2）根据题意进行作图，再利用垂直平分线的性质，等腰三角形的判定进行证明即可． 【详解】（1）解：我选择图2（图3）作图如下： 则线段即为所求的分割线． （2）猜想正确，理由如下： 在，作直角边的垂直平分线分别交直角边、斜边于E、D，连接，则是的分割线． 由垂直平分线性质得：， ∴，是等腰三角形， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴是等腰三角形，故和都是等腰三角形，线段为的分割线． 母题6：等边三角形的性质判定 如图，，为正三角形（即三边相等，三个角都为），C，A，D三点共线，与交于点G，与交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连结，求证：． ▋▎名师点拨 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，求得，证明，即可得到结论； （2）根据得出，再根据“”即可得到结论； （3）由（2）知，，推出是等边三角形，得到，根据平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵为正三角形， ， ， 在和中 ， ， ． （2）证明：∵， ， ， ， ， 在和中 ， ． （3）证明：∵， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ． 1．如图，中，，，于，平分，交于，交于． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】此题考查了等边三角形的判定、直角三角形的性质以及三角形外角的性质． （1）在中，，，得，，又由平分，可得即可证得，继而证得：为等边三角形． （2）由是等边三角形可得，根据等角对等边可得，进而根据含度角的直角三角形的性质，得出，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 又平分， ， ， ， ， 是等边三角形． （2）证明：是等边三角形 ，， ， ， ， 又， ， ． 2．如图，在与中，，，，过点作，交于，交于，连结，交于． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)见解析 (3)4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质． （1）由，可以先证明是等边三角形，所以．再由得到，即可证明是等边三角形； （2）由题意得是的垂直平分线，再由等腰三角形三线合一的性质即可求解； （3）先由等边三角形的性质和证明，从而求出的值，再由等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下； ，， 是等边三角形， ， ， ，， ， 是等边三角形； （2）证明：，， 是的垂直平分线， 即， ， 平分； （3）解：平分，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 3．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)直角三角形，理由见解析 【知识点】全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，进而得到，即可证明是等边三角形； （2）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据可知是直角三角形． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ≌， ，， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ， ≌， ， ， 是直角三角形． 4．如图，在等边三角形中，，垂足分别是点E，F，D．若．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，由全等三角形的性质得到是解决本题的关键． 由等边三角形的性质可得，再由角边角的判定证明和全等，由此可得，再结合有一个角为的等腰三角形为等边三角形证明即可． 【详解】证明：是等边三角形， ． 又， ，且， ． 在和中， ， ≌， ． ． 是等边三角形． 母题7：格点图中画等腰三角形 如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰三角形，且另外一个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形． ▋▎名师点拨 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定与性质，根据等腰三角形的判定画出图形即可． 【详解】解：如图，即为所求． 1．如图，图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形． (1)在图1中，以为腰画一个等腰锐角三角形； (2)在图2中，以为腰画一个等腰直角三角形； (3)在图3中，以为腰画一个等腰钝角三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【知识点】等腰三角形的定义、格点作图题 【分析】本题考查了网格作图，等腰三角形的定义；由等腰三角形的定义作图即可． （1）按等腰三角形的定义作图即可； （2）按等腰三角形的定义作图即可； （3）按等腰三角形的定义作图即可； 【详解】（1）解：如图， 为所求作； （2）解：如图， 为所求作； （3）解：如图， 为所求作． 2．如图，在的网格中，点A，B在格点上，点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 分三种情况： 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点于点、； 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点于点； 当时，作的垂直平分线，交网格的格点于点、、、、； 综上所述，是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是， 故选：C． 3．在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、格点图中画等腰三角形 【分析】本题主要考查等腰三角形的存在性，根据等腰三角形的性质和判定可知要分三种情况讨论，画图即可解决； 【详解】解：如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 综上可知：等腰三角形一共8个， 故选：C． 4．如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 母题8：等腰的性质与判定综合 如图①，等腰中，，点D是上一动点，点E、P分别在的延长线上，且． 【问题思考】在图①中，求证：； 【问题再探】若，如图②，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题拓展】若且平分，如图③，若，求的值． ▋▎名师点拨 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）由题意易证，得出，即得出，从而得出； （2）在上取点G，使，连接GC，易证和为等边三角形，从而可证，得出，进而得出； （3）延长BA、CP交于点H，易证，得出．再证明，得出，从而即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵，AB=AE， ∴，． 又∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （2），理由如下， 如图，在上取点G，使，连接GC． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴为等边三角形，…………………名师点拨：等腰三角形的性质和判定综合问题，通常都是先使用等腰三角形的判定方法证明是等腰三角形，然后再由等腰三角形的性质得出需要的结论或条件，这种问题多数还需要配合全等三角形的性质和判定联合使用。 ∴， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴BG=AP． ∵ ∴EP=GP， ∴； （3）解：延长交于点H，如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，角平分线的定义等知识．掌握全等三角形的性质和判定是解题关键，正确作出辅助线构造等边三角形和全等三角形也是关键． 1．如图①，已知点在线段上，在和中，，，且为的中点． (1)若的延长线交于点，求证：； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若将按如图②所示位置放置，使点在线段的延长线上（其它条件不变），（2）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)成立，见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定． （1）由可得，再根据平行线的性质，推出，根据推出，证出，因为，即可得到； （2）由（1）可知，，再由，可得，从而可得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得结论； （3）作交的延长线于，连接，根据平行线的性质求出，根据证，推出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． ∵为的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰三角形，且是底边的中线， ∴． （3）解：仍成立，证明如下： 作交的延长线于，连接，如图． ∴． 在与中， ∴， ∴． 又∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，且是底边的中线，． 2．已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】 （1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】 （2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 【答案】（1）（2），证明见解析（3）的长为9或1 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，从而得到，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，即可推出； （2）过点D作，交于点M，结合等边三角形的判定与性质，证明即可得证； （3）分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为等边三角形，D为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 故答案为： （2），证明如下： 如图②，过点D作，交于点M， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）的长为9或1，理由如下： 当点Q在线段的延长线上时， 如图③，作交于点M， 由（2）知为等边三角形， ∴，， ∵D为等边的边的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为9或1． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键． 3．类比探究∶在中，． 模型建立（1）如图1，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由．小敏认为：可以延长交于点，容易得到与全等，从而解决问题．请你判断线段与的数量关系，并根据她的思路补全证明过程； 模型拓展∶（2）如图2，点在上，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由 【答案】（1），见解析；（2），见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等腰三角形判定及性质． （1）证明，再利用等腰三角形判定及性质即可得到本题答案； （2）过点作交延长线于，交于，再证明，继而得到本题答案； 【详解】解：（1）延长交于点， ， ∵，， ∴，， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴（ASA）， ∴， ∵， ∴； （2）过点作交延长线于，交于， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴； 4．在△ABC中，，于点D，点E为边上的中点，连接DE．   【基本图形再认识】 如图1，的形状是 三角形； 【基本变换再探索】 如图2，点M为线段上一点，连接，将线段绕点D沿逆时针方向旋转，得线段，连接，求证：； 【基本变换再应用】 如图3，点P为线段上一点，连接，作，交延长线于点Q，线段与之间的数量关系为 ，请说明理由． 【答案】基本图形再认识：等边；基本变换再探索：见解析；基本变换再应用：，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． 基本图形再认识：根据等腰三角形性质得，再根据直角三角形斜边中线的性质得，由此即可得出的形状； 基本变换再探索：由旋转性质得：，由是等边三角形得，由此得，由此可证明和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； 基本变换再应用：延长到H，使，连接，证明是等边三角形得，由此可证明，进而依据“”判定和全等得，则，由此即可得出线段与之间的数量关系． 【详解】基本图形再认识：的形状是等边三角形，理由如下： 解：在中，，，于点D， ∴， ∵点E为边上的中点， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边； 基本变换再探索：证明：由旋转的性质得：，， 由基本图形再认识可知：是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴； 基本变换再应用：解：线段、与之间的数量关系为：，理由如下： 延长到H，使，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由基本图形再认识可知：， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2 / 2 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 学科网（北京）股份有限公司 $