河北常考专题集训5 勾股定理在折叠问题和最短距离问题中的应用-【夺冠百分百】2025-2026学年新教材八年级上册数学新导学课时练（冀教版2024）

8.解：∠ABD=120°，∠D=30°， ∴.∠AED=120°-30°=90°. .St#ABcm=SABc十SAACD=2X300X400十乞X500X1 在Rt△BDE中，BD=520m,∠D=30°， 200=360000(m2). ÷BE=2BD=260m, 因此种植草皮的面积为360000m 【阶梯训练·知能检测】 .DE=√BD2-BE=2603≈450(m). 1.B2.B3.C4.C5.C6.C 答：另一边开挖点E离D450m,正好使A,C,E三，点在同 7.248.16.99.直角三角形 一条直线上. 10,解：在△ABE中，SaE=弓AB·DE, 3 n 9.B10.D11.2 号ABX12=60,解得AB=10, 12.解：(1)海港C受台风影响 :AC=8,BC=6,.AC2+BC2=64+36=100=AB. 理由：如图，过，点C作CD⊥AB 北 ∴.△ABC为直角三角形.∴.∠C=90° 于点D, 11.B12.B13.4 .'AC=300 km,BC=400 km, 14.解：(1)AB⊥BC且AB=BC.理由 AB=500 km, .AC2+BC2=AB*. 如下： 如图①，连接AC, .△ABC是直角三角形 由勾股定理，得AB2=12十22=5， .AC·BC=CD·AB. BC2=1+22=5,AC2=12+32=10, 图① ,∴.300×400=500·CD. ..AB2+BC2=AC2,AB=BC, CD=300X400 500 240(km) .△ABC是直角三角形，∠ABC=90°， ,以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， AB⊥BC, ,海港C受到台风影响 综上所述，AB与BC的关系为AB⊥BC且AB=BC (2)当EC=250km,FC=250km时，正好影响C港口， (2)∠a+∠B=45°. 证明：如图②，连接BC,AC, .ED=√/EC2-CD2=70km,∴.EF=140km. 则BE=CF,DE=AF .台风的速度为20km/h,∴.140÷20=7(h), ∠BED=∠CFA, 即台风影响该海港持续的时间为7h. ∴.△DBE≌△ACF(SAS), 图② 第2课时 勾股定理的逆定理 ∴.∠1=∠a 【知识梳理·自主学习】 由勾股定理，得AB2=12+22=5, (1)a2+b2=c2 BC2=1+22-5,AC2-1+32=10,AB2+BC2=AC2, 【知识要点·多维突破】 .△ABC是直角三角形 1.422.13或√119 ,AB=BC,∴.△ABC是等腰直角三角形， 3.解：0：(2)+r-器-()广 ∴.∠a+∠B=∠1+∠β=45°. 诃北常考专题集训五勾股定理在 .BC2+AC2=AB2.△ABC是直角三角形. AB为斜边，∴.∠C为直角. 折叠问题和最短距离问题中的应用 1.B (2).(n2-1)+(2n)2=n4+2n2+1=(n2+1)2, 2.解：设AD=xcm,由折叠的性质，知EF=DE=CD一CE= .a2十b2=c2,△ABC是直角三角形. 5 cm,AD=AF=BC=x cm, c为斜边，∠C为直角. 由勾股定理，得CF=4cm,AF2=AB2+BF2, 4.B 即x2=82十(x-4)2,解得x=10,∴.BF=6cm, 5.如果三角形的三边长AB,BC,AC满足AB2十BC2=AC2, ∴.图中阴影部分的面积为S△ABr十S△cEP=30cm2. 那么这个三角形就是直角三角形 3.解：(1)如图，作，点A关于1的对称点 E 6.解：如图，连接AC .∠B=90°， 1300m F,连接BF交CD于点P,则点P为 A 所求，此时PA十PB=BF,BF就是 .△ABC是直角三角形. 400m 最短路程。 在Rt△ABC中，根据勾股 1200m 定理，得AC2=AB2+BC2, 300mC (2)如图，过点B作BE⊥BD交CA 的延长线于点E,由题意，得EF= -H 即AC2=4002+3002, BD+AC=600+200=800(m),BE=CD=600m, ..AC=500m. 在△ACD中，AC2+CD2=5002+12002=13002=AD2, 在Rt△BEF中，由勾股定理，得BF=√EF2十BE=1000m, .△ACD是直角三角形. .最短路程为1000m. 4.B5.2.5 6.解：如图，将台阶展开成平面图形 I∠CAM=∠EAN, 后，可知 在△ACM和△AEN中，(AC=AE, AC=5dm,BC=3×(3+1)= ∠C=∠E, 12(dm),∠C=90°. ∴.△ACM≌△AEN(ASA),.AM=AN. 在Rt△ABC中， 9.C10.①② .AB2=AC2+BC2, 11.(1)证明：DE⊥AC,BF⊥AC, .AB=√AC+BC=√5+12=13(dm). .∠DEG=∠BFE=90°. 故蚂蚁从，点A爬到，点B的最短路程是13dm. .AE=CF,.'.AE+EF=CF+EF...AF=CE 7.A (AB=CD, 在Rt△ABF和Rt△CDE中， 8.解：如图是圆柱的侧面展开 AF=CE, 图，线段SF就是蜘蛛走的 ∴.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),.BF=DE 最短路线，在Rt△SFN中，S≌ ∠BGF=∠DGE, '∠SNF=90°，FN=18-2=16(cm),SN= 260= 在△BFG和△DEG中， ∠BFG=∠DEG, BF=DE, 30(cm), ∴.△BFG≌△DEG(AAS)..EG=FG ∴.SF=√SN+NF=√302+162=34(m). (2)解：(1)中结论依然成立」 ∴，蜘蛛需要爬行的最短距离为34cm. 理由如下：AE=CF, 9.解：如图，由题意可得CD=9cm, ..AE-EF=CF-EF...AF=CE AD=12-4-4=4(cm), :DE⊥AC,BF⊥AC, .AC=√AD2+CD=V√97cm. .∠DEC=∠BFA=90° 此时蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为√⑨7cm. (AB=CD, 在Rt△ABF和Rt△CDE中， 如图，将杯子侧面展开，作点A关于EQ的对A: lAF=CE, D 称点A',连接AC,则A'C即为最短距离，则 .Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)..BF=DE. ∠BGF=∠DGE, A'D=2X18=9(cm), 在△BFG和△DEG中，{∠BFG=∠DEG, CQ=12-4=8(cm),CD=4+8=12(cm), BF=DE, 在Rt△A'DC中，由勾股定理，得A'C= ∴.△BFG≌△DEG(AAS)..EG=FG. /AD2+CD=W√/92+122=15(cm), (3)解：如图所示，(1)中的结论依然成立. 则此时蚂蚁吃到蜂蜜的最短距离为15cm. 17.4直角三角形全等的判定 【知识梳理·自主学习】 (1)相等(2)A'B′A'B'C 【知识要点·多维突破】 17.5反证法 1.B2.AE=DF(答案不唯一) 【知识梳理·自主学习】 3.证明：AC⊥BC,BD⊥AD, 1.不正确假设相矛盾错误正确 .∠D=∠C=90°. 【知识要点·多维突破】 在Rt△ABC和R△BAD中，AB=BA, 1.C2.③④①② AC=BD, 3.解：已知：直线AB和CD相交 ∴.Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴.BC=AD 求证：直线AB和CD只相交于一点O. 4.B 证明：假设AB,CD相交于两个交，点O与O',那么过O,O' 5.(1)全等ASA(2)全等AAS(3)全等SAS 两点就有两条直线，这与“过两，点有且只有一条直线”矛盾， (4)全等HL .假设不成立，则两条直线相交只有一个交点. 【阶梯训练·知能检测】 【阶梯训练·知能检测】 1.A2.A3.C4.∠C=∠F(答案不唯一) 1.B2.B3.D4.三个数都为非负数 5.小刘SAS(或小赵HL)6.AB=AC AAS7.50 5.∥不平行于=三角形内角和定理<∠1十∠2= 8.证明：：BA⊥AC,DA⊥AE, 180°假设1112 .∠BAC=∠DAE=90°. 6.证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A. 在Rt△ADE和R△ABC中，AB=AD, (BC=DE, 那么过，点A就有两条直线a,b与直线c平行，这与“过直线 外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成 .Rt△ADE≌Rt△ABC(HL), 立..ab. .∴.∠E=∠C,AE=AC 7.零正数正数题设正数零正数 44心新导学课时练 数学·八年级上·J叮 河北常考专题集训五 勾股定理在折叠问题和最短距离问题中的应用 解题指导 类型二平面图形最短距离问题 1.折叠问题：折叠前后对应角相等，对应边 3.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A,B 相等，然后在图形中找到直角三角形，设 到河岸的距离分别为AC,BD,已知AC= 某条线段为x,利用勾股定理构建方程求 200m,BD=600m,且CD=600m. 解，从而求出线段的长 (1)牧童从A处牵牛到河边饮水后再回家， 2.平面图形最短距离问题：两种思路，一是 试问在何处饮水所走路程最短？ 垂线段最短；二是两点之间线段最短.模 (2)最短路程是多少？ 型如图： B B 3.立体图形最短距离问题：首先转化成平面 图形，再根据两点之间线段最短求最短距 离.计算线段长度时构造直角三角形，运 用勾股定理进行计算 类型一 折叠问题 类型三立体图形最短距离问题 1.(沧州二模)如图是一张直角三角形纸片，两 (一)长方体（或正方体）面上两点间的最短 直角边AC=6cm,BC=8cm,现将△ABC 距离 折叠，使点B与点A重合，折痕为DE,则 4.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点 CD的长为 B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着 长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的 最短距离是 () A.5√21 B.25 C.10W5+5D.35 B5 A.cm B.cm C.2 cm D.3 cm 2.如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点 20 D恰好落在BC边上的点F处，已知CE= -15h0 A 3cm,AB=8cm,求图中阴影部分的面积. 第4题图 第5题图 D 5.(沧州青县月考)如图，一棱长为3cm的正 方体，把所有的面均分成3×3个小正方形， 其边长都是1cm.假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm,则它从底面A处沿表面爬行至侧面 的B处，最少要用时 S. 116 第十七章特殊三角形 新导学课时练了 6.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽 8.如图，圆柱形玻璃容器的高为18cm,底面周 和高分别为5dm,3dm和1dm,A和B是 长为60cm,在外侧距下底1cm的点S处 这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂 有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的 蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想， 外侧距上口1cm的点F处有一只苍蝇，试 这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B 求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最 点的最短路程是多少？ 短距离， 3 9.如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm,底面周长 为18cm,在杯外离杯底4cm的点C处有 一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离 杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，求蚂蚁到 达蜂蜜的最短距离.若将蜂蜜的位置改为在 杯内离杯底4cm的点C处，其余条件不变， 请你求出此时蚂蚁吃到蜂蜜的最短距离 蚂蚁A (二)圆柱面上两点间的最短距离 C蜂蜜 7.如图，在底面周长约为6m的石柱上，有一条 雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正 上方（从点A到点C,B为AC的中点），每根 华表刻有雕龙的部分的柱身高约16m,则雕 刻在石柱上的巨龙长至少为 A.20m B.25mC.30m D.15m 117●