河北常考专题集训4 等腰三角形中常见的证明思路-【夺冠百分百】2025-2026学年新教材八年级上册数学新导学课时练（冀教版2024）

第十七章特殊三角形 新导学课时练① 河北常考专题集训四 等腰三角形中常见的证明思路 解题指导 类型二利用“三线合一”证明垂直和角相等 1.利用“等边对等角”证明角相等：根据两边 2.如图，在△ABC中，M,N是边BC的三等 相等的三角形是等腰三角形，当然它的底 分点，已知∠B=∠C.求证：AM=AN. 角相等，故可证两角相等.证明它所对的 两边相等是常见的思路 2.利用“三线合一”证明垂直和角相等：“三 线合一”即底边的高线与中线及其底边所 对角的角平分线是同一直线，因此在等腰 三角形中，“三线合一”不仅可以用于证明 角相等，也可以用来证明两线的垂直 关系. 3.利用“平行线十角平分线”证明等腰三角 形：当角的平分线与该角的一边平行的直 线相交时，就出现了同一个三角形中两个 相等的角，也就出现了等腰三角形 4.利用“全等三角形”证明等腰三角形：当三 3.在四边形ABCD中，AD∥BC,E为CD的 角形的两边或两角在两个三角形内时，用 中点，连接AE,BE,延长AE与BC的延长 全等来证角或线段相等是最直接的思路 线交于点F,AB=BF.求证：BE⊥AE 类型一利用“等边对等角”证明角相等 1.在△ABC中，D为边BC上一点，AB= AD-CD (1)求证：∠ABC=2∠C. (2)过点B作AD的平行线交CA的延长线于 点E,若AD平分∠BAC,求证：AE=AB, 105● 己新导学课时练 数学·八年级上·J叮 类型三利用“平行线十角平分线”证明等腰 类型四利用“全等三角形”证明等腰三角形 三角形 5.如图，点D是△ABC内部的一点，AD是 4.（保定定州市期末)如图，在△ABC中，AB= ∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB,DF⊥ AC,M,N分别是AB,AC边上的点，并且 AC,垂足分别为E,F,且BE=CF】 MN∥BC. 求证：△ABC为等腰三角形 (1)求证：△AMN是等腰三角形 (2)P是MN上的一点，并且BP平分 ∠ABC,求证：△BPM是等腰三角形 6.(北京期中)如图，B,E,C,F是直线1上的 四点，AC,DE相交于点G,AB=DF,AC= DE,BE=CF. (1)求证：△ABC≌△DFE (2)求证：△GEC是等腰三角形. 82106第十七章 特殊三角形 第2课时等腰三角形的判定 【知识梳理·自主学习】 17.1等腰三角形 1.相等等角对等边2.相等60° 第1课时 等腰三角形的性质 【知识要点·多维突破】 【知识梳理·自主学习】 1.B2.3 1.腰底边顶角底角 3.解：△ADE,△CDB,△ADC,△DEC是等腰三角形. 2.(1)相等(2)三线合 4.D5.C 3.(1)相等(2)60° 6.证明：∠ACD=120°，.∠ACB=180°-∠ACD=60. 【知识要点·多维突破】 ∠A=60°，.∠B=180°-∠A-∠ACB=60°， .∠A=∠B=∠ACB=60°，.△ABC是等边三角形 1.D2.45° 3.解：∠A=36° 【阶梯训练·知能检测】 4.B5.AD垂直平分BC 1.C2.C3.D4.A5.等边6.6 7.解：△APQ是等边三角形.理由如下： 6.解：.AB=AC,AD为△ABC的中线， ,'△ABC是等边三角形，.AB=AC,∠BAC=60° .AD平分∠BAC,AD⊥BC (AB=AC, :AD平分∠BAC,∠BAD=号∠BAC=38 在△ABP和△ACQ中，∠ABP=∠ACQ .AD=AE,.∠AED=∠ADE=71°， BP=CQ, .∠BDE=∠ADB-∠ADE=19°. .△ABP≌△ACQ(SAS)..AP=AQ,∠BAP=∠CAQ. 7.C8.D9.120° ∴·∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=∠BAP+∠CAP=∠BAC=60°. 【阶梯训练·知能检测】 △APQ是等边三角形. 1.C2.D3.B4.A5.D6.B 8.A9.120°或75°或30° 7.证明：(1)ABCD, 10.(1)证明：，OB=OC,∴.∠OBC=∠OCB. ,'.∠AEC=∠ECD,∠BED=∠EDC. :BE,CD是两条高，∴∠BDC=∠CEB=90° CE=DE,.∠ECD=∠EDC, ∴.∠CBD=∠BCE,即∠ABC=∠ACB, .∠AEC=∠BED. ∴AB=AC,∴，△ABC是等腰三角形. (2),E是AB的中点，∴.AE=BE. (2)解：AO⊥BC.理由如下：如图，延长 AE=BE, AO交BC于点F 在△AEC和△BED中， ∠AEC=∠BED, (AB=AC, EC=ED, 在△AOB和△AOC中，OB=OC, ∴.△AEC≌△BED(SAS),∴.AC=BD. OA=OA, 8.B9.A10.(1)100(2)9 ∴，△AOB≌△AOC,∴.∠BAF=∠CAF, 11.解：(1)115小 ∴点O在∠BAC的平分线上. (2)当DC=2时，△ABD≌△DCE.理由如下： ,AB=AC,.AF⊥BC,即AO⊥BC. AB=AC,∠B=∠C=40°， 11.解：(1)题图①中共有两个等腰三角形：△ABC,△BDC ∴.∠DEC+∠EDC=140°. (2)题图②比题图①增加了三个等腰三角形：△AEF, :∠ADE=40°，.∠ADB+∠EDC=140°， △EBD,△FDC. ,∴.∠ADB=∠DEC. 变式一：题图③中共有两个等腰三角形：△EBD,△FDC I∠ADB=∠DEC, 线段EF,BE,CF之间的数量关系是EF=BE十CF. 在△ABD和△DCE中，{∠B=∠C, 变式二：题图④中共有两个等腰三角形：△EBO,△FOC, AB=DC, 线段EF,BE,CF之间的数量关系是EF=BE一CF ∴.△ABD≌△DCE(AAS). 理由如下： (3)当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等 .EO∥BC,.∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCG. 腰三角形， ,'BO,CO分别平分∠ABC与∠ACG, 当DA=DE时，∠DAE=∠DEA=70°， ∴.∠EBO=∠OBC,∠ACO=∠OCG, .∠BDA=∠DAE+∠C=70°+40°=110°； ∴.∠EOB=∠EBO,∠ACO=∠FOC, 当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°， ..BE=OE,CF=FO. .∠DAE=100°，此时，点D与点B重合，不合题意； .EO=EF+FO,..BE=EF+CF,..EF=BE-CF 当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=40°， 河北常考专题集训四等腰三角形中 ∴.∠BDA=∠DAE+∠C=40°+40°=80°. 综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形 常见的证明思路 1.证明：(1)AB=AD,.∠ABC=∠ADB 状是等腰三角形， 'AD=CD,.∠DAC=∠C. :∠ADB=∠DAC+∠C=2∠C,∴∠ABC=2∠C 4.A5.406.B7.8 (2)AD平分∠BAC,∴.∠DAB=∠CAD. 【阶梯训练·知能检测】 BE∥AD,∠DAB=∠ABE,∠E=∠CAD, 1.C2.B3.D4.C5.B6.56°7.54°8.18cm29.2 .∠ABE=∠E,.AE=AB. 10.C11.A12.34 2.证明：过点A作AD⊥BC于点D,如图所示： 13.解：(1)△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°. ∠B=∠C,∴AB=AC, .AB=12,AD=2,.BD=AB-AD=10. .BD=CD. 在Rt△BDE中，∠BDE=90°一∠B=30°， ,M,N是边BC的三等分点， .∴.BM=MN=CN, BE-BD-5,CE-BC-BE-7. B M DN C .'BD-BM=CD-CN,Ep MD=ND, 在Rt△CFE中，∠CEF=90°-∠C=30°， ∴.AD为线段MN的垂直平分线，.AM=AN 3.证明：：AD∥BC,∠ADC=∠ECF. cF=cE=3.5. ,E是CD的中点，DE=EC ∴.AF=AC-FC=12-3.5=8.5. I∠ADE=∠FCE, I∠BED=∠CFE=90°， 在△ADE与△FCE中，DE=CE, (2)在△BDE和△CEF中，∠B=∠C, N∠AED=∠FEC, DE=EF, .△ADE≌△FCE(ASA),.AE=EF ∴.△BDE≌△CEF(AAS),∴.BE=CF AB=BF,BE⊥AE. CF=号CBB=BC. 4.证明：(1)AB=AC,∠ABC=∠C ,MN∥BC,.∠AMN=∠ABC,∠ANM=∠C, BE=专BC=号X12=4BD=2BE=8, .∠AMN=∠ANM,.AM=AN, ∴.AD=AB-BD=12-8=4. .△AMN是等腰三角形. 14.解：根据题意，得AP=tcm,BQ=tcm, (2)BP平分∠ABC,∠MBP=∠CBP. 在△ABC中，AB=BC=3cm,∠B=60°， .'MN∥BC,∴.∠MPB=∠CBP, ∴.BP=(3-t)cm. ∴.∠MBP=∠MPB,.MB=MP 在△PBQ中，BP=(3-t)cm,BQ=tcm, ,△BPM是等腰三角形. 若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°， 5.证明：：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DF⊥AC, ..DE=DF. 当∠BQP=90时，BQ=专BP,即1=号3-)， .∠BED=∠CFD=90°，BE=CF, 解得t=1; ∴.△DBE≌△DCF(SAS), 当∠BPQ=90时，BP=号BQ3-1=方，解得1=2。 1 .BD=CD,∠DBE=∠FCD, ∴.∠DBC=∠DCB, 综上，当t=1或t=2时，△PBQ是直角三角形. .∠DBC+∠EBD=∠DCB+∠FCD, 17.3勾股定理 即∠ABC=∠ACB, AB=AC..△ABC为等腰三角形. 第1课时勾股定理及其应用 6.证明：(1)，BE=CF,.BE+EC=CF+EC,即BC=EF. 【知识梳理·自主学习】 (AB=DF, 1.勾股弦2.a2十b2=c2a2+b2=c2 在△ABC和△DFE中，{AC=DE, 【知识要点·多维突破】 BC=EF, 1.A2.58 ,△ABC≌△DFE(SSS). 3.解：CD⊥AB于点D,AC=20,BC=15,DB=9, (2)由(1)可知△ABC≌△DFE, ∴.在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=152-92=144, ∴.∠ACB=∠DEF,∴.EG=CG,∴.△GEC是等腰三角形 ∴.CD=/144=12. 17.2直角三角形 在Rt△ACD中，AD2=AC2-CD2=202-144=256, 【知识梳理·自主学习】 .AD=√256=16，.AB=AD+DB=16+9=25. 1.90°Rt△2.(1)互余(2)一半(3)一半 4.C5.5 3.互余 6.解：设门高为x尺，则竹竿长为(x+1)尺， 【知识要点·多维突破】 根据勾股定理，可得x2十4=(x十1)2，即x2+16=x2十2x十1， 1.C2.40° 解得x=7.5, 3.证明：，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 故门高7.5尺，竹竿长为7.5+1=8.5（尺）. .∠ACD+∠DCB=90°. 【阶梯训练·知能检测】 :∠ACD=∠B,∴∠B+∠DCB=90°， ∴，△BCD是直角三角形. 1B2.D3.D4A5.号657.100或28