17.3 第1课时勾股定理及其应用-【夺冠百分百】2025-2026学年新教材八年级上册数学新导学课时练（冀教版2024）

它新导学课时练 数学·八年级上·J叮 17.3勾股定理 第1课时勾股定理及其应用 3.如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D, A 知识梳理·自主学习签 AC=20,BC=15,DB=9,求CD的长和 1.勾股定理的有关概念 AB的长。 如图，我国古代把直角三角形中较短的 直角边叫作“ ”,较长的直角边叫作 ”,斜边叫作“ ”.直角三 角形三边之间的关系称为勾股定理. 勾(a 名师点睛 股b) 在直角三角形中应用勾股定理需注意： 2.勾股定理 1.一般直角三角形中，知二可求一 如果直角三角形两直角边分别为a,b, 2.含30°或45°的特殊直角三角形，知一可 斜边为c,那么 表示方法： 求二 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C 3.在折叠问题中，常设未知数，利用勾股定 的对边分别为a,b,c,则 理列方程解决问题。 【温馨提示】(1)勾股定理使用的前提是在直角 知识点二勾股定理的应用 三角形中；(2)要分清直角边和斜边.在 4.(四川巴中中考)“今有池方一丈， Rt△ABC中，直角不一定是∠C,也就是说c 葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸， 不一定是斜边 适与岸齐.问：水深几何？”这是我 B 知识要点·多维突破 国数学史上的“葭生池中”问题，即 B AC=5,DC=1,BD=BA,BC= ( 知识点一 勾股定理 A.8 B.10 C.12 D.13 1.(保定高碑店市期末)如图，若 5.如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面 正方形A的面积为9，正方形 示意图，根据图中的尺寸（单位：mm),计算两 B的面积为4，则正方形C的 圆孔中心A和B的距离为 mm. 面积为 A.13 B.5 C.36 D.√/13 2.在△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的 对边分别为a,b,c.若a=3,b=4,则 C= ;若a=6,c=10,则b= S2110 第十七章 特殊三角形 新导学课时练 6.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长 3.如图，某自动感应门的正上方A处装着一 方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出 个感应器，离地面的高度AB为2.5m,一 1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门 名学生站在C处时，感应门自动打开了，此 宽4尺，求竹竿长与门高.（尺：长度单位） 时这名学生离感应门的距离BC为1.2m, 头顶离感应器的距离AD为1.5m,则这名 学生身高CD为 (). A.0.9m B.1.3m C.1.5m D.1.6m 第3题图 第4题图 4.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是 5,高是12，上底面中心有一个小圆孔，则 名师点睛 条到达底部的直吸管在罐内部分a的 运用勾股定理求解线段长度问题的 长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不 步骤： 计)范围是 () 1.构造直角三角形. A.12≤a≤13 2.找出所求线段与直角三角形三边的关系 B.12≤a≤15 3.根据勾股定理计算或列方程求解」 C.5≤a≤12 D.5≤a≤13 阶梯训练·知能检测 5.在Rt△ABC中，直角边AC=BC=1,则斜 【基础过关】 边AB上的中线长为 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4,则 6.(石家庄藁城区二 AB2-BC2等于 ( ) 模)如图，数轴上 A☑ A.4 B.16 C.20 D.25 A点与数轴原点 0 2.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学 重合，B点表示的数是2.过点B作BC⊥ 定理之一，这是历史上第一个把数与形联系 AB,且BC=1,以点A为圆心，以AC的长 起来的定理，其证明是论证几何的开端.下面 为半径作弧，弧与数轴的交点D所表示的 四幅图中，不能证明勾股定理的是 数是d.则d= 7.(易错题)（沧州任丘市期末）若一个直角三 角形的两边长分别是6,8，则第三边的平方 是 111● 心新导学课时练 数学·八年级上·J灯 8.如图，沿AC方向开山修路.为了加快施工 直角三角形纸片的各边分别向外作正方形 进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 纸片，再把较小的两张正方形纸片按如图 上的一点B取∠ABD=120°，BD=520m, 的方式放置在最大正方形纸片内.若已知 ∠D=30°.那么另一边开挖点E离D多远 图中阴影部分的面积，则可知 () 正好使A,C,E三点在同一条直线上？(3 A.直角三角形纸片的面积 取1.732，结果取整数) B.最大正方形纸片的面积 C.最大正方形与直角三角形纸片面积之和 A BC 120° D.较小的两个正方形纸片重叠部分的面积 520m 30° 11.如图是一连串直 角三角形演化而 成的，其中OA1= A1A2=A2A3= …=A5A。=…=1,则第3个三角形的面 积S3= ;按照上述变化规律，第n (n是正整数)个三角形的面积 S,= 12.(应用意识)台风是一种自然灾害，它以台 风中心为圆心，在周围上千米的范围内形 【素养闯关】 成极端天气，有极强的破坏力.如图，有一 9.下表是小琪填写的数学实践活动报告的部 台风中心沿东西方向AB由点A向点B 分内容： 运动，已知点C为一海港，且点C与直线 题目 AB上两点A,B的距离分别为300km和 测量树的高度 400km,又AB=500km,以台风中心为圆 心周围250km以内为受影响区域. 测量目标示意图 (1)海港C受台风影响吗？为什么？ A (2)若台风的速度为20km/h,则台风影响 ∠CBE=45°，∠EBD=30°， 该海港持续的时间有多长？ 相关数据 BE=3 m 则树高CD为 A.3 m B.(3+√3)m C.4.5m D.(3+√2)m 10.勾股定理是人类最伟 大的科学发现之一， 在我国古算书《周髀 算经》中早有记载.以 S2112:∠ADB=∠DAC+∠C=2∠C,∴∠ABC=2∠C 4.A5.406.B7.8 (2)AD平分∠BAC,∴.∠DAB=∠CAD. 【阶梯训练·知能检测】 BE∥AD,∠DAB=∠ABE,∠E=∠CAD, 1.C2.B3.D4.C5.B6.56°7.54°8.18cm29.2 .∠ABE=∠E,.AE=AB. 10.C11.A12.34 2.证明：过点A作AD⊥BC于点D,如图所示： 13.解：(1)△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°. ∠B=∠C,∴AB=AC, .AB=12,AD=2,.BD=AB-AD=10. .BD=CD. 在Rt△BDE中，∠BDE=90°一∠B=30°， ,M,N是边BC的三等分点， .∴.BM=MN=CN, BE-BD-5,CE-BC-BE-7. B M DN C .'BD-BM=CD-CN,Ep MD=ND, 在Rt△CFE中，∠CEF=90°-∠C=30°， ∴.AD为线段MN的垂直平分线，.AM=AN 3.证明：：AD∥BC,∠ADC=∠ECF. cF=cE=3.5. ,E是CD的中点，DE=EC ∴.AF=AC-FC=12-3.5=8.5. I∠ADE=∠FCE, I∠BED=∠CFE=90°， 在△ADE与△FCE中，DE=CE, (2)在△BDE和△CEF中，∠B=∠C, N∠AED=∠FEC, DE=EF, .△ADE≌△FCE(ASA),.AE=EF ∴.△BDE≌△CEF(AAS),∴.BE=CF AB=BF,BE⊥AE. CF=号CBB=BC. 4.证明：(1)AB=AC,∠ABC=∠C ,MN∥BC,.∠AMN=∠ABC,∠ANM=∠C, BE=专BC=号X12=4BD=2BE=8, .∠AMN=∠ANM,.AM=AN, ∴.AD=AB-BD=12-8=4. .△AMN是等腰三角形. 14.解：根据题意，得AP=tcm,BQ=tcm, (2)BP平分∠ABC,∠MBP=∠CBP. 在△ABC中，AB=BC=3cm,∠B=60°， .'MN∥BC,∴.∠MPB=∠CBP, ∴.BP=(3-t)cm. ∴.∠MBP=∠MPB,.MB=MP 在△PBQ中，BP=(3-t)cm,BQ=tcm, ,△BPM是等腰三角形. 若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°， 5.证明：：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DF⊥AC, ..DE=DF. 当∠BQP=90时，BQ=专BP,即1=号3-)， .∠BED=∠CFD=90°，BE=CF, 解得t=1; ∴.△DBE≌△DCF(SAS), 当∠BPQ=90时，BP=号BQ3-1=方，解得1=2。 1 .BD=CD,∠DBE=∠FCD, ∴.∠DBC=∠DCB, 综上，当t=1或t=2时，△PBQ是直角三角形. .∠DBC+∠EBD=∠DCB+∠FCD, 17.3勾股定理 即∠ABC=∠ACB, AB=AC..△ABC为等腰三角形. 第1课时勾股定理及其应用 6.证明：(1)，BE=CF,.BE+EC=CF+EC,即BC=EF. 【知识梳理·自主学习】 (AB=DF, 1.勾股弦2.a2十b2=c2a2+b2=c2 在△ABC和△DFE中，{AC=DE, 【知识要点·多维突破】 BC=EF, 1.A2.58 ,△ABC≌△DFE(SSS). 3.解：CD⊥AB于点D,AC=20,BC=15,DB=9, (2)由(1)可知△ABC≌△DFE, ∴.在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=152-92=144, ∴.∠ACB=∠DEF,∴.EG=CG,∴.△GEC是等腰三角形 ∴.CD=/144=12. 17.2直角三角形 在Rt△ACD中，AD2=AC2-CD2=202-144=256, 【知识梳理·自主学习】 .AD=√256=16，.AB=AD+DB=16+9=25. 1.90°Rt△2.(1)互余(2)一半(3)一半 4.C5.5 3.互余 6.解：设门高为x尺，则竹竿长为(x+1)尺， 【知识要点·多维突破】 根据勾股定理，可得x2十4=(x十1)2，即x2+16=x2十2x十1， 1.C2.40° 解得x=7.5, 3.证明：，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 故门高7.5尺，竹竿长为7.5+1=8.5（尺）. .∠ACD+∠DCB=90°. 【阶梯训练·知能检测】 :∠ACD=∠B,∴∠B+∠DCB=90°， ∴，△BCD是直角三角形. 1B2.D3.D4A5.号657.100或28 8.解：∠ABD=120°，∠D=30°， ∴.∠AED=120°-30°=90°. .St#ABcm=SABc十SAACD=2X300X400十乞X500X1 在Rt△BDE中，BD=520m,∠D=30°， 200=360000(m2). ÷BE=2BD=260m, 因此种植草皮的面积为360000m 【阶梯训练·知能检测】 .DE=√BD2-BE=2603≈450(m). 1.B2.B3.C4.C5.C6.C 答：另一边开挖点E离D450m,正好使A,C,E三，点在同 7.248.16.99.直角三角形 一条直线上. 10,解：在△ABE中，SaE=弓AB·DE, 3 n 9.B10.D11.2 号ABX12=60,解得AB=10, 12.解：(1)海港C受台风影响 :AC=8,BC=6,.AC2+BC2=64+36=100=AB. 理由：如图，过，点C作CD⊥AB 北 ∴.△ABC为直角三角形.∴.∠C=90° 于点D, 11.B12.B13.4 .'AC=300 km,BC=400 km, 14.解：(1)AB⊥BC且AB=BC.理由 AB=500 km, .AC2+BC2=AB*. 如下： 如图①，连接AC, .△ABC是直角三角形 由勾股定理，得AB2=12十22=5， .AC·BC=CD·AB. BC2=1+22=5,AC2=12+32=10, 图① ,∴.300×400=500·CD. ..AB2+BC2=AC2,AB=BC, CD=300X400 500 240(km) .△ABC是直角三角形，∠ABC=90°， ,以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， AB⊥BC, ,海港C受到台风影响 综上所述，AB与BC的关系为AB⊥BC且AB=BC (2)当EC=250km,FC=250km时，正好影响C港口， (2)∠a+∠B=45°. 证明：如图②，连接BC,AC, .ED=√/EC2-CD2=70km,∴.EF=140km. 则BE=CF,DE=AF .台风的速度为20km/h,∴.140÷20=7(h), ∠BED=∠CFA, 即台风影响该海港持续的时间为7h. ∴.△DBE≌△ACF(SAS), 图② 第2课时 勾股定理的逆定理 ∴.∠1=∠a 【知识梳理·自主学习】 由勾股定理，得AB2=12+22=5, (1)a2+b2=c2 BC2=1+22-5,AC2-1+32=10,AB2+BC2=AC2, 【知识要点·多维突破】 .△ABC是直角三角形 1.422.13或√119 ,AB=BC,∴.△ABC是等腰直角三角形， 3.解：0：(2)+r-器-()广 ∴.∠a+∠B=∠1+∠β=45°. 诃北常考专题集训五勾股定理在 .BC2+AC2=AB2.△ABC是直角三角形. AB为斜边，∴.∠C为直角. 折叠问题和最短距离问题中的应用 1.B (2).(n2-1)+(2n)2=n4+2n2+1=(n2+1)2, 2.解：设AD=xcm,由折叠的性质，知EF=DE=CD一CE= .a2十b2=c2,△ABC是直角三角形. 5 cm,AD=AF=BC=x cm, c为斜边，∠C为直角. 由勾股定理，得CF=4cm,AF2=AB2+BF2, 4.B 即x2=82十(x-4)2,解得x=10,∴.BF=6cm, 5.如果三角形的三边长AB,BC,AC满足AB2十BC2=AC2, ∴.图中阴影部分的面积为S△ABr十S△cEP=30cm2. 那么这个三角形就是直角三角形 3.解：(1)如图，作，点A关于1的对称点 E 6.解：如图，连接AC .∠B=90°， 1300m F,连接BF交CD于点P,则点P为 A 所求，此时PA十PB=BF,BF就是 .△ABC是直角三角形. 400m 最短路程。 在Rt△ABC中，根据勾股 1200m 定理，得AC2=AB2+BC2, 300mC (2)如图，过点B作BE⊥BD交CA 的延长线于点E,由题意，得EF= -H 即AC2=4002+3002, BD+AC=600+200=800(m),BE=CD=600m, ..AC=500m. 在△ACD中，AC2+CD2=5002+12002=13002=AD2, 在Rt△BEF中，由勾股定理，得BF=√EF2十BE=1000m, .△ACD是直角三角形. .最短路程为1000m. 4.B5.2.5