17.2 直角三角形-【夺冠百分百】2025-2026学年新教材八年级上册数学新导学课时练（冀教版2024）

第十七章特殊三角形 新导学课时练。 17.2 直角三角形 A 知识梳理·自主学习 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACD= ∠B.求证：△BCD是直角三角形. 1.直角三角形 有一个角等于 的三角形叫作直 角三角形.直角三角形可以用符号“ 表示 2.直角三角形的性质定理 (1)直角三角形的两个锐角 名师点睛 (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的 证明一个三角形是直角三角形的两种 方法： (3)在直角三角形中，30°角所对的直角边等 1.证明三角形中有一个角是直角. 于斜边的 2.证明三角形中有两个锐角互余. 3.直角三角形的判定定理 有两个角 的三角形是直角三 知识点二直角三角形斜边上的中线等于斜 角形 边的一半 4.（邯郸三模)如图，在△ABC中，∠BAC= B 知识要点·多维突破 90°，D为边BC的中点，顶点B,C分别对应 知识点一 直角三角形的两个锐角互余及判 刻度尺上的刻度2cm和8cm,则AD的长 定定理 为 () 1.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D,下 列结论错误的是 ( A.∠A=∠2 B D/ 中m中T B.∠1和∠B都是∠A的余角 0cm123456789 C.∠1=∠2 A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm D.图中有3个直角三角形 5.若直角三角形斜边上的高和中线长分别是 5cm,8cm,则它的面积是 cm2. …名师点睛 中，点的用法： D 1.若中点是等腰三角形底边上的中点，可应 第1题图 第2题图 用“三线合一”的性质。 2.如图，直线m∥n,Rt△ABC的顶点A在直 2.若中点是直角三角形斜边的中，点，则构造 线n上，∠C=90°，若∠1=20°，∠2=70°，则 斜边上的中线 ∠B= 3.根据中，点平分线段，证明三角形全等。 107● 心新导学课时练 数学·八年级上·JJ 知识点三含30°角的直角三角形的性质 A.变小 B.不变 6.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯 C.变大 D.先变小再变大 示意图.其中AB,CD分别表示一楼、二楼 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B= 地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是 30°，AD平分∠CAB交BC于点D,E 8m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h 为AB上一点，连接DE,则下列说法不 是 一定正确的是 () A.∠CAD=309 B.AD=BD A.3 m B.4 m C.43 m D.8 m C.BD=2CD D.CD=ED 150° A B D 第6题图 第7题图 30 第3题图 第4题图 7.(邯郸丛台区校级期中)如图，在△ABC中， 4.（廊坊广阳区期末)如图，一棵树在一次强台 ∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,∠A=60°， 风中，从离地面6m处折断，倒下的部分与 AD=2,则AB= 地面成30°角，如图所示，这棵树在折断前的 名师点睛 高度是 ( ) 1.应用性质时，条件“30°角”和“直角三角 A.10m B.15m 形”缺一不可. C.18m D.20m 2.在直角三角形中，若一条直角边等于斜边 5.在△ABC中，有下列条件： 的一半，则它所对的角是30° ①∠A+∠B=∠C;②∠A=2∠B=3∠C; 阶梯训练·知能检测 ③∠A=∠B= ∠C,其中能确定△ABC 【基础过关】 是直角三角形的条件有 1.(陕西中考)如图，在△ABC中，∠BAC= A.1个 B.2个 90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点， C.3个 D.0个 连接AE,则图中的直角三角形共有() 6.如图，在Rt△ABC中， A.2个 B.3个C.4个 D.5个 ∠C=90°，AD平分 ∠CAB交BC于点D, BE⊥AD于点E.若∠DBE=28°，则 ∠CAB= 第1题图 第2题图 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥ 2.如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，M为 AB于点D,∠BCD=18°，E是斜边AB的 梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动 中点，则∠DCE的度数为 到CD位置时，滑动过程中OM的长度的变 化规律是 108 第十七章特殊三角形 新导学课时练① 8.(原创题)将一个有45°角的直角三角尺的直 ∠EDB的度数为 角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上. 另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角 尺的一边与纸带的一边所成的角为30°，如 图，则三角尺的面积为 13.如图，等边三角形ABC的边长为12，D为 AB边上一点，过点D作DE⊥BC于点E, 30 过点E作EF⊥AC于点F. 第8题图 第9题图 (1)若AD=2,求AF的长. 9.如图，在△ABC中，AB=BC,∠B=120°， (2)若DE=EF,求AD的长. AB的垂直平分线交AC于点D.若AC= 6cm,则AD= cm. 【素养闯关】 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高， ∠A=30°，则BD与AB的关系是() ABD=号AB B.BD三3A3 C.np- D.BD= 54B 凸面 凹面 14.(动，点探究)如图，△ABC是边长为3cm 宽 的等边三角形，动点P,Q同时从A,B两 宽+ B 宽→ 点出发，分别沿AB,BC方向匀速移动，它 Cobb角>O 宽 们的速度都是1cm/s,当点P到达点B 宽 时，P,Q两点停止运动，设点P的运动时 D 间为ts,当t为何值时，△PBQ是直角三 第10题图 第11题图 角形？ 11.脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧 方弯曲或伴有锥体旋转的脊柱畸形，医学 上常用Cobb角来评估脊柱侧弯的程度，当 Cobb角>10°为脊柱侧弯.如图是脊柱侧弯 Cobb角（∠O)的检测示意图，DA⊥OC于 点A,CB⊥OD于点B,已知Cobb角为 37°，则∠AEC的大小是 () A.37°B.45°C.53 D.63° 12.如图，在四边形ABCD中，∠ABC= ∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连 接BE,ED,BD.若∠BAD=56°，则 109●2:∠ADB=∠DAC+∠C=2∠C,∴∠ABC=2∠C 4.A5.406.B7.8 (2)AD平分∠BAC,∴.∠DAB=∠CAD. 【阶梯训练·知能检测】 BE∥AD,∠DAB=∠ABE,∠E=∠CAD, 1.C2.B3.D4.C5.B6.56°7.54°8.18cm29.2 .∠ABE=∠E,.AE=AB. 10.C11.A12.34 2.证明：过点A作AD⊥BC于点D,如图所示： 13.解：(1)△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°. ∠B=∠C,∴AB=AC, .AB=12,AD=2,.BD=AB-AD=10. .BD=CD. 在Rt△BDE中，∠BDE=90°一∠B=30°， ,M,N是边BC的三等分点， .∴.BM=MN=CN, BE-BD-5,CE-BC-BE-7. B M DN C .'BD-BM=CD-CN,Ep MD=ND, 在Rt△CFE中，∠CEF=90°-∠C=30°， ∴.AD为线段MN的垂直平分线，.AM=AN 3.证明：：AD∥BC,∠ADC=∠ECF. cF=cE=3.5. ,E是CD的中点，DE=EC ∴.AF=AC-FC=12-3.5=8.5. I∠ADE=∠FCE, I∠BED=∠CFE=90°， 在△ADE与△FCE中，DE=CE, (2)在△BDE和△CEF中，∠B=∠C, N∠AED=∠FEC, DE=EF, .△ADE≌△FCE(ASA),.AE=EF ∴.△BDE≌△CEF(AAS),∴.BE=CF AB=BF,BE⊥AE. CF=号CBB=BC. 4.证明：(1)AB=AC,∠ABC=∠C ,MN∥BC,.∠AMN=∠ABC,∠ANM=∠C, BE=专BC=号X12=4BD=2BE=8, .∠AMN=∠ANM,.AM=AN, ∴.AD=AB-BD=12-8=4. .△AMN是等腰三角形. 14.解：根据题意，得AP=tcm,BQ=tcm, (2)BP平分∠ABC,∠MBP=∠CBP. 在△ABC中，AB=BC=3cm,∠B=60°， .'MN∥BC,∴.∠MPB=∠CBP, ∴.BP=(3-t)cm. ∴.∠MBP=∠MPB,.MB=MP 在△PBQ中，BP=(3-t)cm,BQ=tcm, ,△BPM是等腰三角形. 若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°， 5.证明：：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DF⊥AC, ..DE=DF. 当∠BQP=90时，BQ=专BP,即1=号3-)， .∠BED=∠CFD=90°，BE=CF, 解得t=1; ∴.△DBE≌△DCF(SAS), 当∠BPQ=90时，BP=号BQ3-1=方，解得1=2。 1 .BD=CD,∠DBE=∠FCD, ∴.∠DBC=∠DCB, 综上，当t=1或t=2时，△PBQ是直角三角形. .∠DBC+∠EBD=∠DCB+∠FCD, 17.3勾股定理 即∠ABC=∠ACB, AB=AC..△ABC为等腰三角形. 第1课时勾股定理及其应用 6.证明：(1)，BE=CF,.BE+EC=CF+EC,即BC=EF. 【知识梳理·自主学习】 (AB=DF, 1.勾股弦2.a2十b2=c2a2+b2=c2 在△ABC和△DFE中，{AC=DE, 【知识要点·多维突破】 BC=EF, 1.A2.58 ,△ABC≌△DFE(SSS). 3.解：CD⊥AB于点D,AC=20,BC=15,DB=9, (2)由(1)可知△ABC≌△DFE, ∴.在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=152-92=144, ∴.∠ACB=∠DEF,∴.EG=CG,∴.△GEC是等腰三角形 ∴.CD=/144=12. 17.2直角三角形 在Rt△ACD中，AD2=AC2-CD2=202-144=256, 【知识梳理·自主学习】 .AD=√256=16，.AB=AD+DB=16+9=25. 1.90°Rt△2.(1)互余(2)一半(3)一半 4.C5.5 3.互余 6.解：设门高为x尺，则竹竿长为(x+1)尺， 【知识要点·多维突破】 根据勾股定理，可得x2十4=(x十1)2，即x2+16=x2十2x十1， 1.C2.40° 解得x=7.5, 3.证明：，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 故门高7.5尺，竹竿长为7.5+1=8.5（尺）. .∠ACD+∠DCB=90°. 【阶梯训练·知能检测】 :∠ACD=∠B,∴∠B+∠DCB=90°， ∴，△BCD是直角三角形. 1B2.D3.D4A5.号657.100或28