17.2直角三角形（题型专练）数学冀教版2024八年级上册

17.2直角三角形 （9大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 直角三角形的两个锐角互余 题型二 由直角三角形斜边的中线求线段长度、周长、面积 题型三 由直角三角形斜边的中线求角度 题型四 由直角三角形斜边的中线求最值 题型五 由直角三角形斜边的中线进行证明 题型六 从角的角度判定三角形是直角三角形 题型七 由含30°的直角三角形的性质求解 题型八 由含30°的直角三角形的性质进行证明 题型九 含30°的直角三角形的性质的实际应用 能力提升题 题型一 与直角三角形有关的几何多结论问题 题型二 运用直角三角形相关知识解决几何变换问题 基础达标练 题型一 直角三角形的两个锐角互余 1．在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角和等于90度是解题的关键．根据直角三角形两锐角和等于90度求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 2．将直角三角板（含）和直尺按如图方式摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余以及平行线的性质是解题的关键． 先由直角三角形两锐角互余得到，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．如图，在中，于点C，是的平分线，若则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线定义和直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余得，由角平分线定义得，根据直角三角形两锐角互余得． 【详解】解：在中，即，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故选：B． 4．如图，把直尺摆放在直角三角板上，，直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点B作，先根据直角三角形两锐角互余得出的度数，再根据两直线平行，内错角相等得出，，即可求解． 【详解】解：过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，在三角形中，，，，与相等的角（不包括本身）有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．先根据得出，再由可知，故，再由可知，由此可得出结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 6．在中，若两锐角之差为，则较大锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余进行求解即可． 【详解】解：∵在中， 设较小锐角的度数为，则较大锐角的度数为， 直角三角形两锐角互余， 则 则较大的锐角度数为 故选：B． 7．如图，，是的高，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线性质，直角三角形两锐角互余．利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，为的高， ∴平分，， ∴， ∴， ∵是上的高， ∴， ∵是上的高，且， ∴， ∴， 故选：B． 8．如图，已知在中，，于． (1)若，求的度数； (2)若，则 （用的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由直角三角形的性质可得，进而由三角形内角和定理即可求解； （）由直角三角形的性质可得，即得，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，在中，是高，是角平分线． (1)若，，求和的度数． (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理应用，三角形的面积，关键是三角形面积公式的应用． （1）先根据三角形内角和性质得，再结合角平分线的定义得，再结合是高，得出的度数，再根据角的关系进行运算得出的度数，即可作答； （2）运用等面积法进行列式，代入数值进行化简，即可作答． 【详解】（1）解：，， ∴， 是角平分线， ， 是高， ， ， ， ． （2）解：，，，，是高， ， 即， ． 10．如图，在中，，，于点，平分交于点，于点． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形角平分线、中线和高等知识点，能熟记三角形内角和定理等于和直角三角形的两锐角互余是解此题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义即可解答；掌握三角形内角和定理是解题的关键； （2）先根据垂直的定义和直角三角形的性质可得，再结合可得，最后根据直角三角形的性质即可解答；掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型二 由直角三角形斜边的中线求线段长度、周长、面积 11．如图，在中，，点D为边的中点，若，则的长为（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，由直角三角形斜边中线的性质即可求出． 【详解】解：∵在中，，点D为边的中点，， ∴． 故选：A． 12．如图，在中，，，，是的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．由，D是的中点，得，从而可证是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 13．如图，在中，，，于点，是的中点，若，则的长为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形斜边的中线的性质、等边三角形的判定与性质、含有角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据三角形内角和定理可得，由直角三角形斜边的中线性质定理可得，利用等边三角形的性质及含有角的直角三角形的性质进行计算，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 14．如图，在中，为边上的高，点为的中点，连接．若的周长为24，则的周长为（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一得到，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：为边上的高， ， 的周长为24， ， ， 在中，点为的中点， 的周长． 故选：C． 15．如图，在中，，，平分，于点，是的中点，则的周长是（　　） A．9 B．10 C．13 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后代入数据计算即可得解． 【详解】解：，，是的中点， ， ，平分，， 点是的中点，且， ， ， 的周长． 故选：B． 16．如图，中，，，为边上的高，E，F为，上的点，，若，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，由等腰三角形三线合一的性质，以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进一步证明，由全等三角形的性质得出，结合已知条件即可得出，即，再根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵为边上的高， ∴，， ∴， ∵，为边上的高， ∴， ∴ ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴的面积为 故选B． 题型三 由直角三角形斜边的中线求角度 17．如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由等腰三角形的判定与性质，根据等边对等角确定，最后由三角形外角性质代值求解即可得到答案． 【详解】解：在中，是斜边上的中线， ， 则， 是的一个外角， ， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形中求角度，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定与性质、三角形外角性质等知识，熟记三角形相关性质是解决问题的关键． 18．如图，在中，，，，垂足为D，E是的中点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，解题的关键是利用直角三角形斜边上中线的性质得出，进而结合三角形外角性质求出的度数．先根据直角三角形的两个锐角互余，求出的度数，再利用直角三角形斜边上中线的性质得出，进而求出的度数． 【详解】解：在中， ， ， ， 是的中点， ， ， ， 故选：B． 19．如图，在四边形中，，，，点是的中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，由平行线的性质可得，则，通过直角三角形性质可得，所以，通过等腰三角形性质和三角形内角和定理可得，，从而得，再由等腰三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 20．如图，在中，，为边上的中线，平分，交于点D，过点B作，垂足为点F，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 由直角三角形的两锐角互余可得，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，由等腰三角形的性质得出，由角平分线定义得出，由三角形的外角性质得出，由直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：∵在中，， ∴， ∵，为边上的中线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 题型四 由直角三角形斜边的中线求最值 21．如图，在中，，将绕顶点C顺时针旋转得到，D是的中点，连接，若，，则线段的最大值为（   ） A． B． C．8 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形三边关系等知识．连接，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知，在中，利用三角形三边关系可得的最大值． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，，则， ∴， 由旋转可知，， ∵D是的中点， ∴， 在中，利用三角形三边关系可得（当B，C，D三点共线时取等号）， ∴， ∴的最大值为8， 故选：C． 22．如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，再以为直角边，为直角，在同侧作，点为中点，连接，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】连接，，过点作交直线于点，利用直角三角形斜边中线定理得到，根据等边三角形的性质得到，，得出垂直平分，进而得出，利用含30度角的直角三角形得到，最后利用垂线段最短即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接，，过点作交直线于点， ∵在中，，点为中点， ∴， ∵等边， ∴，， ∵，， ∴垂直平分， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为4． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的判定、垂线段最短，添加适当的辅助线证出平分是解题的关键． 23.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB与CD不平行，AC=10，O为AC中点，则△OBD面积的最大值为 ． 【答案】/12.5 【分析】根据直角三角形的性质，可得，从而得到当OB⊥OD时，△OBD面积的最大，即可求解． 【详解】解：∵∠ABC=∠ADC=90°，AC=10，O为AC中点， ∴， ∴OB=OD， ∴当OB⊥OD时，△OBD面积的最大， ∴△OBD面积的最大值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． 24.如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OB=OA=5，点C是线段AB上一动点，连接OC，以OC为直角边在OC左侧构造△OCD，使∠COD=90°，OC=OD，点M为DC的中点，连接AM，在点C运动过程中，线段AM的最小值为 . 【答案】 【分析】可证得△AOD≌△BOC，然后易得∠DAC=90°，AM= CD，由直角三角形斜边上的中线证得AM=OM，由三角形三边关系AM+OM≥AO，进而得到答案 【详解】解：连接AD， ∵∠AOB=∠COD=90°，OB=OA=5，OC=OD，∠B=∠BAO=∠OCD=45°， ∴∠AOD=∠BOC， ∴△AOD≌△BOC(SAS)， ∴∠DAO=∠B=45°， ∴∠DAO+∠BAO=90°，即∠CAD=90°， ∵点M为DC的中点， ∴OM=AM=CD， ∵AM+OM≥AO，AO=5， ∴2AM≥5， 即AM≥， ∴AM的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△AOD≌△BOC是解题的关键． 题型五 由直角三角形斜边的中线进行证明 25．如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（   ） A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 【答案】D 【分析】此题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练掌握以上知识点．根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可． 【详解】解：∵，P为的中点， ∴， 即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变， 故选：D． 26．如图，在中，于，于，为的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟记性质并求出、与的关系是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，则，然后根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，则，，再根据三角形的内角和定理求出，然后利用平角等于列式计算得出． 【详解】（1）证明：∵于F，于，M为的中点， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵于F，于，M为的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 27．如图，已知为直角三角形，，在的延长线上取一点，使得，点是的中点，连接，为的中点，连接、． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，请求出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了直角三角形斜边上的中线性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质推出，根据等腰三角形的性质即可得结果； （2）根据直角三角形的性质推出，根据等腰三角形的性质推出，，根据三角形外角性质求出，，求出、， 【详解】（1） 理由如下：连接 ，点E是的中点， ， ， M为的中点， ． （2），点E是的中点， ． 由（1）知：， ． 设， 则． ， ． 解得：． ． 28．已知，在中，，作平分． (1)求证：； (2)点为的中点，点为的中点，连接，，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形性质及判定、直角三角形性质， （1）先证明，结合得出，即可证明结论； （2）连接，根据直角三角形性质得出，由等腰三角形性质得出，进而证明，即可证明结论． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ； （2）连接， ，点为的中点， ， ∵点为的中点，， ∴， ， ∵点为的中点， ∴， ∴． 29．已知：如图，在中，是边上的高，是边上的中线，是的平分线，与的垂直平分线相交于点．求证： (1)平分； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意，得，只需证明即可证明平分； （2）根据，得，结合，得到即可得证． 本题考查了直角三角形中线的性质，余角的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等量代换，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）证明：∵是边上的高， ∴， ∵是的平分线，与的垂直平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型六 从角的角度判定三角形是直角三角形 30．小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（   ） A．两条边相等 B．一个角为直角 C．有一个角 D．两条直角边相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类以及性质，根据等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形的定义一一判断即可． 【详解】解：．两边相等，是等腰三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角是直角的三角形是直角三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角，可以是顶角的锐角三角形，也可是底角的等腰直角三角形，故不一定是等腰直角三角形，故该选项符合题意； ．两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形 ，适合填入，故该选项不符合题意； 故选：C． 31．在中，由下列条件不能判定为直角三角形的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理．根据三角形内角和定理对四个选项依次判断即可． 【详解】解：A选项：∵，∠A+∠B+∠C=180°， ∴． ∴． ∴为直角三角形． 故A选项不符合题意． B选项：∵， ∴． ∴为直角三角形． 故B选项不符合题意． C选项：由，无法判断为直角三角形． 例如：，符合条件，但不是直角三角形， 故C选项符合题意． D选项：∵，∠A+∠B+∠C=180°， ∴． ∴为直角三角形． 故D选项不符合题意． 故选：C． 32．在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，利用三角形的内角和定理求出角的度数，即可分别进行判断． 【详解】解：①由得到，即，是直角三角形； ②由题可得，是直角三角形； ③由得到2，解得，，不是直角三角形； ④由得到，解得，，，是直角三角形； ⑤由得到，解得，不是直角三角形； 故选：C． 33．如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 34．如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 35．如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数． （1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数． （2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到的度数，进而得出的度数即可得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ， ， ， ， ． ， 是直角三角形． 题型七 由含30°的直角三角形的性质求解 36．如图，在中，，是的高，若，，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故选：A． 37．如图，在中，AB=AC， ，点D为的中点，，垂足为E，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三线合一和含的特殊直角三角形的性质，熟练运用三线合一的性质是解题关键． 连接，利用等边对等角得，在中，得，在中，得，即可求出的长. 【详解】解：如图：连接， ，， 为的中点， ，平分，， ， 于， ， ， 在中，，， ， 在 中，，， ， 则． 故选：C． 38．如图，在中，，，过点作，交边于点，若，则的长为（   ）　 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，30度角所对的直角边等于斜边一半，三角形内角和定理，解题关键是掌握等边对等角和等角对等边的性质． 利用等边对等角的性质，得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求出,然后由，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：B. 39．如图，，若，则等于（    ） A．10 B． C．5 D．2.5 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的外角性质，平行线的性质，含角的直角三角形的性质，过点作于，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再根据平行线的性质可得到的度数，再根据直角三角形的性质可求得的长，从而求得的长，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 40．如图，在等腰中，，，则的面积是（　　） A．6 B．9 C．18 D．36 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及“直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，掌握相关性质是解题的关键．过点作垂直于的延长线于点，先求出，再根据“直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，求出的长，最后再根据三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作垂直于的延长线于点 在中，， 在中，，       故选：B． 41．如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据角平分线的定义得，从而利用含角的直角三角形的性质可得，然后根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，最后利用等量代换可得的周长为，即可解答． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴的周长 ， 则周长是． 故选：D． 【点睛】本题考查含角的直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握含角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 42．如图，在等边三角形中，，D是的中点，过点D作于点F， 过点F作于点E，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、勾股定理及含30度直角三角形的性质是解题关键；由题意易得，则有，然后可得，进而问题可进行求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 43．如图所示，已知在中，为的垂直平分线，交于，交于，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及含角的直角三角形的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到线段相等，进而结合角度关系求解． 连接，利用垂直平分线性质得，结合等腰三角形性质求出，进而推出，再根据含角的直角三角形性质得，最后由算出长． 【详解】解：连接， ∵，， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴． ∴． 44．如图，在中，，，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点，求的长． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质得出是的平分线，，结合已知求出，根据是的角平分线，，求出，从而求出． 【详解】解：在中，，， ， 是的中线， 是的平分线，， ，， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ． 45．如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，则求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等边三角形的性质与判定、含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得到，，再利用三角形内角和定理得到，即可证明； （2）根据等边三角形的性质得到，，利用含30度角的直角三角形的性质得到，利用线段的和差关系求出，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，． 题型八 由含30°的直角三角形的性质进行证明 46．如图，中，，，于，平分，交于，交于． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了等边三角形的判定、直角三角形的性质以及三角形外角的性质． （1）在中，，，得，，又由平分，可得即可证得，继而证得：为等边三角形． （2）由是等边三角形可得，根据等角对等边可得，进而根据含度角的直角三角形的性质，得出，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 又平分， ， ， ， ， 是等边三角形． （2）证明：是等边三角形 ，， ， ， ， 又， ， ． 47．已知，如图，是等边三角形，是边上的高，延长到，使，过作于． (1)求证：； (2)请猜想与间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)；见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，外角的性质，所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过等边三角形的性质先推出，然后通过等腰三角形“等边对等角”的性质和外角的性质推出，最后再由等腰三角形的判定方法即可证明； （2）通过，得到，再由，，得到，从而找到和的关系，即可求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）； 证明：，， ， ，， ， ， ． 题型九 含30°的直角三角形的性质的实际应用 48．如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形中角所对直角边等于斜边一半的性质，熟练运用该性质是解题关键．先求出，再在中，结合是中点及该性质求出． 【详解】解：， 是的中点， ． 又，， ． 故选：B． 49．如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以18海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． (1)求B处到灯塔C的距离； (2)已知在以灯塔C为中心，周围17海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】(1)36海里 (2)没有危险 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角．   （1）根据已知条件得到 ，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论；   （2）过C作交的延长线于点D，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得  , ，（海里），   ∴ ， ∴ ，   ∴（海里）， 答：B处到灯塔C的距离为36海里；   （2）解：没有触礁的危险，理由如下：   过C作交的延长线于点D，   ∵（海里），   ∴（海里），   ∵，   ∴若这条船继续由西向东航行没有触礁的危险． ． 题型一 与直角三角形有关的几何多结论问题 50．如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 先证明是等腰直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，证明，同理可证，同理可证，根据全等三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：如图， ，， 是等腰直角三角形， ，是中点， ， 、都是的余角， ， 在与中， ， ， 同理可证， ①由得到，故①正确； ②由得到， 是直角， 是等腰直角三角形，故②正确； ③由得到， 则， 故③正确； ④，， ，， ， ④错误； 正确结论为①②③． 故选：C． 51．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出下列四个结论：①的面积等于的面积；②；③；④，其中正确结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、直角三角形的性质及三角形的中线与高，熟练掌握角平分线的性质定理、直角三角形的性质及三角形的中线与高是解题的关键；由题意易得，根据直角三角形的性质可得，，然后根据角平分线的性质定理可进行求解． 【详解】解：∵是高，是中线，是角平分线， ∴，故①正确； ∵， ∴，， ∴，，故②③正确； 过点F作于点M，如图所示： ∵是角平分线，， ∴，故④错误； 综上所述：正确的有3个； 故选：C． 52．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有（    ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①先由得到，接着就可以证明，最后由全等三角形的性质“对应边相等”，可知①是符合题意的； ②先由得到，接着就可以证明，得到，求出，就可以求出的度数，可知②是符合题意的； ③过点作，证明，然后分别找出 与的关系，就可以求出的比，可知③是符合题意的； ④设，由，得到，所以．又由三角形全等和中线的性质，可以得到，从而得到，可知④是符合题意的． 【详解】解：①， ， ， 又， ． ， ， ， 在和中， ， ， ，故①符合题意； ②， ， ， ． 在和中， ， ， ， ． ， 且， ， 故②符合题意； ③如图，过点作， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ． 又由②得是等腰直角三角形， ， ， ， ． ， 故③符合题意； ④设， ， ， ， ， ， ． 点是的中点， ， ， ，故④符合题意． 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，中线的性质以及三角形的面积等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键． 题型二 运用直角三角形相关知识解决几何变换问题 53．如图，在中，，可以由绕点C顺时针方向旋转得到，其中点与点A、点与点B是对应点，连接，且A，在同一条直线上，求出，的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，旋转的性质，等边对等角等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，，，，，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，由等角对等边可得，最后根据即可求得的长． 【详解】解：，， ， ， ， ∵可以由绕点C顺时针方向旋转得到，其中点与点A、点与点B是对应点， ，，，，， ， ， ， ， ， ． 54．如图1，已知，，点是上一点，且．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，若把沿直线向左移动，使的顶点与点重合，与交于点． 判断与的位置关系，并说明理由； 若，，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析； . 【分析】根据垂直定义可知，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，因为，可知，等量代换可得：，根据三角形内角和定理可得：，从而可知； 仿照可得，从而可知； 根据平移的性质可知，根据，，可知． 【详解】（1）解：， 理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， 在中，， ； 解：，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用、平移的性质的运用、垂直的判定及性质的运用，解决本题的关键是利用全等三角形的性质找边和角之间的关系． 55．如图，在边长为的等边中，点从点开始在射线上运动，速度为个单位/秒，点同时从出发，以相同的速度沿射线方向运动，过点作，连接交射线于点． (1)当时，求运动时间的值； (2)当点在线段上运动时，是否始终有？若成立，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）通过设运动时间对应的线段长度，利用等边三角形的角度性质以及直角三角形中所对直角边是斜边一半的性质，建立方程求解运动时间． （2）通过作辅助线构造全等三角形，先证明构造出的三角形是等边三角形，得到线段相等关系，再结合已知条件，利用全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，从而得出线段相等的结论． 【详解】（1）解：设，则，． 当时， 是等边三角形， ， ， ， ， 展开得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得， 故． （2）解：成立，理由如下： 如图1，过点作交于点，则，，． 是等边三角形， ，，， 是等边三角形， ． 又， ． 在与中， ，，， ， ． 56．是边长为的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段、运动，且它们的速度都为．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为． (1)如图（1），当t为何值时，是直角三角形？ (2)如图（2），连接、交于点M，则点P、Q在运动的过程中，的度数会发生变化吗？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数． 【答案】(1)或 (2)的度数不变， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，含30度角的直角三角形，三角形内角和定理与外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形和全等三角形的性质是解题关键． （1）由题意得，，分两种情况讨论：①当时，②当时，利用30度角所对的直角边等于斜边一半，分别列方程求解即可； （2）先证明，得到，再结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴，， 由题意得，， ①当时， ∵， ∴，即， 解得， ②当时， ∵ ∴，即， 解得 ∵， ∴当或时，为直角三角形； （2）解：的度数不变，， ∵是等边三角形， ∴，， 在与中， ∴， ∴， ∴． 57． 【模型感知】 （1）如图①，和都是等边三角形，求证：； （2）如图②，在中，已知，求证： 【模型应用】 （3）已知，点F在直线上，以为边在直线上方作等边三角形，过点E作于点D．如图③，若点F在点B右侧，求证：． 【类比探究】 （4）如图④，在（2）的条件下，若点F在点B左侧，且，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，（4） 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是： （1）由等边三角形的性质得，，，则，即可根据“”证明，得； （2）在线段上截取，证明是等边三角形，得到，，证明，得到，则，即可得到结论； （3）在射线上截取，连接，证明是等边三角形，再证明，得到，，得到．证明，即，即可得到结论； （4）在的延长线上截取，连接，证明，得到，则，得到，则．即可得到，即可求出答案． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ． （2）证明：在线段上截取， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ （3）如图，在射线上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． ∵， ∴， ∴， ∴，即， ； （4）如图，在的延长线上截取，连接， ∵都是等边三角形， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， 故答案为： 58．如图1，在中，于点E，，D是上的一点，且，连接，． (1)如图1，请判断与的位置关系为 ，数量关系为 ； (2)如图2，若将绕点E转动一定角度后(，)，与相交于点F，与相交于点O，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化？并说明理由． (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其余条件不变． ①试猜想与的数量关系，并证明你的猜想； ②直接写出的度数 ． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)①，证明见详解；② 【分析】（1）延长交于F，求出，证出，推出，，根据推出，然后问题可求解； （2）求出，证出，推出，，根据求出，然后问题可求证； （3）①求出，证出，则问题可求解；②由①可得，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】（1）解：， 理由：延长交于F． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为； （2）解：不发生变化， 理由是：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①∵都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ②由①可知：，， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形综合题，等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是根据全等三角形的判定和性质解答． 59．如图1，在中，，D是上一点，且；    (1)求证：； (2)如图2，若平分，交于点F，交于E．求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的度数；（用含的代数式表示） (4)如图3，若E为上一点，交于点F，，，，的面积分别为，且，则 ．（仅填结果） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)3 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可得，然后求出，从而得到，再根据垂直的定义证明即可 （2）根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余可得从而得到，再根据对顶角相等可得然后等量代换即可得证 （3）根据角平分线定义表示出，从而表示出，利用邻补角即可求出结果； （4）根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出和，然后根据计算即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）平分， ， ， ， ， ； （3）平分， ， ， ， ， ， ； （4），， ， ，， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，有两个锐角互余的三角形是直角三角形，角平分线的定义，三角形外角性质，对顶角相等，邻补角的求解，利用等高的三角形的面积的比等于底边的比求出和是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.2直角三角形 （9大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 直角三角形的两个锐角互余 题型二 由直角三角形斜边的中线求线段长度、周长、面积 题型三 由直角三角形斜边的中线求角度 题型四 由直角三角形斜边的中线求最值 题型五 由直角三角形斜边的中线进行证明 题型六 从角的角度判定三角形是直角三角形 题型七 由含30°的直角三角形的性质求解 题型八 由含30°的直角三角形的性质进行证明 题型九 含30°的直角三角形的性质的实际应用 能力提升题 题型一 与直角三角形有关的几何多结论问题 题型二 运用直角三角形相关知识解决几何变换问题 基础达标练 题型一 直角三角形的两个锐角互余 1．在中，，，则（    ） A． B． C． D． 2．将直角三角板（含）和直尺按如图方式摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，于点C，是的平分线，若则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，把直尺摆放在直角三角板上，，直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 5．如图，在三角形中，，，，与相等的角（不包括本身）有（    ） A． B． C． D． 6．在中，若两锐角之差为，则较大锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，，是的高，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知在中，，于． (1)若，求的度数； (2)若，则 （用的式子表示）． 9．如图，在中，是高，是角平分线． (1)若，，求和的度数． (2)若，，，，求的长． 10．如图，在中，，，于点，平分交于点，于点． (1)求的度数； (2)求的度数． 题型二 由直角三角形斜边的中线求线段长度、周长、面积 11．如图，在中，，点D为边的中点，若，则的长为（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 12．如图，在中，，，，是的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 13．如图，在中，，，于点，是的中点，若，则的长为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 14．如图，在中，为边上的高，点为的中点，连接．若的周长为24，则的周长为（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 15．如图，在中，，，平分，于点，是的中点，则的周长是（　　） A．9 B．10 C．13 D．20 16．如图，中，，，为边上的高，E，F为，上的点，，若，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 题型三 由直角三角形斜边的中线求角度 17．如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 18．如图，在中，，，，垂足为D，E是的中点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 19．如图，在四边形中，，，，点是的中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 20．如图，在中，，为边上的中线，平分，交于点D，过点B作，垂足为点F，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 题型四 由直角三角形斜边的中线求最值 21．如图，在中，，将绕顶点C顺时针旋转得到，D是的中点，连接，若，，则线段的最大值为（   ） A． B． C．8 D．4 22．如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，再以为直角边，为直角，在同侧作，点为中点，连接，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D． 23.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB与CD不平行，AC=10，O为AC中点，则△OBD面积的最大值为 ． 24.如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OB=OA=5，点C是线段AB上一动点，连接OC，以OC为直角边在OC左侧构造△OCD，使∠COD=90°，OC=OD，点M为DC的中点，连接AM，在点C运动过程中，线段AM的最小值为 . 题型五 由直角三角形斜边的中线进行证明 25．如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（   ） A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 26．如图，在中，于，于，为的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 27．如图，已知为直角三角形，，在的延长线上取一点，使得，点是的中点，连接，为的中点，连接、． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，请求出的度数． 28．已知，在中，，作平分． (1)求证：； (2)点为的中点，点为的中点，连接，，求证：． 29．已知：如图，在中，是边上的高，是边上的中线，是的平分线，与的垂直平分线相交于点．求证： (1)平分； (2)． 题型六 从角的角度判定三角形是直角三角形 30．小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（   ） A．两条边相等 B．一个角为直角 C．有一个角 D．两条直角边相等 31．在中，由下列条件不能判定为直角三角形的是(   ) A． B． C． D． 32．在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 33．如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 34．如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 35．如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 题型七 由含30°的直角三角形的性质求解 36．如图，在中，，是的高，若，，则=（   ） A． B． C． D． 37．如图，在中，AB=AC， ，点D为的中点，，垂足为E，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 38．如图，在中，，，过点作，交边于点，若，则的长为（   ）　 A．5 B．6 C．7 D．8 39．如图，，若，则等于（    ） A．10 B． C．5 D．2.5 40．如图，在等腰中，，，则的面积是（　　） A．6 B．9 C．18 D．36 41．如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（    ） A． B． C． D． 42．如图，在等边三角形中，，D是的中点，过点D作于点F， 过点F作于点E，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 43．如图所示，已知在中，为的垂直平分线，交于，交于，求的长． 44．如图，在中，，，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点，求的长． 45．如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，则求的长． 题型八 由含30°的直角三角形的性质进行证明 46．如图，中，，，于，平分，交于，交于． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 47．已知，如图，是等边三角形，是边上的高，延长到，使，过作于． (1)求证：； (2)请猜想与间的数量关系，并证明． 题型九 含30°的直角三角形的性质的实际应用 48．如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，，则等于（ ） A． B． C． D． 49．如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以18海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． (1)求B处到灯塔C的距离； (2)已知在以灯塔C为中心，周围17海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． ． 题型一 与直角三角形有关的几何多结论问题 50．如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 51．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出下列四个结论：①的面积等于的面积；②；③；④，其中正确结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 52．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有（    ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 运用直角三角形相关知识解决几何变换问题 53．如图，在中，，可以由绕点C顺时针方向旋转得到，其中点与点A、点与点B是对应点，连接，且A，在同一条直线上，求出，的长． 54．如图1，已知，，点是上一点，且．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，若把沿直线向左移动，使的顶点与点重合，与交于点． 判断与的位置关系，并说明理由； 若，，求四边形的面积． 55．如图，在边长为的等边中，点从点开始在射线上运动，速度为个单位/秒，点同时从出发，以相同的速度沿射线方向运动，过点作，连接交射线于点． (1)当时，求运动时间的值； (2)当点在线段上运动时，是否始终有？若成立，请说明理由． 56．是边长为的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段、运动，且它们的速度都为．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为． (1)如图（1），当t为何值时，是直角三角形？ (2)如图（2），连接、交于点M，则点P、Q在运动的过程中，的度数会发生变化吗？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数． 57． 【模型感知】 （1）如图①，和都是等边三角形，求证：； （2）如图②，在中，已知，求证： 【模型应用】 （3）已知，点F在直线上，以为边在直线上方作等边三角形，过点E作于点D．如图③，若点F在点B右侧，求证：． 【类比探究】 （4）如图④，在（2）的条件下，若点F在点B左侧，且，则 ． 58．如图1，在中，于点E，，D是上的一点，且，连接，． (1)如图1，请判断与的位置关系为 ，数量关系为 ； (2)如图2，若将绕点E转动一定角度后(，)，与相交于点F，与相交于点O，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化？并说明理由． (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其余条件不变． ①试猜想与的数量关系，并证明你的猜想； ②直接写出的度数 ． 59．如图1，在中，，D是上一点，且；    (1)求证：； (2)如图2，若平分，交于点F，交于E．求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的度数；（用含的代数式表示） (4)如图3，若E为上一点，交于点F，，，，的面积分别为，且，则 ．（仅填结果） 1 学科网（北京）股份有限公司 $