17.1 第2课时等腰三角形的判定-【夺冠百分百】2025-2026学年新教材八年级上册数学新导学课时练（冀教版2024）

第十七章 特殊三角形 第2课时等腰三角形的判定 【知识梳理·自主学习】 17.1等腰三角形 1.相等等角对等边2.相等60° 第1课时 等腰三角形的性质 【知识要点·多维突破】 【知识梳理·自主学习】 1.B2.3 1.腰底边顶角底角 3.解：△ADE,△CDB,△ADC,△DEC是等腰三角形. 2.(1)相等(2)三线合 4.D5.C 3.(1)相等(2)60° 6.证明：∠ACD=120°，.∠ACB=180°-∠ACD=60. 【知识要点·多维突破】 ∠A=60°，.∠B=180°-∠A-∠ACB=60°， .∠A=∠B=∠ACB=60°，.△ABC是等边三角形 1.D2.45° 3.解：∠A=36° 【阶梯训练·知能检测】 4.B5.AD垂直平分BC 1.C2.C3.D4.A5.等边6.6 7.解：△APQ是等边三角形.理由如下： 6.解：.AB=AC,AD为△ABC的中线， ,'△ABC是等边三角形，.AB=AC,∠BAC=60° .AD平分∠BAC,AD⊥BC (AB=AC, :AD平分∠BAC,∠BAD=号∠BAC=38 在△ABP和△ACQ中，∠ABP=∠ACQ .AD=AE,.∠AED=∠ADE=71°， BP=CQ, .∠BDE=∠ADB-∠ADE=19°. .△ABP≌△ACQ(SAS)..AP=AQ,∠BAP=∠CAQ. 7.C8.D9.120° ∴·∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=∠BAP+∠CAP=∠BAC=60°. 【阶梯训练·知能检测】 △APQ是等边三角形. 1.C2.D3.B4.A5.D6.B 8.A9.120°或75°或30° 7.证明：(1)ABCD, 10.(1)证明：，OB=OC,∴.∠OBC=∠OCB. ,'.∠AEC=∠ECD,∠BED=∠EDC. :BE,CD是两条高，∴∠BDC=∠CEB=90° CE=DE,.∠ECD=∠EDC, ∴.∠CBD=∠BCE,即∠ABC=∠ACB, .∠AEC=∠BED. ∴AB=AC,∴，△ABC是等腰三角形. (2),E是AB的中点，∴.AE=BE. (2)解：AO⊥BC.理由如下：如图，延长 AE=BE, AO交BC于点F 在△AEC和△BED中， ∠AEC=∠BED, (AB=AC, EC=ED, 在△AOB和△AOC中，OB=OC, ∴.△AEC≌△BED(SAS),∴.AC=BD. OA=OA, 8.B9.A10.(1)100(2)9 ∴，△AOB≌△AOC,∴.∠BAF=∠CAF, 11.解：(1)115小 ∴点O在∠BAC的平分线上. (2)当DC=2时，△ABD≌△DCE.理由如下： ,AB=AC,.AF⊥BC,即AO⊥BC. AB=AC,∠B=∠C=40°， 11.解：(1)题图①中共有两个等腰三角形：△ABC,△BDC ∴.∠DEC+∠EDC=140°. (2)题图②比题图①增加了三个等腰三角形：△AEF, :∠ADE=40°，.∠ADB+∠EDC=140°， △EBD,△FDC. ,∴.∠ADB=∠DEC. 变式一：题图③中共有两个等腰三角形：△EBD,△FDC I∠ADB=∠DEC, 线段EF,BE,CF之间的数量关系是EF=BE十CF. 在△ABD和△DCE中，{∠B=∠C, 变式二：题图④中共有两个等腰三角形：△EBO,△FOC, AB=DC, 线段EF,BE,CF之间的数量关系是EF=BE一CF ∴.△ABD≌△DCE(AAS). 理由如下： (3)当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等 .EO∥BC,.∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCG. 腰三角形， ,'BO,CO分别平分∠ABC与∠ACG, 当DA=DE时，∠DAE=∠DEA=70°， ∴.∠EBO=∠OBC,∠ACO=∠OCG, .∠BDA=∠DAE+∠C=70°+40°=110°； ∴.∠EOB=∠EBO,∠ACO=∠FOC, 当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°， ..BE=OE,CF=FO. .∠DAE=100°，此时，点D与点B重合，不合题意； .EO=EF+FO,..BE=EF+CF,..EF=BE-CF 当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=40°， 河北常考专题集训四等腰三角形中 ∴.∠BDA=∠DAE+∠C=40°+40°=80°. 综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形 常见的证明思路 1.证明：(1)AB=AD,.∠ABC=∠ADB 状是等腰三角形， 'AD=CD,.∠DAC=∠C.它新导学课时练 数学·八年级上·J叮 第2课时等腰三角形的判定 角形（△ABC除外）. A 知识梳理·自主学习 1.等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形. 在等腰三角形中，两个相等的角所对的 边 .（简称：“ ”) 【温馨提示】性质和判定的应用前提都是在同 名师点睛 一三角形中，不用经过三角形全等的证明，可 要证明一个三角形为等腰三角形，可以直 接证明两条边相等，也可以证明两个角相等， 以直接由等边得等角或由等角得等边，所以应 用起来更简单、便捷， 知识点二等边三角形的判定 2.等边三角形的判定定理 4.下列四个说法，正确的有 ) 三个角都 的三角形或有一 ①三个角都相等的三角形是等边三角形； 个角是 的等腰三角形是等边三 ②有两个角等于60°的三角形是等边三角 角形 形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边 三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等 B 知识要点·多维突破 边三角形， 知识点一 等腰三角形的判定 A.0个B.1个 C.2个D.3个 1.下列三角形中，等腰三角形的个数是( 5.已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为 60°，则它的周长为 ( ) A.12 B.15 C.18 D.20 357 ∠50° 6.如图，在△ABC中，D为BC延长线上的一 点，∠A=60°，∠ACD=120°.求证：△ABC 是等边三角形， 100 40° 45° A.4 B.3 C.2 D.1 2.如图，在△ABC中，∠A=36°， AB=AC,BD平分∠ABC,则 名师点睛 图中等腰三角形的个数是 判定等边三角形可以从以下几个角度 入手： 3.如图，在△ABC中，AB=AC,CD是 1.证明三条边相等. 2.证明三个内角都相等或有两个角等 △ABC的角平分线，AD=CD.过点D作 于60°. DE∥BC交AC于点E,在不添加任何辅助 3.证明有一个角等于60°，且有两边相等. 线的情况下，请直接写出图中的所有等腰三 60102 第十七章 特殊三角形 新导学课时练 C 阶梯训练·知能检测多 5.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是 a,b,c,且满足(a-b)2+|b-c=0,则 【基础过关】 △ABC是 三角形 1.如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三 6.如图所示的正方形网格中，网格 B 角形的是 C ) 线的交点称为格点，已知A,B 是两格点，如果C也是图中的格 A 点，且使得△ABC为等腰直角三角形，则符 合条件的点C有 个 A.∠B=∠C 7.如图，在等边三角形ABC中，点P在 B.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD △ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP= C.AD⊥BC,∠BAD=∠ACD ∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的 D.AD⊥BC,BD=CD 三角形？试说明你的结论 2.若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角 为60°，则这个三角形一定是 A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.上述三种情形都有可能 3.轮船从B处以每小时50海 北 东 里的速度沿南偏东30°方向 B75 309 匀速航行，在B处观测灯塔 609 A位于南偏东75°方向上， 轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯 塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔 A的距离是 ( 【素养闯关】 A.25√3海里 B.25√2海里 8.已知：如图，下列三角形中，AB=AC,则 C.50海里 D.25海里 经过三角形的一个顶点的一条直线能够 4.如图，在一个正方体的两个面上画了两条对 将这个三角形分成两个小等腰三角形的 角线AB,AC,那么这两条对角线的夹角等 是 () 于 ( 90 R R ② ③ A.①③④ B.①②③④ A.60° B.75° C.90° D.135 C.①②④ D.①③ 103● 它新导学课时练 数学·八年级上·J叮 9.如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB,如果 11.(变式探究)如图①，AB=AC,BD平分 射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角 ∠ABC,CD平分∠ACB 形，那么∠OEC的度数为 (1)图①中有哪几个等腰三角形？ B (2)如图②，若过D作EF∥BC交AB于点 E,交AC于点F,则该图比图①增加了几 个等腰三角形？ 10.如图，锐角三角形ABC的两条高CD,BE [变式一]如图③，若AB≠AC,其他条件 相交于点O,且OB=OC. 不变，则该图中有哪几个等腰三角形？请 (1)求证：△ABC是等腰三角形， 直接写出线段EF,BE,CF之间的数量 (2)连接AO,判断AO与BC的位置关系， 关系？ 并说明理由. [变式二]如图④，若∠ABC的平分线BO 与△ABC的外角∠ACG的平分线CO相 交于点O,过点O作OE∥BC,交AB于点 E,交AC于点F,这时图中有哪几个等腰 0 三角形？请写出线段EF,BE,CF之间的 数量关系，并说明理由. 图① 图② 图③ 图④ 80104