17.1 第1课时等腰三角形的性质-【夺冠百分百】2025-2026学年新教材八年级上册数学新导学课时练（冀教版2024）

第十七章 特殊三角形 第2课时等腰三角形的判定 【知识梳理·自主学习】 17.1等腰三角形 1.相等等角对等边2.相等60° 第1课时 等腰三角形的性质 【知识要点·多维突破】 【知识梳理·自主学习】 1.B2.3 1.腰底边顶角底角 3.解：△ADE,△CDB,△ADC,△DEC是等腰三角形. 2.(1)相等(2)三线合 4.D5.C 3.(1)相等(2)60° 6.证明：∠ACD=120°，.∠ACB=180°-∠ACD=60. 【知识要点·多维突破】 ∠A=60°，.∠B=180°-∠A-∠ACB=60°， .∠A=∠B=∠ACB=60°，.△ABC是等边三角形 1.D2.45° 3.解：∠A=36° 【阶梯训练·知能检测】 4.B5.AD垂直平分BC 1.C2.C3.D4.A5.等边6.6 7.解：△APQ是等边三角形.理由如下： 6.解：.AB=AC,AD为△ABC的中线， ,'△ABC是等边三角形，.AB=AC,∠BAC=60° .AD平分∠BAC,AD⊥BC (AB=AC, :AD平分∠BAC,∠BAD=号∠BAC=38 在△ABP和△ACQ中，∠ABP=∠ACQ .AD=AE,.∠AED=∠ADE=71°， BP=CQ, .∠BDE=∠ADB-∠ADE=19°. .△ABP≌△ACQ(SAS)..AP=AQ,∠BAP=∠CAQ. 7.C8.D9.120° ∴·∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=∠BAP+∠CAP=∠BAC=60°. 【阶梯训练·知能检测】 △APQ是等边三角形. 1.C2.D3.B4.A5.D6.B 8.A9.120°或75°或30° 7.证明：(1)ABCD, 10.(1)证明：，OB=OC,∴.∠OBC=∠OCB. ,'.∠AEC=∠ECD,∠BED=∠EDC. :BE,CD是两条高，∴∠BDC=∠CEB=90° CE=DE,.∠ECD=∠EDC, ∴.∠CBD=∠BCE,即∠ABC=∠ACB, .∠AEC=∠BED. ∴AB=AC,∴，△ABC是等腰三角形. (2),E是AB的中点，∴.AE=BE. (2)解：AO⊥BC.理由如下：如图，延长 AE=BE, AO交BC于点F 在△AEC和△BED中， ∠AEC=∠BED, (AB=AC, EC=ED, 在△AOB和△AOC中，OB=OC, ∴.△AEC≌△BED(SAS),∴.AC=BD. OA=OA, 8.B9.A10.(1)100(2)9 ∴，△AOB≌△AOC,∴.∠BAF=∠CAF, 11.解：(1)115小 ∴点O在∠BAC的平分线上. (2)当DC=2时，△ABD≌△DCE.理由如下： ,AB=AC,.AF⊥BC,即AO⊥BC. AB=AC,∠B=∠C=40°， 11.解：(1)题图①中共有两个等腰三角形：△ABC,△BDC ∴.∠DEC+∠EDC=140°. (2)题图②比题图①增加了三个等腰三角形：△AEF, :∠ADE=40°，.∠ADB+∠EDC=140°， △EBD,△FDC. ,∴.∠ADB=∠DEC. 变式一：题图③中共有两个等腰三角形：△EBD,△FDC I∠ADB=∠DEC, 线段EF,BE,CF之间的数量关系是EF=BE十CF. 在△ABD和△DCE中，{∠B=∠C, 变式二：题图④中共有两个等腰三角形：△EBO,△FOC, AB=DC, 线段EF,BE,CF之间的数量关系是EF=BE一CF ∴.△ABD≌△DCE(AAS). 理由如下： (3)当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等 .EO∥BC,.∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCG. 腰三角形， ,'BO,CO分别平分∠ABC与∠ACG, 当DA=DE时，∠DAE=∠DEA=70°， ∴.∠EBO=∠OBC,∠ACO=∠OCG, .∠BDA=∠DAE+∠C=70°+40°=110°； ∴.∠EOB=∠EBO,∠ACO=∠FOC, 当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°， ..BE=OE,CF=FO. .∠DAE=100°，此时，点D与点B重合，不合题意； .EO=EF+FO,..BE=EF+CF,..EF=BE-CF 当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=40°， 河北常考专题集训四等腰三角形中 ∴.∠BDA=∠DAE+∠C=40°+40°=80°. 综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形 常见的证明思路 1.证明：(1)AB=AD,.∠ABC=∠ADB 状是等腰三角形， 'AD=CD,.∠DAC=∠C.■■■■■■■■■■■■■■ ■■■ 第十七章 特殊三角形 17.1 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 知识梳理·自主学习 3.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC 上，且BD=BC=AD,求∠A的度数. 1.等腰三角形的定义 有两边相等的三角形叫作等腰三角形. 相等的两边叫作 ,另一边叫作 两腰的夹角叫作 ,腰和底边的夹角 叫作 2.等腰三角形的性质定理 (1)等腰三角形的两个底角 .(简称 “等边对等角”) (2)等腰三角形底边上的高线、中线及顶角 名师点睛 平分线重合.（简称“ ”) 在解决等腰三角形中有关角的计算问 【温馨提示】在解决与等腰三角形的边、角有关 题时，如果已知条件中没有已知度数的角而 问题时，当顶角和底角或腰和底边不确定时， 又要求角的度数时，一般采用方程思想来 需要分类讨论 解决 3.等边三角形的定义及性质定理 知识点二 等腰三角形“三线合一”的性质 (1)定义：三边都 的三角形叫作等 4.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AD 边三角形 是边BC上的高，则下列结论不一定正确的 (2)性质定理：等边三角形的各角都等 是 () 于 B 知识要点·多维突破 知识点一 等边对等角 1.等腰三角形的一个角为40°，则这个等腰三 A.BD=CD B.∠BAC=∠B 角形的顶角为 C.AD平分∠BACD.S△ABD=S△ACD A.40° B.80° 5.如图，一个三角形测平架，已知B C.100° D.100°或409 AB=AC,在BC的中点D挂一 2.如图，在等腰三角形ABC中，已知 个重锤，自然下垂.调整架身，使 AB=AC,∠A=30°，AB的垂直 点A恰好在重垂线上，AD和 平分线交AC于点D,则∠CBD的 BC的关系为 度数为 99● 心新导学课时练 数学·八年级上·J叮 6.如图，在△ABC中，AB=AC,AD为 名师点睛 △ABC的中线，点E在AB上，AD=AE, 1.等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有 连接DE.若∠BAC=76°，求∠BDE的 等腰三角形的所有性质， 度数 2.与等边三角形有关的问题经常与全等三 角形联系在一起，找到全等三角形是解决 问题的关键， 阶梯训练·知能检测类 【基础过关】 1.若等腰三角形的周长为26cm,一边为11cm, 则腰长为 () A.11 cm B.7.5 cm C.11cm或7.5cmD.以上都不对 名师点睛 2.如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB= 当已知三角形是等腰三角形时，常作底 AC,工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的 边上的高，利用“三线合一”的性质解决问 中点D,这就可以说明竖梁AD垂直于横 题，这是常用的一种添加辅助线的方法 梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据 是 () 知识点三等边三角形的性质 7.如图，在等边三角形ABC中，AD为高，若 A.等边对等角 B.等角对等边 AB=6,则CD的长度为 C.垂线段最短 A.2 B.2.5 D.等腰三角形“三线合一” C.3 D.4 D B D B D 第2题图 第3题图 第7题图 第8题图 3.在△AOC中，OB交AC于点D,量角器的 8.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC,垂 摆放如图所示，则∠CDO的度数为() 足为D,点E在线段AD上，∠EBC=45°， A.90° B.95° C.100°D.120° 则∠ACE的度数为 ( ) 4.(秦皇岛昌黎县期末)已知实数m,n满足 A.18 B.20° C.30° D.15° √m一2+(n一4)2=0，且m,n恰好是等腰 9.如图，已知D,E是 △ABC的两条边的边长，则△ABC的周长 BC上的三等分点， 是 () △ADE是等边三角 B D A.10 B.8 形，那么∠BAC的度数为 C.10或8 D.6 ©0100 第十七章特殊三角形 新导学课时练。 5.(廊坊霸州市期中)某平板电脑支架如图所 数是 ( 示，其中AB=CD,EA=ED,为了使用的 A.140°或44°或80°B.20°或80 舒适性，可调整∠AEC的大小.若∠AEC C.44°或80° D.140° 增大16°，则∠BDE的变化情况是( ) 10.如图，∠AOB=10°，点P在OB上.以点P 为圆心、OP长为半径画弧，交OA于点P (点P1与点O不重合)，连接PP1;再以点 P1为圆心、OP长为半径画弧，交OB于点 A.增大169 B.减小16 P2(点P2与点P不重合)，连接P1P2;再以 C.增大8° D.减小8 点P2为圆心、OP长为半径画弧，交OA于 6.如图，已知等边三角形ABC中，BD= 点P3(点P3与点P1不重合)，连接 CE,AD与BE相交于点P,则∠APE的 P2P3;…,按照上面的要求一直画下去，就 度数为 会得到OP=PP1=P1P2=P2P3=…,则 A.45° (1)∠P2P3P4= B.60° (2)与线段OP长度相等的线段一共有 C.55° 条（不含OP). D.75° 7.如图，AB∥CD,E是AB的中点，CE=DE B 求证：(1)∠AEC=∠BED 11.(分类讨论)如图，在△ABC中，AB=AC=2, (2)AC=BD. ∠B=40°，点D在线段BC上运动（不与点 B,C重合)，连接AD,作∠ADE=40°，DE 交线段AC于点E, (1)当∠BDA=115时，∠DEC= °，当 点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变 .(填“大”或“小”) (2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE? 【素养闯关】 请说明理由. 8.(河北一模)如图，△ABC为等边三角形， (3)在点D的运动过程中，当△ADE是等 △ACD为等腰直角三角形，AC=CD,则直 腰三角形时，求∠BDA的度数. 线BC与直线AD的夹角为 4040 B D B C A.10° B.15°C.20° D.309 9.(易错题)已知等腰三角形的一个角比另一 个角的2倍少20°，则等腰三角形顶角的度 101●