专题04 相似压轴题（折叠综合最值动点4类32道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学人教版九年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04相似压轴题 (折叠综合最值动点4类32道) 类型1相似相关折叠问题 类型2相似相关综合问题 相似压轴题 类型3相似相关最值问题 类型4相似相关动点问题 目目 类型01 相似相关折叠问题 1.如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点 B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB=6,AD=4,BE=2,则DF的长 是() B A.2 8.7 4 C.32 2 D.3 【答案】A 【详解】解：如图，延长EH交CF于点P,过点P作MN⊥CD,交CD于N,交AB于M, :将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处， AD=BC=CH=4,LDCF=∠GCF,BE=EH=2,∠B=∠CHE=90°， 1/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在△CPH和△CPN中， ∠CHP=∠CNP=90° ∠HCP=∠NCP, CP=CP aCPH≌aCPN(AAS), :NP=PH,CH=CN=4, N --D F:∠B=∠BCD=90°，MN⊥CD, H BL--_ E M :四边形BCNM是矩形， 又：CN=CB=4, ·四边形BCNM是正方形， :MN =BM =4, :EM BM -BE =2, EP2=EM2+PM2, (2+NP)2=4+(4-NP)2, NP= 3, :tan∠DCF=NP-DF CN CD 4 3=DF, 46 DF=2, 故选：A. 2.如图，四边形ABCD是矩形，E为BC边上一点，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边的点 F处.若△AFD的周长为18，AF=3EF,则矩形ABCD的周长为() B 2/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.20 B.24 C.32 D.48 【答案】B 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠C=∠D=90°， .∠DAF+∠DFA=90° 由折叠可得BE=EF,AF=AB,LAFE=∠B=90°， ∴∠DFA+∠EFC=180°-LAFE=90°， .∠DAF=LCFE, ∴△ADF∽△FCE, C.ADE=AF C.=3. 、.CFCE=C4ADF=×18=6, 3 3 即CF+CE+EF=6, :C.ADF AD+DF+AF =18, .AD +DF+AF +CF CE+EF =AD+DF+AB+CF+CE+BE AD CD AB BC .C矩形ABcD=24. 故选：B 3.如图，在ABC中，AB=5,AC=7,点E为AC上一点，连接BE,沿BE折叠△BCE,点C恰好落在 点D处，BD交AC于点F,当DE∥AB时，EF的长为() D B A.2 B. 25 7 c.10 D.2√5 【答案】c 【详解】解：：沿BE折叠△BCE,点C恰好落在点D处，AB=5,AC=7, 3/60 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .DE=CE,∠DEB=∠CEB=∠A+∠ABE, :DE∥AB, ∠DEF=∠A, :∠DEF+∠AEB=∠DEB=∠A+∠ABE, .∠AEB=∠ABE, .AE=AB=5, .DE=CE=AC-AE =7-5=2, :DE∥AB, .∠DEF=∠A,∠D=∠ABF, .△DEF∽△BAF, EF DE EF DE AF 即 BA AE-EF BA EF 2 5-EF5' EF=10 即EF的长为 71 故选：C 4.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，原点O为BC的中点.将AOB折叠，点B 落在点B处.若点A的坐标为(-2,3)，则点B的横坐标为() B 32 24 10 A. B. c D. 3 5 13 【答案】D 【详解】解：：在矩形ABCD中，若点A的坐标为(-2,3)， B-2,0),0(0,0), 设B'(m,n)且m>0,n>0, 4/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由折叠性质得，AB'=AB=3,OB′=OB=2, m+2y+n-3)=3 Vm2+n2=2 m2+4m+n2-6n+4=0① : m2+n2=4② 4m-6n+8=0, :n=2m+4 3 9m2+4m2+16m+16=36,即13m2+16m-20=0, 解得m=10。 或-2（舍去）， 13 ÷点B的横坐标为3’ 10 故选：D. 5.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AD在y轴上，点A的坐标为0，-2)，点E为边BC的 中点，将△DCE沿DE折叠，点C落在x轴上的点F处，则点F的坐标为() C A A.（-5,0 B.（-6,0 C.（-7,0 D.（-8,0 【答案】B 【详解】解：如图， YA D B A :四边形ABCD是正方形 ∴CD=BC=AB=AD,∠C=∠B=∠BAD=90°， 5/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠H0A=90°， 四边形ABHO是矩形， .AB=OH,BH=0A, :点E为边BC的中点， .CE BE=BC, :点A的坐标为(0，-2)， 0A=BH=2, 设EH=m,则有BE=m+2=CE, .BC=2CE =2m+4=AB=OH, 由折叠的性质可知：CE=EF=m+2,CD=DF=2CE=2EF,∠C=∠EFD=90°， ∴.∠EFH=∠FD0=90°-∠DF0, :∠EHF=∠F0D=90°， △EHF∽aFOD, EH EF 1 OF DF2' .0F=2EH=2m, .FH=0H-0F=4, .在Rt△EFH中，由勾股定理得：m2+42=(m+22, 解得：m=3, .0F=6, F(-6,0): 故选B. 6.如图，在正方形ABCD中，点E是边CB的一点且BE:EC=I:2,连接AE,将AB沿AE折叠至正方形 内部，得到线段AF,延长AF交BC于点G,延长EF交DC于点H,若AB=6,连接CF,DF,则DF+CF 的长为() 6/60 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 H B A.125 B.18V5 C.18V5 D.12V5 5 5 3 3 【答案】B 【详解】解：过F作FM⊥CD交于M,连接AH, H B E G 在正方形ABCD中，AB=BC=AD=CD=6,∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°， 由折叠得：AF=AB=6,∠AFE=∠B=90°，EF=BE, ∴.AF=AD,∠AFH=∠ADH=90°， AHAH, :Rt△ADH≌Rt△AFH, :DH FH BE:EC=1:2, ∴.EF=BE=6×5=2,EC=4, 3 设DH=FH=x,则CH=6-x, 在Rt△ECH中，EC2+CH2=EH, 42+(6-x2=(2+x2, 解得：x=3, .DH=FH=3,CH=6-3=3,HE=3+2=5, :∠FMH=∠ECH=90°，∠FHM=∠EHC, ∴.aFHM∽△EHC, FH FM HM EH-EC-HC' 7/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 FM HM 小5=4 3 M-号w 51 CM=3-9=6,BM=3+ 924 55 5 DF+CF= 5,12V5185 5 5 故选：B. 7.如图，D是等边三角形ABC边上的点，AD=3,BD=5,现将ABC折叠，使点C与点D重合，折 痕为EF,且点E、点F分别在边AC和BC上，则C的值为() CE E D B A.11 B.3 8 13 c D. 9 【答案】A 【详解】解：：ABC是等边三角形， ∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=3+5=8, 由折叠的性质可知，∠EDF=∠C=60°，EC=ED,FC=FD, :∠A+∠AED=∠EDB=LEDF+LBDF .60°+∠AED=60°+∠BDF ∠AED=∠BDF, △AED∽△BDF, DE AE+AD+DE 11 DF BD+DF+BF 13' CE DE 11 ·CFDF=13' 故选A. 8.如图，在正方形ABCD中，点E是边CD的中点，连接AE,将AD沿AE折叠至正方形内部，得到线段 8/60 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AF,延长AF交BC于点G,延长EF交BC于点H,若AB=4,连接CF,则EH-CF的长为() D A.825 B.845 c.10_2V5 D.10_4v5 35 35 35 35 【答案】D 【详解】解：过F作FM⊥CD交于M,连接EG, D EFM∥BC, G ∴△EFM∽△EHC, FM EM EF HC EC EH :四边形ABCD是正方形， :AB=BC=AD =CD=4, ∠B=∠D=∠BCD=90°， :E是CD的中点， .DE=CE =2, 由折叠得： LAFE=∠D=90°， EF=DE=CE=2, AE AD=4, ∴∠GFH=∠EFG=90°， ∠B=∠GFH, :∠ABG=∠HFG, ∴.△ABGn△HFG, AG BG AB HG-FG-HF 9/60 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设BG=x, .CG=4-x, ..AG2=BG2+AB2 =x2+16, 在Rt△EFG和RtAECG中 EF=EC EG=EG :RtAEFG≌RtAECG(HL), .FG=CG=4-x, :.AG=AF+FG =8-x, :(8-x2=x2+16, 解得：x=3, BG=3, FG=CG=1, AG=5, 5-34 HG 1 HF 部得：HG- :CH=CG+HG EH EF HF =4+2 3 10 3 .FM EM 2 .8=210, 3 3 8 解得：FM= 10/60命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04相似压轴题 (折叠综合最值动点4类32道) 类型1相似相关折叠问题 类型2相似相关综合问题 相似压轴题 类型3相似相关最值问题 类型4相似相关动点问题 目目 类型01 相似相关折叠问题 1.如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点 B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB=6,AD=4,BE=2,则DF的长 是() B A.2 B.7 c.3v2 D.3 2 2.如图，四边形ABCD是矩形，E为BC边上一点，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边的点 F处.若△AFD的周长为18，AF=3EF,则矩形ABCD的周长为() 1/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E A.20 B.24 C.32 D.48 3.如图，在ABC中，AB=5,AC=7,点E为AC上一点，连接BE,沿BE折叠△BCE,点C恰好落在 点D处，BD交AC于点F,当DE∥AB时，EF的长为() D B A.2 25 B. c.10 D.25 4.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，原点O为BC的中点.将AOB折叠，点B 落在点B处.若点A的坐标为(-2,3，则点B的横坐标为() B A. 32 B.24 0.10 3 3 5.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AD在y轴上，点A的坐标为(0，-2)，点E为边BC的 中点，将△DCE沿DE折叠，点C落在x轴上的点F处，则点F的坐标为() A.（-5,0 B.（-6,0 C.(-7,0 D.（-8,0 6.如图，在正方形ABCD中，点E是边CB的一点且BE:EC=1:2,连接AE,将AB沿AE折叠至正方形 内部，得到线段AF,延长AF交BC于点G,延长EF交DC于点H,若AB=6,连接CF,DF,则DF+CF 2/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的长为() G A.125 B.18V5 c.185 D.12 3 3 7.如图，D是等边三角形ABC边上的点，AD=3,BD=5,现将ABC折叠，使点C与点D重合，折 痕为EF,且点E、点F分别在边AC和BC上，则CE的值为() A.1 D.8 13 9 8.如图，在正方形ABCD中，点E是边CD的中点，连接AE,将AD沿AE折叠至正方形内部，得到线段 AF,延长AF交BC于点G,延长EF交BC于点H,若AB=4,连接CF,则EH-CF的长为() D A. 82V5 B.84v5 c.10_25 D.1045 5 35 35 35 目目 类型02 相似相关综合问题 9.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,CE平分LACD,分别交AD,BD于点E,G, EF∥AC,交CD于点F,连接OE,下列结论：①EF=AE;②∠AOE=∠AEO;③2OG=AE; ④AB=√2+1DG;其中结论正确的序号是() 3/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E A.②③④ B.①②④ C.①③④ D.①②③ 10.如图，ABC与BCF为直角三角形，∠ACB=∠FBC=90°，AB与FC相交于点M,☑D平分 ∠BAC交BC于点D,DE1AD交AB于点E.若AM=EM,BD=7,CD=5,下列结论：① 4D∽△ADC;②：③4C:BE=35:④AC=CD.其中正确的有( A D A.①② B.①③ C.①③④ D.②③④ 11.如图，AB为等腰直角ABC的斜边(AB为定长线段)，O为AB的中点，P为AC延长线上的一个动 点，线段PB的垂直平分线交线段OC于点E,D为垂足，当P点运动时，给出下列四个结论：①E为△ABP 的外心；②△PBE为等腰直角三角形；③PC·0A=0E·PB;④√2CE+PC的值不变. 正确的结论个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=4,连结AC,E,F分别在边AD,CD上，连结BE,BF分别交 AC于点M,N,若∠EBF=45°，CF=2,则下列结论中：①LBEA+∠BFC=135°；②CA⊥BF;③ BN-85,①E-多结论正碗的有（） 5 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 13.在ABC中，∠ACB=45°，过点C作CD⊥AB交AB于点D,过点A作AE⊥BC交BC于点E,AE与 CD交于点F,过点E作EH⊥CD分别交CD、AC于点G、H,点Q在CD上，连接AQ交GH于点P,点 P是AQ的中点，连接EQ.下面结论：①LEHC=LEAC+∠DCB;②∠GEQ=∠GQE;③CQ=EQ;④ SAGor Co 其中正确的个数是() SAAHP 2PH H D A.4 B.3 C.2 D.1 14.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点P是BC延长线上一点且BC=CP,AP交 BD于点E,交CD于点，OP交CD于点F,下列结论：①4C=DP:②EF∥DP:®CF=CD:④若 AB=1,则OF= V10 正确的有() D E C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 15.如图，在ABC中，D,E分别是边AC,AB的中点.BD与CE交于点O,连接DE·有下列结论： CAc ①0E.0B=0D-0C,②S=1, 5.oe5001 0m3其中正确的有（) 5/11 扇学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 16.图，在正方形ABCD中，G为边AD上一个动点（点G不与点D重合），连接CG交对角线BD于点E,将 线段CE绕点C逆时针旋转90得到CF,连接BF,EF,EF交BC于点N,则①BF⊥BD;② aDC8nECP:@BD-DE=V5DGBE:④若AB=3DG=4G,则EF-35:以上结论正碗的有() 2 D A.①②③ B.②③④ C.①②③④ D.①②④ 目目 类型03 相似相关最值问题 17.如图，点O是边长为4的等边ABC的重心，点P在ABC外，ABC,△PAB,△PBC,PCA的 面积分别记为S,S,S2,S.若S,+S2+S,=2S。,则线段OP长的最小值是一· B 18.如图，已知ABC为等边三角形，AB=6,将边AB绕点A顺时针旋转a(0°<a<120)得到线段AD, 连接CD,点E为CD上一点，且DE=2CE.连接BE,则BE的最小值为」 B 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 19.如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=4,点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形 CEFG,且CG:CE=l:2,连接DG,BE,BG,则8G+BE的最小值是 E D 20.如图，在正方形ABCD中，AB=8,点M,N分别在边AB,BC上（不与顶点重合），且满足 ∠BAN=∠ADM,连结AN,DM交于点P.E,F分别是边AB,BC的中点，连结PE,PF,则 PE+PF的最小值为 D M E 21.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=5,点E在射线AD上运动，以BE为直角边向右作△BEF,使 得∠BEF=90°，BE=2EF,连接CF,则CF长的最小值为· E D 人 22.如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,E、F分别是CB、AB的中点，连接EF,将△BEF绕 点B旋转一个角a(0°<a≤360)，连接AF并延长，与直线CE交于点G,则AG的最小值是 E B 23.如图，正方形ABCD的边长为4，点P为射线BC上一动点，连接PA、PD,在PA上取一点E,使 7/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ADE=∠APD,连接BE, E (1)求∠AEB= (2)则PD的最小值为 PA 24.如图，正方形ABCD中，AB=2,E是BC中点，CD上有一动点M,连接EM、BM,将△BEM沿着 BM翻折得到aBFM,连接DF、CF,则DF+FC的最小值为 2 A D E 目目 类型04 相似相关动点问题 25,如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=8,动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，在边BC 上运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段CD方向运动.点P和点Q同时出发，当 点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒(t>0). D C (备用图) (备用图) (1)当PQ与矩形的对角线BD平行时，求t的值； (2)若点M为DQ的中点，求以M、P、C为顶点的三角形与ABC相似时t的值； (3)直接写出点B关于直线AP的对称点B落在△ACD内部时t的取值范围. 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 26.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8,BC=6.点D为AC中点，动点P从点A出发，沿边 AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转90°得到线段DE, 连接PE,设点P运动的时间为t秒， D A B (1)用含t的代数式表示点P到AC的距离为 (2)当点E落在ABC内部（不包括边界）时，求t的取值范围； (3)当PE与ABC的一边平行时，直接写出线段PE的长度， 27.如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE ,AF交于点O,且∠ABE=∠DAF. E 图1 图2 (1)求证：AF⊥BE; {2若AB=2,AD=3,DF=BF,求DE的长： 2 )如图2，若矩形ABCD是正方形，DF)BF,求的值 28.如图，在等边ABC中，点D是AB边上的一个动点（不与点A,B重合），以CD为边作等边△EDC, AC与DE交于点F,连接AE. (1)求证：△ADF∽△BCD; (2)若AB:BD=3:1,且AB=12,求△ADF的面积. 29.如图1，在矩形ABCD中，AB=8,AD=I0,E是CD边上一点，连接AE,将矩形ABCD沿AE折叠， 顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G. 9/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D E M B F C G B C G 图1 图2 (1)求线段CE的长； (2)求证：四边形AFGD为菱形： (3)如图2，M,N分别是线段AG,DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN=∠DAM,设DN=x,是否 存在这样的点N,使△DMN是直角三角形？若存在，请直接写出x的值 30.如图，在直角三角形ABC中，直角边AC=3cm,BC=4cm.设P,Q分别为AB、BC上的动点，在 点P自点A沿AB方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，它们移动的速度 均为每秒1cm,当Q点到达C点时，P点就停止移动，设P,Q移动的时间t秒. (1)AB= cm,BP= cm(BP用含t的代数式表示). (2)当t为何值时，△PBQ与ABC相似？并说明理由. (3)当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？并说明理由 31.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm,动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2Cm的 速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿线段AC以每秒2cm的速度向点C运动.当一个点到达终 点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为秒， 备用图 (1)AB=-: (2)若以点A、P、Q为顶点的三角形与ABC相似，求t的值； )当1为何值时，△APQ的面积为24cm2? 10/11