专题02 反比例函数综合解答题存在性问题（4种类型32道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学人教版九年级下册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02 反比例函数综合解答题存在性问题 (4种类型32道) 类型1三角形相关存在性问题 类型2四边形相关存在性问题 反比例函数综合解答题 存在性问题 类型3面积最值相关存在性问题 类型4周长最值相存在性问题 目目 类型01 三角形相关存在性问题 1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=+b的图象与x轴交于点A-1,0),与反比例函数y=”在 第一象限内的图象交于点B 连接OB,若S。AOB=1. (1)求反比例函数与一次函数的关系式： x>0 (2)直接写出不等式组 m>kx+b 的解集； x (3)已知P是y轴上一点，若以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点P的坐标. 1/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.如图，直线y=c+b与双曲线y=”交于4L,8),B(4,m两点，与x轴，y轴分别交于点C,D. D D B B 备用图 (1)直接写出k、b、m的值； (2)设点P是y轴上的一个动点，当△APB的周长最小时，请求出点P的坐标； (3x轴上是否存在点M,使得。MAB是以AB为直角边的直角三角形，若存在，直接写出M点坐标，若不存 在，请说明理由， 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+2的图象分别与x轴，y轴交于点A,点C,与反比 例函数y=m(x<0)的图象交于点B(-2,3). D (1)求一次函数和反比例函数的表达式： 2)点D(-6,m是反比例函数y=”严图象上一点，连接BD,CD,求△BCD的面积： (3)点P在y轴上，满足△PAB是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标. 4.如图，一次函数y=心+b的图象与反比例函数y=的图象交于第一象限C,D两点，与坐标轴交于A、 B两点，连接0C,OD(O是坐标原点) 2/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C(1,4) D(4,m) (1)利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值： (2)求△D0C的面积 (3)在x轴上是否存在一点P,使得△POD是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。 5.如图，在平面直角坐标系中，矩形0ABC的顶点B的坐标为4,2)，0A,0C落在x轴和y轴上，OB是 矩形的对角线.将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到aODE,OD与CB相交于点F,反 比例函数y= (x>0)的图象经过点F,交AB于点G· (1)填空：k的值等于 (2)请判断0F与FG的位置关系，并说明理由， (3)在线段OA上存在这样的点P,使得以FG为腰的△PFG是等腰三角形.请直接写出点P的坐标 6.如图，矩形0ABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(4,7)，反比例函数y=m（x>0)的 图象经过BC的中点D,且与AB交于点E. A (1)求反比例函数的解析式及点E的坐标； (2)若点F是OC边上的一点，且BCF为等腰三角形，求直线FB的解析式. 7.如图，一次函数，=2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A,B两点，与反比例函数y=依≠0，x>0)的 3/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图象交于点C,过点B作x轴的平行线与反比例函数y=二(k≠O,x>O)的图象交于点D,连接CD (1)求A,B两点的坐标； (2)若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值. 8.如图，一次函数y=心+b的图象与反比例函数y=的图象交于A,B两点，己知点A坐标为3,1)，点 B的坐标为(-2，m. (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； 2)观察图象直接写出满足ax+b>《时的x的取值范围； (3)求S。4O8; (4)P为x轴上一动点，当三角形0AP为等腰三角形时，求点P的坐标. 目目 类型02 四边形相关存在性问题 9.如图1，一次函数=-3x+3的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B,与反比例函数乃=的图象交于 点C(2,a),D两点. 4/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 (1)求反比例函数的表达式. (2)如图2，点E是线段CD上一动点，过点E作EF∥x轴，交反比例函数的图象于点F,连接CF和DF, 器子 =3,求点F的坐标 3过点A作4G∥x轴交反比例函数，-的图象于点G,点M在一次函数=-3x+3的图象上运动，过 点M作MN∥AG,交反比例函数，=冬的图象于点N.若以A,G,M,N为顶点的四边形是平行四边形， x 求出点M的横坐标， 10.已知，矩形0CBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半 轴上，已知点B的坐标为(2,4)，反比例函数y=m(x>0)的图象经过AB的中点D,且与BC交于点E,顺 次连接O,D,E. 0 C (1)求m的值和E的坐标： 2)在线段OD上存在一点M,当△M0E的面积等于时，求点M的坐标， (3)平面直角坐标系中是否存在一点N,使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标； 若不存在，请说明理由. 11.如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=-x+7的图象与反比例函数y=二(x>0)的图象相交于 A(1,6),B(6,m)两点，P(0,-1)是y轴上的一个定点. 5/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 P (备用图) (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标： (2)H是线段AB上的一点，当△PAB的面积被线段PH分成面积比为2：3的两部分时，求点H的坐标； (3)在(2)的条件下，请在x轴上找点M,平面内找点N,使得四边形PHMN为矩形，求M,N两点的 坐标.（直接写出答案） 12.如图，直线4B与反比例函数y=6N2(x>0)的图象交于4V5,,B两点（点B位于点A右侧，连接 OA,OB. (1)求直线OA的表达式， 2当A0B的面积为92时，求点B的坐标， (3)在(2)的条件下，作点B关于OA的对称点C,连接OC,AC,是否存在点D,使得四边形OCAD为矩 形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由、 13.如图，点A,B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段AB为边在第一象限作等边三角形ABC, SBc=V5,且CA∥y轴 6/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1)若点C在反比例函数y=(k≠0)的图象上，求该反比例函数的表达式， (2)在(1)中的反比例函数图象上是否存在点N,使四边形ABCN是菱形？若存在，请求出点N的坐标： 若不存在，请说明理由， 14.如图1，正方形ABCD中，C(2,0),D(0,3).过A点作AF⊥y轴于F点，过B点作x轴的垂线交过 A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点. C C 图1 图2 (1)求证：△CD0≌△DAF; (2)求反比例函数的表达式及点E的坐标； (3)如图2，过点C作直线I∥AE,点P是直线1上的一点，在平面内是否存在点Q,使得点A、C、P、Q 四个点依次连接构成的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由. 15.反比例函数y=在第一象限的图象如下图所示，过点A1,0作x轴的垂线，交反比例函数y=的图 象于点M,△AOM的面积为3. YA (1)求反比例函数的表达式. (2)设点B的坐标为，0)，其中1>1.若以AB为一边的正方形ABCD有一个顶点在反比例函数y=的图象 上，求t的值. 16.在平面直角坐标系中，如图所示，已知点A在反比例函数y=-8（x<0)的图像上.过A作AB上x 轴，垂足为点B.在AB的右侧，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC,再过点B作BP∥AC交反比例函数 7/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 _8(x<0)的图像于点P· y=- (1)当点A的横坐标为-4时，求点C的坐标和直线BP的表达式； (2)当四边形ACBP是正方形时，求点A的坐标。 目目 类型03 面积最值相关存在性问题 17.如图，在平面直角坐标系中，一次函数片=kx+b与反比例函数片=上的图象交于4L,m),B(4,1两点. B (1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式： (2)当片>y2时，x的取值范围是 3)点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D,交反比例函数于点E,设点P的横坐标为t(I≤t≤4) ,设当t为何值时，△OPE的面积最大？并求出最大值.， 18.如图，一次函数y=+b的图象与反比例函数y=《图象相交于A(m,),B(2,-3)两点，与y轴交于点 C. 8/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D (1)求反比例函数和一次函数的解析式； 2)根据图象直接写出不等式ar+b>《解集。 (3)设D为线段AC上的一个动点（不包括A,C两点），过点D作DE∥y轴交反比例函数图象于点E,当 △CDE的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值. 19.如图，一次函数)-1图象与y轴相交于B点，与反比例函数y-k≠0，x>0)图象相交于点 A(m,3). (1)求反比例函数的表达式； (2)C是线段AB上一点，点C在点A的左侧，过点C作y轴平行线，交反比例函数的图象于点D,连接BD 设点C的横坐标为a,求当a为何值时，△BCD的面积最大，这个最大值是多少？ 20,如图，在平面直角坐标系中，直线：少=a-号与双面线y=x>0)交于点46》 △OPQ的顶点 P,Q分别在双曲线和直线1上，且PQ∥y轴. 9/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求k和m的值： (2)当点P在第一象限且在点A左侧时，求△PO2面积的最大值 21.如图，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点么B,反比例函数y=化≠0)的图象经过口ABCD的顶 3 点C,AD=6」 (1)求反比例函数的表达式： (2)已知动点P从点B到点C,同时，动点Q从点D到点B,两点均以每秒1个单位的速度运动，任一点到 达终点，另一点即停止.求在此过程中，BPQ面积的最大值 2.如图函数片=kx+12的图象交x轴于点4(-3,0)，交反比例函数，=2(x>0)的图象于点B1,m. B (1)求反比例函数的表达式. (2)点D为反比例函数图象第一象限上B点下方一个动点，过点D作DC⊥y轴交线段AB于点C. ①若点D的横坐标为4，点E为x轴上的一个动点，且四边形ACDE为平行四边形，求点E的坐标. 10/15 专题02 反比例函数综合解答题存在性问题 （4种类型32道） 地 城 类型01 三角形相关存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点．连接，若． (1)求反比例函数与一次函数的关系式； (2)直接写出不等式组的解集； (3)已知是轴上一点，若以点、、为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点或或或 【详解】（1）解：∵，点，点，， ∴，， 解得， ∴点， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 根据题意，得， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：根据题意，得， 故不等式组的解集为 （3）解：设点，根据两点间距离公式，得点，， ， 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 整理，得， 解得或， 此时点或； 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 解得， 此时点； 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 解得， 此时点； 综上所述，存在点P使得以点、、为顶点的三角形是直角三角形，且点或或或． 2．如图，直线与双曲线交于，两点，与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)直接写出k、b、m的值； (2)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，请求出点P的坐标； (3)x轴上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2) (3)或 【详解】（1）解：根据题意， 把点代入，得， 解得； ∴， 把代入，得， ∴； 把点、代入，得， 解得， ∴； 综上所述：，，． （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， ∴， ∴，此时，的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 当时，， ∴． （3）解：点M坐标为或时，是以为直角边的直角三角形．理由如下， 设x轴上存在点M，其坐标为， ∵，， ∴， ， ， 当是以为斜边的直角三角形时，即：， ∴， 解得：，即点M坐标为， 当是以为斜边的直角三角形时，即：， ∴， 解得：，即点M坐标为， 综上所述：点M坐标为或时，是以为直角边的直角三角形． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； (3)点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)一次函数为，反比例函数为； (2) (3)或； 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理、待定系数法求函数的解析式，求出函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数求得的坐标，利用反比例函数求得点的坐标，过点B作轴，交直线于点E，求出直线的解析式为，得到，然后利用三角形面积公式求得即可． （3）设，则，当时，，列方程并解得或，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与与反比例函数的图象交于点， ，， ， ， ∴一次函数为，反比例函数为； （2）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， 当时，，当时，， ，， ∵点是反比例函数图象上一点， ， ， 过点B作轴，交直线于点E， 设直线的解析式为，把，代入得到 解得 ∴直线的解析式为， ∵点，轴， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴ ∴ ∴的面积． （3）解：设， ∵，， 则， 当时， 即，得到 解得：或， 故点P的坐标为或； 4．如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接， (O是坐标原点) (1)利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； (2)求的面积． (3)在轴上是否存在一点 P，使得是等腰三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，，，， 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）把代入，得，把代入，求出即可； （2）用待定系数法求出一次函数的解析式，把代入求出，得出，根据的面积代入求出即可； （3）分，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 反比例函数的解析式为， 把代入，得； （2）解：把代入得， ，解得， 一次函数的解析式为， 把代入，得， ∴， ， ； （3）解：存在，理由如下， 设点坐标为， ∵， ∴，，， 当时，， ∴，解得或， ∴，， 当时，， ∴，解得（舍去）或， ∴， 当时，， ，解得， ∴． 综上所述，存在点P，使得是等腰三角形，，，，． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，落在轴和轴上，是矩形的对角线．将绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到，与相交于点，反比例函数的图象经过点，交于点． (1)填空：的值等于_____． (2)请判断与的位置关系，并说明理由． (3)在线段OA上存在这样的点P，使得以FG为腰的是等腰三角形．请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或或 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，掌握三角形相似、等腰三角形的性质等知识是解题的关键．其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）利用三角形相似，求出点的坐标即可； （2）利用勾股定理的逆定理即可； （3）把三角形的三边长表示出来，需要分三种情况进行分析，解方程即可． 【详解】（1）四边形为矩形，点的坐标为， ,,， 是由旋转得到的，即， ， ， ， ， ． 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， 解得，． 故答案为：． （2）解：；理由如下： 由（1）可知，反比例函数， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ，． ， ， 为直角三角形， ． （3）解：设点， 由（2）可知， 点的坐标为，点的坐标为，， ， 当时，即， 解得，（负值已舍去）； 当时，，可得，； 当时，，同理可得，（另一个根大于4，已舍）； 综上，点的坐标为或或． 6．如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E． (1)求反比例函数的解析式及点E的坐标； (2)若点F是边上的一点，且为等腰三角形，求直线的解析式． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先根据点B的坐标为求出D点坐标，代入反比例函数即可求出m的值，进而得出解析式，再把代入求出y的值即可得出E点坐标； （2）根据为等腰三角形得出的长，进而得出F点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可． 本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点、矩形的性质、一次函数的性质等知识是解答此题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，点B的坐标为，点D是的中点， ∴点，． ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． ∵点E在上， ∴点E的横坐标为4， 把代入， 得， ∴点E的坐标为． （2）解：∵点F在上，为等腰三角形，， ∴，点F的横坐标为0． 由（1）得点， ∴， ∴点． 设直线的解析式为， 将点，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． 7．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合性问题，等腰三角形的三线合一性质，一次函数和反比例函数图象上的坐标特征，利用等腰三角形的三线合一性质求反比例函数图象上点的坐标是解题的关键． （1）对于一次函数，分别令，和，即可求得答案； （2）过点C作，垂足为E，根据等腰三角形的三线合一性质，可得，于是可逐步求得点D和点C的坐标，再代入，即可求得答案． 【详解】（1）解：令，则， 解得， 点A的坐标为， 令，则， 点B的坐标为； （2）解：如图，过点C作，垂足为E， ，， ， 令，则， ， 点D的坐标为， 点C的坐标为， 点C在一次函数的图象上， ， 解得． 8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点A坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)观察图象直接写出满足时的x的取值范围； (3)求； (4)P为x轴上一动点，当三角形为等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)或或或 【分析】本题属于反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，反比例函数与一次函数图像与性质，反比例函数与一次函数交点问题，本题难度适中，运用分类讨论思想是解答本题的关键． （1）利用待定系数法求两函数的解析式； （2）直接由图象一次函数在反比例函数上边时对应的取值； （3）记直线与轴交点为点，先求出，根据即可求解； （4）存在三种情况：，，，根据点的坐标综合图形可得点的坐标． 【详解】（1）解：点坐标为， 把点的坐标代入得：， 反比例函数的解析式是； 把点的坐标为代入得： ， 解得：， ； 把、两点的坐标代入中得： ， 解得：， 一次函数的解析式为：； （2）解：如图，由图象得：时的取值范围是：或； （3）解：记直线与轴交点为点， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴； （4）解：当是等腰三角形时，存在以下三种情况： 当时，如图， ， ， 或； 当时，如图，    设， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， ； 当时，如图，过作轴于，    设，则，， ， ， ， ； 综上，的坐标为或或或． 9．如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点两点．地 城 类型02 四边形相关存在性问题 (1)求反比例函数的表达式． (2)如图2，点E是线段上一动点，过点E作轴，交反比例函数的图象于点F，连接和 ，若，求点F的坐标． (3)过点A作 轴交反比例函数的图象于点G，点M在一次函数的图象上运动，过点M作 ，交反比例函数的图象于点N．若以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）将点代入一次函数，求出，求出，即可解答． （2）联立和，则，求出，再求出，设，根据轴，得出，结合，列方程求出，得出点F纵坐标，再代入即可求解． （3）根据题意得出，，设，则，根据以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，得出．分为当点M在轴上方时，当点M在轴下方时，列方程解答即可． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， 则， ∴， 将代入，则，解得：， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：联立和，则， 解得；或， 将代入得， ∴， 在中，令，则，令，则， ∴， 设， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 将代入，得，解得， ∴． （3）解：∵轴， ， ∴轴， ∵，，， ∴，， 设， 则， ∵以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形， ∴． 当点M在轴上方时，如图， 则， 解得：（舍去）或； 当点M在轴下方时，如图， 则， 解得：或（舍去）； 或， 解得：（舍去）或； 综上，当或或时，以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 10．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，N的坐标为或或． 【详解】（1）解：点B的坐标为，D为中点， ， 反比例函数的图象经过的中点D， ， 反比例函数解析式为， 把代入反比例函数解析式中，得：， ∴； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则，， ， ， 解得：， ∴点M坐标为； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：， 如图： 设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴， 综上，的坐标为或或． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，是轴上的一个定点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)是线段上的一点，当的面积被线段分成面积比为的两部分时，求点的坐标； (3)在（）的条件下，请在轴上找点，平面内找点，使得四边形为矩形，求，两点的坐标．（直接写出答案） 【答案】(1)，； (2)或； (3)，或，． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 令，得或， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为， 如图，连接，分别过点，作轴的平行线，与交于点，，设点的横坐标为， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵的面积被线段分成面积比为的两部分， ∴或， ∴或 解得或， ∴或； （3）解：如图， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 设， 当点时，，，， ∴， 解得， ∴， 由矩形的性质可知，， 当点时，，，， ∴， 解得， ∴， 由矩形的性质可知，， 综上，若四边形为矩形，则，或，． 12．如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接． (1)求直线的表达式． (2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出点A坐标，再设出直线解析式，并利用待定系数法求解即可； （2）过点A作轴于T，连接，则，可得，进而得到；设，则，解方程即可得到答案； （3）连接交于H，可证明，得到；由对称性可得，且点H为的中点，由等面积法可得，设，则，解方程可得，根据中点坐标公式可得，求出的中点坐标为，则的中点坐标为，即可得到点D的坐标为． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于，B两点， ∴， ∴， 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：如图所示，过点A作轴于T，连接， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴； 设， ∴， 解得（已检验符合题意）或（舍去）， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接交于H， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； ∵点B和点C关于对称， ∴，且点H为的中点， ∴， ∴， 设，则， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴的中点坐标为， ∵四边形是矩形， ∴的中点坐标为， ∴点D的坐标为． 13．如图，点，分别在轴和轴的正半轴上，以线段为边在第一象限作等边三角形，，且轴． (1)若点在反比例函数的图象上，求该反比例函数的表达式． (2)在（1）中的反比例函数图象上是否存在点，使四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)存在，点的坐标为 【详解】（1）解：如图①，过点作轴于点． 轴，轴， ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形， ，． ，， 反比例函数的表达式为． （2）解：存在，理由如下： 如图②，过点作于点，交反比例函数图象于点，连接，． 是等边三角形，面积为， 可设，则， ， ， （负值已舍去）， ，，， ， ． ， ，． ， ， 四边形是菱形， 反比例函数图象上存在点，使四边形是菱形，点的坐标为． 14．如图1，正方形中，．过A点作轴于F点，过B点作x轴的垂线交过A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点． (1)求证：； (2)求反比例函数的表达式及点E的坐标； (3)如图2，过点C作直线，点P是直线l上的一点，在平面内是否存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)y，点E的坐标为； (3)存在，点Q的横坐标为或3或或. 【详解】（1）证明：如图1，∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设反比例函数的表达式为，把代入，得， ∴y， 当时，， ∴点E的坐标为； （3）在平面内存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形．理由如下： 设直线的解析式为，把代入， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴设直线l的解析式为，把代入得， 解得：， ∴直线l的解析式为， ∵点P是直线l上的一点，点Q是平面内一点， ∴设， 又， 当为对角线时， ， 解得：， ∴； 当为对角线时， ， 解得：或（舍去）， ∴； 当为对角线时， ， 解得：或， ∴ 或； 综上所述，在平面内存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，点Q的横坐标为或3或或． 15．反比例函数在第一象限的图象如下图所示，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，的面积为3． (1)求反比例函数的表达式． (2)设点的坐标为，其中．若以为一边的正方形有一个顶点在反比例函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2)7或3 【分析】（1）根据点、的面积为，可求出点的坐标，即可求解． （2）分情况讨论即可． 【详解】（1）解：的面积为3，反比例函数的图象经过第一象限， ， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：当顶点在反比例函数的图象上时，点与点重合，即． 把代入，得， 点的坐标为， ， ； 当顶点在反比例函数的图象上时，， 点的坐标为， ． 整理，得， 解得，（舍去）， ． 综上所述，的值为7或3． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象和性质等知识．关键在于结合图形找点的坐标． 16．在平面直角坐标系中，如图所示，已知点在反比例函数（）的图像上．过作轴，垂足为点．在的右侧，以为斜边作等腰直角三角形，再过点作交反比例函数（）的图像于点． (1)当点的横坐标为时，求点的坐标和直线的表达式； (2)当四边形是正方形时，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，直线： (2) 【详解】（1）如图所示，过点C作于点D ∵当点的横坐标为时， ∴ ∴， ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴ ∴点C的横坐标为 ∴点的坐标为； 设所占直线表达式为 ∵， ∴ 解得 ∴ ∵ ∴设直线的表达式为 将代入得， 解得 ∴直线的表达式为； （2）如图所示，当四边形是正方形时， 设 ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴ ∵四边形是正方形 ∴是等腰直角三角形 ∵轴 ∴点P和点C关于对称 ∴ ∵点在反比例函数（）的图像上 ∴ 解得或（舍去） ∴． 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．地 城 类型03 面积最值相关存在性问题 (1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式． (2)当时，x的取值范围是_________． (3)点是线段上一点，过点作轴于点，交反比例函数于点，设点的横坐标为．设当为何值时，的面积最大？并求出最大值．． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 (3)当时，的面积最大，最大值为 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数图象的性质，一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象求最值的计算方法是解题的关键． （1）将点代入得出，进而求得，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据的横坐标，结合函数图象，即可求解； （3）由题可知，，则进而表示出的面积，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ， ． 当时，， ， 一次函数过，两点， ，解得． ， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）由图象可知： 当时，的取值范围是或． （3）由题可知，， ， ，， 当时，的面积最大，最大值为． 18．如图，一次函数的图象与反比例函数图象相交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式解集． (3)设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出面积的最大值． 【答案】(1)，； (2)或； (3)，面积最大值为4 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式，二次函数的图象性质以及待定系数法求解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由点坐标可得反比例函数解析式，由反比例函数解析式可得点坐标，可得一次函数解析式； （2）运用数形结合思想，根据函数的两个交点坐标，即可作答． （3）根据题意，设设，则，表示出，即可求解． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴ ∵在一次函数的图象上 ∴， 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）解：根据图象可得：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面， ∴不等式的解集为或； （3）解：把代入得， ∴， 设，则， ， ∵， ∴当时，的面积最大，此时，面积最大值为4． 19．如图，一次函数图象与y轴相交于B点，与反比例函数图象相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)C是线段上一点，点C在点A的左侧，过点C作y轴平行线，交反比例函数的图象于点D，连接．设点C的横坐标为a，求当a为何值时，的面积最大，这个最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，的面积最大，这个最大值是 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及二次函数的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）利用一次函数求出点，再将求出的点代入反比例函数解析式求解，即可解题； （2）根据题意得到，再利用a表示的面积，最后结合二次函数的最值求解，即可解题． 【详解】（1）解：⸪一次函数过点， ⸫， 解得， ⸫点， ⸪反比例函数图象过点， ⸫， ⸫反比例函数的表达式为； （2）解：⸪点C的横坐标为a，轴交反比例函数的图象于点D， ⸫，， ， 则的面积为 ， ⸪， ⸫当时，的面积最大，这个最大值是． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，的顶点分别在双曲线和直线上，且轴． (1)求和的值； (2)当点在第一象限且在点左侧时，求面积的最大值． 【答案】(1)， (2)面积的最大值为 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数的综合运用，掌握待定系数法，二次函数最值的计算方法是关键． （1）把点代入一次函数，反比例函数解析式，运用待定系数法即可求解； （2）设，则，所以点到的距离为，，则，结合二次函数最值的计算即可求解． 【详解】（1）解：直线与双曲线交于点， ∴，， 解得，，； （2）解：由（1）可知，一次函数解析式为，反比例函数解析为， ∵点在第一象限且在点左侧，且轴， ∴设，则点的横坐标为， ∴，即， ∴点到的距离为，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴面积的最大值为． 21．如图，直线与轴，轴分别交于点，反比例函数的图象经过的顶点． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知动点从点到点，同时，动点从点到点，两点均以每秒1个单位的速度运动，任一点到达终点，另一点即停止．求在此过程中，面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数表达式的求解、平行四边形的性质、动点问题中三角形面积最大值的计算，解题的关键是利用平行四边形对边平行且相等的性质确定点的坐标，以及通过建立二次函数模型求面积的最大值。 （1）在中，令，则，得到点的坐标为，再根据平行四边形的性质得到,点的坐标为（6，4），代入反比例函数表达式求出，从而求解； （2）如图，过点作，垂足为点,设动点的运动时间为秒，则，用其表示出三角形的底和高，从而得到面积关于时间的函数关系式，通过求函数的最值来解决问题。 【详解】（1）解：在中，令，则． 点的坐标为， 四边形ABCD为平行四边形， ．则点的坐标为（6，4）， 将代入，得． 即反比例函数的表达式为； （2）解：如图，过点作，垂足为点, 在中，令，则．则点A的坐标为． ， 在Rt中，可得． 设动点的运动时间为秒，则， ， ， ， ．即． ． ． 面积的最大值为． 22．如图函数的图象交x轴于点，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)点D为反比例函数图象第一象限上B点下方一个动点，过点D作轴交线段于点C． ①若点D的横坐标为4，点E为x轴上的一个动点，且四边形为平行四边形，求点E的坐标． ②连接，当点C的坐标为多少的时候，的面积最大，求出最大值． 【答案】(1) (2)①；②当点C的坐标为时，的面积最大，最大值为． 【分析】（1）把点A坐标代入直线解析式中求得，从而求得直线解析式；再把点B坐标代入直线解析式中可求得点B坐标，从而可求得反比例函数解析式； （2）①根据点D的横坐标，可求得点D的纵坐标，得点D的坐标，进而求得点C的坐标，求得的长，由平行四边形性质得，结合点A的坐标即可求得点E的坐标； ②设，则可求得点C的坐标，求得，则可得的面积关于a的函数关系式，即可求得最大值． 【详解】（1）解：∵函数的图象交x轴于点， ∴， 解得：， 即； ∵直线交反比例函数于点B， ∴， 即， ∴，即， 即反比例函数解析式为； （2）解：①∵点D的横坐标为4， ∴， 即； ∵轴交线段于点C， ∴点C的纵坐标为4， ∴， 解得：， 即， ∴； ∵四边形为平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ②设， ∵轴交线段于点C， ∴点C的纵坐标为， ∴， 解得：， 即， ∴； ∴， 即， 当，即时，取得最大值，且最大值为， 此时点C的坐标为； ∴当点C的坐标为时，的面积最大，最大值为． 【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，二次函数的最值等知识． 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集 (3)设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值． 【答案】(1)， (2)或 (3)的面积最大值为4，此时 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式，二次函数的图象性质以及待定系数法求解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由点坐标可得反比例函数解析式，由反比例函数解析式可得点坐标，可得一次函数解析式； （2）运用数形结合思想，根据函数的两个交点坐标，即可作答． （3）根据题意，设设，则，表示出，即可求解． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴ ∵点在一次函数的图象上 ∴， 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）解：根据图象可得：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面， ∴不等式的解集为或； （3）解：把代入得， ∴， 设，则， ， ∵， ∴当时，的面积最大，此时，面积最大值为4． 24．如图，平面直角坐标系中，为原点，点、分别在轴、轴的正半轴上．的两条外角平分线交于点，在反比例函数的图象上．的延长线交轴于点，的延长线交轴于点，连接． (1)求的度数及点的坐标； (2)的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）如图，作于M，于， 于，证明，，可得，，，继而证明四边形是正方形，可得，则可求得，再设，由在上，利用待定系数法求得m的值即可得； （2）设，，则，，可得，推出，可得，由，可得，继而根据，可得，由此可确定出的取值范围，继而根据三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于，于，于． ， ，， ， ，， 同理可证：， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 可以假设， 在上， ， ， ， ； （2）解：设，，则，， ， ， ， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ， ， ， （当时取等号）， 的面积的最大值为． 25．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．地 城 类型04 周长最值相关存在性问题 (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集为________； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】(1)； (2) (3)当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象上方时自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为； （3）解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 综上所述，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 26．如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为． (1)求的值； (2)若双曲线上一点，纵坐标为，求的面积； (3)若是反比例函数图象上的点，在轴上是否存在点使得的周长最小？若存在，求出点的坐标，并求出该周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的面积为； (3)，此时的周长最小为． 【详解】（1）解：∵直线图象上点的横坐标为， ∴， ∵点在双曲线图象上， ∴； （2）解：由（）得， ∴反比例解析式为， ∵双曲线上一点纵坐标为， ∴， 如图，过作轴于点，过作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； （3）解：∵是反比例函数图象上的点， ∴， ∴， 如图，作关于轴对称点，连接，交轴于点， ∴，， ∴根据两点之间线段最短可知即为所求， ∵， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， 此时的周长最小为． 27．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点与，过点A作轴，垂足为，连接、． (1)求的值； (2)求证：为等腰三角形； (3)为轴上一点，的周长是否有最小值，若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）把与代入，解方程组即得； （2）过作于点，根据， ， 得到线段，，，得到垂直平分，即得为等腰三角形； （3）作点C关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小．设所在直线的表达式为，把，代入，解方程组得到，即可求得点的坐标为． 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点与， ∴， 解得：， 故m的值为8； （2）过作于点， ∵ ∴点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴为等腰三角形； （3）存在，理由： 作点C关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小． 设所在直线的表达式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， 当时，， 故点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数、一次函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形判断，轴对称线段最短，待定系数法求一次函数解析式，一次函数性质，是解决问题的关键． 28．如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数图象上一点作轴的平行线交直线于点，且．         (1)①求的长度（用含有的代数式表示）； ②求的值，并写出的解析式； (2)过函数图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？请说明理由； (3)如图2，若是函数图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②，解析式为： (2)成立，理由见详解 (3)存在点P，且为，此时周长最小值为4 【分析】（1）用a的代数式表示出、，根据求出的值，然后利用待定系数法求出的值即可； （2）设，则，根据两点间距离公式求出的长即可； （3）设直线交轴于点，连接，，结合（2）可知，当且仅当、、三点共线时，矩形的周长取到最小值． 【详解】（1）解：①∵轴， ∴， ∴时，， ∴， ②∵， ∴， 解得：， ∴， 将点A代入得：， ∴解析式为：； （2）解：成立， 设，则， ， ∴ 而， ∴ ． （3）解：存在点P，使得矩形的周长取得最小值， 设直线交轴于点，连接，，由（2）得，， ∵矩形的周长， ， 当且仅当、、三点共线时，矩形的周长取到最小值， ∴，将代入得， ∴此时，点的坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题，涉及两点间距离公式、垂线段最短、存在性问题，综合性很强，要灵活处理，同时注意从多角度解题． 29．如图，已知：矩形的顶点B在反比例函数的图象上，且． (1)求反比例函数的关系式； (2)若动点E从A开始沿向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，是等腰直角三角形？ ②当时，在双曲线上是否存在一点M，使得四边形为平行四边形？说明理由； (3)若在（2）中的条件下，运动1秒时，在y轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，请求出的周长最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， (3)存在， 【分析】（1）根据与的长，且B为第一象限角，确定出B的坐标，代入反比例函数解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式； （2）①如图1所示，若为等腰直角三角形，则有，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到结果；②根据 题意得到M位于线段上方时，四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质得到，确定出此时M的坐标 即可； （3）若在（2）中的条件下，运动1秒时，在y轴上存在点D，使的周长最小，理由为：作出E关于y轴的对称点， 连接，与y轴交于点D，连接，此时周长最小，求出周长最小值即可． 【详解】（1）解：∵，且B在第一象限， ∴， 把B坐标代入，得：， 则反比例函数关系式为； （2）解：①由题意得：，， ， 当且仅当时，为等腰直角三角形， 即， 解得：， 则当时，是等腰直角三角形； ②， ， 由题意得：M在线段上方时，四边形为平行四边形，如图1所示， ∴，此时M坐标为； （3）解：存在点D，使周长最小，理由为： 如图，作出E关于y轴的对称点，连接，与y轴交于点D，连接， 此时周长最小，即， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 在中，， 根据勾股定理得： ， 的周长最小值为． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，对称的性质，勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 30．已知反比例函数的图象经过点，且与一次函数的图象在同一坐标系中． (1)如图1，当反比例函数的图象与一次函数的图象只有一个公共点时，求n的值； (2)如图2，当直线经过点A时，它与反比例函数的另一个交点记为B，在y轴上找一点M，使的周长最小，求出M的坐标及周长的最小值； (3)如图3，点P是反比例函数图象上A点左侧一点，连接，把线段绕点A逆时针旋转，点P的对应点Q恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)周长的最小值为，点M的坐标为 (3) 【分析】（1）联立反比例函数与一次函数的解析式，根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）将代入反比例函数的解析式求得，再将代入，即可求解出n的值，联立反比例函数与一次函数的解析式，求出点B的坐标，作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴与点M，连接，此时的周长最小，为的长，利用两点的距离公式解答即可，设直线解析式为，利用待定系数法求出解析式，令，即可求出点M的坐标； （3）过点作x轴的垂线，与过点作轴的平行线，分别交于点，设点，证明，根据，得到，进而得出，根据点在反比例函数上，代入解析式，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，则， 即， 反比例函数的图象与一次函数的图象只有一个公共点， ，即， ； （2）解：反比例函数的图象经过点， ， ， ， 将代入，则， ， 一次函数的解析式为：， 联立反比例函数与一次函数的解析式得，则， 即， ， 当时，， 根据题意得：， 作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴与点M，连接， 则， ， ， 此时的周长最小，为的长， ， ； 设直线解析式为， 则，解得， 直线解析式为， 令，则， 点M的坐标为； （3）解：过点作x轴的垂线，与过点的轴的平行线，分别交于点， 设点， ， ， ， 由旋转知：， ， ， ， ， ， ， 点在反比例函数上， ，即， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，轴对称求最短距离，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质．利用待定系数法确定一次函数的解析式；熟练掌握对称的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 31．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与反比例函数的图象交于．    (1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式； (2)若点是第一象限内反比例函数图象上一点．过点作轴的平行线交一次函数图象于点，作直线交轴于点，若，求点的坐标； (3)定义：若矩形的周长是面积的倍，则称该矩形为“倍积矩形”．例如，若一个矩形周长为18，面积为，则称该矩形为“3倍积矩形”．若点是第一象限内反比例函数图象上一点．过作轴于点，作轴于点．若矩形是“倍积矩形”，最小可以取多少？当取最小值时，求出点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数解析式为 (2)或 (3)， 【分析】（1）先求出一次函数解析式，再求出反比例函数解析式即可； （2）分两种情况：当点P在点A的下方时，如图，过点A作轴于点H，交于点G，则，根据，可得的长，继而求得点P坐标；当点P在点A的上方时，同理可求解； （3）设点D的坐标为，则，根据矩形是“倍积矩形”，可得，则当，时， n的值最小，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； 当时，，解得：， ∴点， 把点代入得：， ∴反比例函数解析式为； （2）解：当点P在点A的下方时，如图，过点A作轴于点H，交于点G，则， 根据题意得：轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P的纵坐标为或 ， 把代入得：， ∴点P的坐标为； 当点P在点A的上方时， 同理：点P的纵坐标为， 把代入得：， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：如图， 设点D的坐标为，则， ∴矩形的周长为，面积为12， ∵矩形是“倍积矩形”， ∴， ∴， 当，即（负值舍去）时，n取得最小值，最小值为， 此时点D的坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质以及新定义，一元二次方程的应用．熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 32．如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数（，常数）图象上一点作轴的平行线交直线：于点，且．    (1)求的值，并写出函数（）的解析式； (2)过函数（）图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？并说明理由； (3)如图2，若是函数（）图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，（） (2)见解析 (3)时，矩形的周长取得最小值为4 【分析】（1）由题意可得，，求出点，即可得出，根据得到，求出，从而得到点的坐标，将点的坐标代入函数解析式计算即可； （2）设（），则，计算出和，进行比较即可得到答案； （3）设（），则，，从而得到，，再表示出矩形的周长进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 在中，当时，， ， ， ， ， ， ∴点， 将点代入函数（）得：， ， ∴（）； （2）解：设（），则， ∴， ， ∴； （3）解：存在满足题设条件的点， 设（），则，， ，， ∴矩形的周长 ∴当，即，时，矩形的周长取得最小值为4． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $