专题01 反比例函数选择填空压轴题分类训练（5种类型30道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学人教版九年级下册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01反比例函数选择填空压轴题分类训川练 (5种类型30道) 类型1已知反比例系数求面积 类型2已知面积求反比例系数 反比例函数选择填空压 类型3反比例综合问题 轴题 类型4反比例函数最值问题 类型5反比例与圆综合 目目 类型01 己知反比例系数求面积 1.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形0ABC的对角线交于点D.双曲线y=(x>0)经过C,D两点， 双曲线y=8(x>0)经过点B,则平行四边形04BC的面积为() A.5 B.6 C.7 D.8 2.如图，反比例函数y=《(k>0)与长方形0ABC在第一象限相交于D、E两点，0A=4,0C=8,连接 OD,OE,DE,记△OAD、△OCE的面积分别为S、S2,若S,+S2=8,则aODE的面积为() 1/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D E A.8 B.12 C.15 D.83 3.如图平面直角坐标系中，菱形0BCD的边OB在x轴上，反比例函数y=(x>0)的图象经过菱形对角线的 交点A,且与边BC交于点F,点C的坐标为(8,4)，则0BF的面积为() C B A.10 3 B.8 c. 3 D. 4 4.如图，△O4C和△BAD都是等腰直角三角形，∠4CO=∠ADB=90,反比例函数y=6在第一象限的 图象经过点B,则△OAC与△BAD的面积之差即SAO4C-SAAD等于() y A.3 B.6 C.4 D.9 5.如图，反比例函数y=1(x>O)的图象经过Rt△BOC斜边上的中点A,与边BC交于点D,连接AD, 则△ADB的面积为() 2/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A 0 C x A.12 B.16 C.20 D.24 6.如图，四边形OABC是矩形，等腰△ODE中，OE=DE,点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半 轴上，点B、E在反比例函数y=上的图象上，OA=5,OC=1,则△ODE的面积为() D A.2.5 B.5 C.7.5 D.10 目目 类型02 已知面积求反比例系数 7.如图，矩形ABCD的顶点A,B在x轴正半轴上，反比例函数y=k (k为常数，k>0)的图象经过点D, 交BC于点E,CE=2BE,记ADE的面积为，若s=4+13,则k的值为() k A B A.12 B.16 C.20 D.24 8.如图，矩形ABCD的面积为8，边AD在y轴上，E是边CD的中点，若B,E两点在函数 y=m(x>0,m>0的图象上，则m的值是() 3/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B A.2 B.4 C.6 D.8 9.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥x轴， A01AD,A0=AD.过点A作AE⊥CD,垂足为E,DE=4CE.反比例函数y=《(x>0)的图象经过点 B与边B交于盘万连接OE,0P,B.若5m名，则k的值为() D A 0 A. 7 8.1 c.7 ·6 10.如图，一次函数y=5x+b与反比例函数y=冬交于C、D两点，，-x=2,S4c00=65,则k的值为 () B A.65 B.-6V5 C.8V3 D.-8V5 11.如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB/CD,AOB与△C0D的面积分别为8和18，若双 曲线y=《恰好经过BC的中点E,则k的值为() 4/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D C A.3 B.-3 C.-6 D.6 12.如图，点A在反比例函数y=(k≠0，x<0)的图象上，连接A0,作AB1A0,且AB=A0,线段AB 1 25 交y轴于点C,若BC:AC=1:3,△C0B的面积为空，则k的值为() 8 A.12 B.-12 C.-6 D.3 目目 类型03 反比例函数综合题 13.如图， 己知函数片=-x+3的图象与x轴交于点B,与函数乃，=《(k>0)的图象交于C、D两点，以 OC、OD为邻边作平行四边形0CED,下列结论中： ①0C=0D;②若k=2,则当1<x<2时，y>y2;③若k=2,则平行四边形0CED的面积为3；④若 ∠C0D=45°，则k=2.其中正确的有 B A 衣 14.知图，在反比例函数y-x>0)的图象上有动点A,连接01，y-x>0的图象经过01的中点8， 5/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 过点B作BC∥x轴交函数y=1S的图象于点C,过点C作CE∥y轴交函数y=的图象于点D,交x轴点 E,连接AC,OC,BD,OC与BD交于点F.下列结论：①k=4;②SABOC=8;③SACDF:SAAOC=3:16 ;④若BD=A0,则∠A0C=2LC0E.其中正确的是 (填正确的序号) B E 15.如图，已知直线y=kx+b(k≠0)与x轴、y轴相交于Q、P两点，与y= 上（化，≠0）的图象相交于4：， ),B,为)两点，连接0A、OB,现有以下4个结论：①kk,>0;②不等式kx+b>上的解集是 b x<x<:③x+=名：④S.o=S.0·其中正确结论的序号是 (填上你认为正确的所有结 论的序号) 16.如图，直线y=+b分别与x轴、y轴交于C、D两点，与反比例函数y=”m的图象交于A1,3)、 B(3,1)两点，过点A作AE⊥y轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F,连接EF,给出以下结论：①m=3, k=-1,b=4;②EF∥AB;③五边形AE0FB的面积=6；④AD=BC.所有正确的结论有」 (填 正确的序号) 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 17.如图，矩形A0BC的顶点坐标分别为A(0,3)、O0,0)、B(4,0)、C(4,3),动点F在边BC上（不与B、 C重合)，过点F的反比例函数y=《的图象与边AC交于点E,直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G ,给出下列命题：①者k-4,则：0EF的面积为：②若-头，则点C关于直线BF的对称点在维上： ®满足题设的K的取值范围是0<k≤2：④者D北，EG),则k=2,其中正确的命题的序号是 (写出所有正确命题的序号) E BG 18.如图，一次函数=m+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数)-的图象相交于C、D两 点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F,连接CF、DE,有下列结论：①△CEF与△DEF 面积相等，②EF/CD:③△DCE≌△CDF:④AC=BD:⑤△CEF的面积等于，其中正确的省 (填序号) B 目目 类型04 反比例函数最值问题 19.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+2与两坐标轴分别交于A,B两点，C为线段AB的中点， 点P在反比例函数y=(x>0)的图象上，则CP的最小值为 7/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 20.在平面直角坐标系x0y中，直线y=-3x+4与反比例函数y=-4的图象交于A,B两点，与y轴交于 点C.点D(m,m),点E(m+3,n)在平面直角坐标系xOy内且满足-2<n<4,连接CD,BE,DE,则 CD+BE-DE的最小值为 21.如图，直线y=-x+m（m之0)与双曲线y=2相交于A,B两点，点C在第三象限，且BC1x轴， ACIy轴，则△ABC面积的最小值为 22.如图，一次函数，：-+b与反比例函数y=《(x>0)的图像相交于4，B两点，其交点的横坐标分别为 4,8. V D 8/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)k的值是 (2)将点A沿x轴正方向平移m(m>4)个单位长度得到点C,连接CB并延长交x轴正半轴于点D,则 AC·OD的最大值是 23.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=二(x>0)的图象交于点Am,4),B(4,1).点P是线段AB上 一点，过点P作PQ∥y轴，交反比例函数的图象于点Q,连接OP,OQ,则△OPQ面积的最大值为 VA A 24.如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，△AB0的边AB垂直x轴于点B,反比例函数y=(x>0)的 图像经过A0的中点C,与边AB相交于点D,若D的坐标为4，m),AD=3. A C D B k (1)反比例函数y=二的解析式是 (2)设点E是线段CD上的动点，过点E且平行y轴的直线与反比例函数的图像交于点F,则△OEF面积 的最大值是 目目 类型05 反比例函数与圆综合 4 25.如图，点P在反比例函数y=-(x>0)的图象上，以点P为圆心的0P与两坐标轴都相切，E为y轴负 半轴上的一点，PF⊥PE交x轴于点F,连接EF. 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E (1)点P的坐标为 ； (2)若0E·OF=3,则EF的长为 26.如图，圆经过平面直角坐标系的原点0，分别交x轴、y轴于B(-1,0),A0,2)两点，C是圆上一点， 且OC平分∠A0B.若反比例函数(k≠0，x<0)的图象经过点C,则k的值为一· 0 27.点A是反比例函数y=12(x>0)图像上一点，以OA为直径的圆交x轴于点B,点C为弧OBA的中点， 连接CB并延长交OA的延长线于点D,若CD=5√2，则点A的坐标为一 A B 28.如图，以点0为圆心，半径为2的圆与y=的图象交于点4B,若∠A0B=60°，则k的值为 10/11 专题01 反比例函数选择填空压轴题分类训练 （5种类型30道） 地 城 类型01 已知反比例系数求面积 1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于点．双曲线经过，两点，双曲线经过点，则平行四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行四边形的性质得到，因为双曲线经过点，所以可设的坐标是，则的纵坐标是，作，由得到的坐标是，代入双曲线求得的值，然后代入的纵坐标，可得到的横坐标是，根据平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：平行四边形的对角线交于点， ， ∵双曲线经过点， ∴设的坐标是， 则C的纵坐标是， 作， ， ， ， ， 的坐标是， ∵双曲线经过点，代入得： ， ∴反比例解析式为， ∵双曲线经过C点，将C点纵坐标代入得： ， 得：， 即的横坐标是， ， 平行四边形的面积点的纵坐标， 故选：B． 2．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．15 D． 【答案】C 【分析】本题考查反比函数系数的几何意义，图形与坐标，根据长方形的性质得，，，继而得出轴，轴，根据三角形的面积及反比函数系数的几何意义得，，推出，继而得到，，，再根据即可得解．求出、的长是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴轴，轴， ∵反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，、的面积分别为、，， ∴，， ∴， 解得：， ∴，，即，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴的面积为． 故选：C． 3．如图平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，反比例函数的图象经过菱形对角线的交点，且与边交于点，点的坐标为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质求出点A坐标，将点A的坐标代入到反比例函数的一般形式后求得k值即可确定函数的解析式，过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，首先求得点B的坐标，然后求得直线BC的解析式，求得直线和双曲线的交点F坐标，然后根据S△OBF＝OB•FH求得即可． 【详解】解：∵四边形OBCD是菱形， ∴OA＝AC， ∵C（8，4）， ∴A（4，2）， 把点A（4，2）代入，反比例函数y＝（x＞0）得，，解得k＝8， ∴反比例函数的解析式为y＝； 过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N， 设OB＝x，则BC＝x，BN＝8﹣x， 在Rt△CNB中，x2﹣（8﹣x）2＝42， 解得：x＝5， ∴点B的坐标为B（5，0）， 设直线BC的函数表达式为y＝ax+b，直线BC过点B（5，0），C（8，4）， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣， 联立方程组得，解得：或， ∴点F的坐标为F（6，）， 作FH⊥x轴于H，连接OF， ∴S△OBF＝OB•FH＝×5×＝， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特点、待定系数法确定反比例函数的解析式等知识，解题的关键是能够根据点C的坐标确定点B的坐标，从而确定直线的解析式． 4．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差即S△OAC－ S△BAD等于(     ) A．3 B．6 C．4 D．9 【答案】A 【分析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，则S△OAC－ S△BAD＝(a2﹣b2)，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标为(a+b，a﹣b)，根据反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标可得(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2＝6，由此即可得出结论． 【详解】解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b， 则点B的坐标为(a+b，a﹣b)． ∵点B在反比例函数y＝的第一象限图象上， ∴(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2＝6． ∴S△OAC﹣S△BAD＝a2﹣b2＝(a2﹣b2)＝×6＝3． 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是得出a2−b2的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键． 5．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过Rt△BOC斜边上的中点A，与边BC交于点D，连接AD，则△ADB的面积为（　　）    A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】过A作AE⊥OC于E，设A（a，b），求得B（2a，2b），ab＝16，得到S△BCO＝2ab＝32，于是得到结论． 【详解】过A作AE⊥OC于E， 设A（a，b）， ∵当A是OB的中点， ∴B（2a，2b）， ∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过Rt△BOC斜边上的中点A， ∴ab＝16， ∴S△BCO＝2ab＝32， ∵点D在反比例函数数y＝（x＞0）的图象上， ∴S△OCD＝16÷2=8， ∴S△BOD＝32﹣8＝24， ∴△ADB的面积＝S△BOD＝12， 故选：A．    【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与三角形的综合，掌握反比例函数的比例系数k的几何意义，添加合适的辅助线，是解题的关键. 6．如图，四边形OABC是矩形，等腰△ODE中，OE＝DE，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B、E在反比例函数y＝的图象上，OA＝5，OC＝1，则△ODE的面积为（　　） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【答案】B 【分析】过E作EF⊥OC于F，由等腰三角形的性质得到OF＝DF，于是得到S△ODE＝2S△OEF，由于点B、E在反比例函数y＝的图象上，于是得到S矩形ABCO＝k，S△OEF＝k，即可得到结论． 【详解】解： 过E作EF⊥OD于F， ∵OE＝DE， ∴OF＝DF， ∴S△ODE＝2S△OEF， ∵点B、E在反比例函数y＝的图象上， ∴S矩形ABCO＝k，S△OEF＝k， ∴S△ODE＝S矩形ABCO＝5×1＝5， 故选B． 7．如图，矩形的顶点A，B在x轴正半轴上，反比例函数（k为常数，）的图象经过点D，交于点E，，记的面积为s，若，则k的值为（　　）地 城 类型02 已知面积求反比例系数 A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．设，先求得，再求得，从而得到方程，即可求得答案． 【详解】解：设， 则， ， ， 令，则， ， ， ，， ， 又， ， 解得或， ， ． 故选：B． 8．如图，矩形的面积为8，边在y轴上，E是边的中点，若B，E两点在函数的图象上，则m的值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，矩形的性质，设，则，根据B，E两点在函数的图象，列方程即可解答，熟练运用反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：设，，则， 四边形为矩形，且面积为， ，， E是边的中点， ， ， B，E两点在函数的图象， ， 可得，即， 故选：D． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，轴，，．过点A作，垂足为E，．反比例函数的图象经过点E，与边交于点F，连接，，．若，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交x轴于点G，过点F作轴于点H，轴，，，可得轴；利用，可得，得到，；利用，四边形是菱形，可得．设，则，由勾股定理可得，，可得，所以，由于为矩形，，可得点，进而得，；利用，列出关于a的方程，求得a的值，k的值可求． 【详解】解：延长交x轴于点G，过点F作轴于点H，如图， ∵轴，，， ∴轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点E， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点F在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ， 解得：， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标的特征，三角形的全等的判定与性质，等腰直角三角形，菱形的性质．利用点的坐标表示相应线段的长度和利用线段的长度表示相应点的坐标是解题的关键． 10．如图，一次函数与反比例函数交于C、D两点，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合、根与系数的关系等知识点，过作轴于，过作轴于，利用面积法得到，代入数值得到，再联立解析式根据根与系数的和得到，代入求值即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，则， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， 联立得到， ∴， ∴，解得， ∵， ∴，即 解得， 故选：D． 11．如图，四边形的顶点都在坐标轴上，若，与的面积分别为8和18，若双曲线恰好经过的中点E，则k的值为（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】过E分别向x轴、y轴作垂线，垂足为F、G，求出矩形OFEG的面积值，这个值的相反数就是k的值． 【详解】解：如下图 ∵AB∥CD ∴∠ABO=∠CDO 又∠AOB=∠COD ∴△AOB∽△COD 又与的面积分别为8和18 ∴ ∴ ∴△BOC的面积为； 由中位线定理知：， ∴ ∴k=6． 故选：D． 【点睛】此题考查反比例函数的k的几何意义．此题的关键是要求出，再据“同高的两个三角形，底之比等于面积比”求出△BOC的面积． 12．如图，点在反比例函数的图象上，连接，作，且，线段交轴于点，若，的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过A作AM⊥x轴于M，作CN⊥AM，交MA延长线于N，根据，△COB的面积，易求得△AOC的面积为，进而求得S△AOM+S△ANC=S△AOC=，通过证得△OAM∽△ACN，得出，即可求得S△OBM==6，根据反比例函数系数k的几何意义，即可确定k的值． 【详解】解：过A作AM⊥x轴于M，作CN⊥AM，交MA延长线于N， ∵,△COB的面积 ∴S△AOC=3S△COB= ∵四边形OMNC是矩形 ∴S△AOM+S△ANC=S△AOC= ∵，且AO=AB， ∴∠CAN+∠OAM=90°，∠AOM+∠OAM=90°， ∴∠AOM=∠CAN， 又∵∠AMO=∠CNA=90°， ∴△OAM∽△ACN， ∴ ∵BC∶AC =1：3， ∴OA∶AC =4：3， ∴ ∴S△OAM==6 ∵点B在反比例函数的图象上， ∴S△OBM=|k|,解得k=±12 ∵图象在第二象限， .∴k=-12． 故答案为B． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式和相似三角形的应用，解答的关键在于应用相似三角形的性质求面积． 13．如图，已知函数的图象与轴交于点，与函数的图象交于两点，以为邻边作平行四边形．下列结论中：地 城 类型03 反比例函数综合题 ①；②若，则当时，；③若，则平行四边形的面积为3；④若，则．其中正确的有 ．    【答案】①②③ 【分析】联立求得两点的坐标，利用勾股定理即可判断①；根据两点的坐标即可判断②；求得的坐标，利用菱形的面积公式进行计算即可判断③；假设，则，而，即可判断④． 【详解】解：①函数的图象与函数的图象交于两点， 联立， 解得：或， ，， 由勾股定理可得：， ， ，故①正确，符合题意； ②若， 联立， 解得：或， ，， 根据图象可得：当时，，故②正确，符合题意； ③如图，连接，   ， 平行四边形中，， 四边形是菱形， 若，则，， ， 根据勾股定理可得：，， ，故③正确，符合题意； ④若，根据菱形的性质， ， 平分， 必须有， 由③可知，若，则， 那么， ，， 若，则不成立，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的为：①②③， 故答案为：①②③． 14．如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，交轴点，连接，，，与交于点．下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是 ．（填正确的序号）    【答案】①③④ 【分析】设，则的中点为，，即可求得，即可判断①；表示出的坐标，即可表示出，利用三角形面积公式求得，即可判断②；计算出，，即可求得，即可判断③；先证得是的中点，然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，从而得到，即可判断④． 【详解】解：动点在反比例函数的图象上， 设， 的中点为，， 的图象经过点， ，故①正确； 过点作轴交函数的图象于点， 的纵坐标， 把代入得，， ， ， ，故②错误； 如图，过点作轴于．    ，，，， 过点作轴交函数的图象于点，交轴点， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为，直线的解析式为， 由，解得， ，， ， ， ， ，故③正确； ，，，，， 是的中点， ， ， 轴， ， ， 若，则， ， ．故④正确； 故答案为：①③④． 15．如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与的图象相交于，，，两点，连接、，现有以下4个结论：①；②不等式的解集是；③；④．其中正确结论的序号是 ．（填上你认为正确的所有结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】①根据直线与系数的关系、双曲线与系数的关系进行判断；②根据图示直接得到答案；③联立直线与双曲线方程，建立方程组，利用函数图象上点的坐标特征和解方程组得到：，整理为，解该方程即可进行判断；④把，，，代入，求得，，根据三角形的面积公式即可得到． 【详解】解：①如图所示，直线经过第一、三象限，则． 双曲线经过第一、三象限，则． 所以．故结论①正确； ②如图所示：不等式的解集是或；故结论②不正确； ③把，，，的坐标代入得，， ， 把，，，的坐标代入，得， ， ， ， ， ， ；故结论③正确； ④把，，，的坐标代入得，， 解得， 直线解析式为， 点，， 把，，，的坐标代入，得， ， ， ．故结论④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题，综合运用反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算等知识点解题，正确的理解题意是解题的关键． 16．如图，直线分别与轴、轴交于、两点，与反比例函数的图象交于、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接．给出以下结论：①，，；②；③五边形的面积；④．所有正确的结论有 ．（填正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据待定系数法求出函数关系式可确定、、的值，即可判断①；确定点、的坐标及直线与轴、轴交点、的坐标，利用等腰直角三角形的性质即可判断②根据，即可判断③；由坐标求出相应的线段的长，根据勾股定理求出、的长，即可判断④． 【详解】解：直线过、两点， ， 解得：， 直线的函数关系式为， 又反比例函数的图象过， ， 反比例函数的关系式为， 故①正确； 轴，轴， ，， ， 又直线与轴的交点，与轴的交点， ， ， ， ， 故②正确； ， 故③不正确； 在直角中，， 在直角中， ， 故④正确； 综上所述，正确的结论有：①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的图象的交点坐标，勾股定理，图形的面积的计算，待定系数法求函数解析式以及勾股定理求出线段的长是解决问题的关键． 17．如图，矩形的顶点坐标分别为、、、，动点在边上（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和，给出下列命题：①若，则的面积为；②若，则点关于直线的对称点在轴上；③满足题设的的取值范围是；④若，则．其中正确的命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号） 【答案】①② 【分析】①若k＝4，则计算S△OEF＝，故命题①正确； ②若，可证明直线EF是线段CN的垂直平分线，故命题②正确； ③因为点F不经过点C（4，3），所以k≠12，故命题③错误； ④求出直线EF的解析式，得到点D、G的坐标，然后求出线段DE、EG的长度；利用算式，求出k＝1，故命题④错误． 【详解】解：命题①正确．理由如下： ∵k＝4， ∴E（，3），F（4，1）， ∴CE＝4−＝，CF＝3−1＝2． ∴S△OEF＝S矩形AOBC−S△AOE−S△BOF−S△CEF ＝S矩形AOBC−OA•AE−OB•BF−CE•CF＝4×3−×3×−×4×1−××2＝12−2−2−＝，故命题①正确； 命题②正确．理由如下： ∵， ∴E（，3），F（4，）， ∴CE＝4−＝，CF＝3−＝． 如图，过点E作EM⊥x轴于点M，则EM＝3，OM＝； 在线段BM上取一点N，使得EN＝CE＝，连接NF． 在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN2＝EN2−EM2=， ∴MN＝， ∴BN＝OB−OM−MN＝4−−＝． 在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF2＝BN2＋BF2=， ∴NF＝． ∴NF＝CF， 又EN＝CE， ∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称， 故命题②正确； 命题③错误．理由如下： 由题意，得点F与点C（4，3）不重合，所以k≠4×3＝12，故命题③错误； 命题④正确．理由如下： 设k＝12m，则E（4m，3），F（4，3m）． 设直线EF的解析式为y＝ax＋b， 则，解得， ∴y＝x＋3m＋3． 令x＝0，得y＝3m＋3， 令y＝0，得x＝4m＋4， ∴D（0，3m＋3），G（4m＋4，0）． 如图，过点E作EM⊥x轴于点M，则OM＝AE＝4m，EM＝3． 在Rt△ADE中，AD＝OD−OA＝3m，AE＝4m，由勾股定理得：DE＝5m； 在Rt△MEG中，MG＝OG−OM＝（4m＋4）−4m＝4，EM＝3，由勾股定理得：EG＝5． ∴DE•EG＝5m×5＝25m＝，解得m＝， ∴k＝12m＝1，故命题④错误． 综上所述，正确的命题是：①②， 故答案为：①②． 【点睛】本题综合考查函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法求解析式、矩形的性质及勾股定理等知识点，本题计算量较大，正确的计算能力是解决问题的关键． 18．如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE，有下列结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②EFCD；③△DCE≌△CDF；④AC=BD；⑤△CEF的面积等于，其中正确的有 （填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】△DFE中，以DF为底，OF为高，可得，同理可求得△CEF的面积也是k，因此两者的面积相等；若两个三角形都以EF为底，那么它们的高相同，即E、F到AD的距离相等，由此可证得CDEF，然后根据这个条件来逐一判断各选项的正误． 【详解】解：设点D的坐标为（x，），则F（x，0）． 由函数的图象可知：x＞0，k＞0． ∴， 同理可得，故⑤正确； 故△CEF与△DEF的面积相等．故①正确； 若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CDEF．故②正确； ③条件不足，无法得到判定△DCE和△CDF全等的条件，故③错误； ④∵CDEF，CE⊥y轴、DF⊥x轴， ∴CEAF、DFBE， ∴四边形ACEF，四边形DBEF都是平行四边形， 而且EF是公共边， 即AC=EF=BD， ∴BD=AC，故④正确； 因此正确的结论有4个：①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为 ．地 城 类型04 反比例函数最值问题 【答案】/ 【分析】先求出，根据中点坐标公式求出，根据轴对称图形的性质确定点P位置，并求出点P的坐标，再求出的长即可． 【详解】解：∵一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴一次函数与反比例函数的图象是关于直线对称， ∵点C在直线上， ∴当点P在直线上时，线段最小， ∴点在反比例函数的图象上， ∴， ∵, ∴， ∴的最小值为 故答案为： 【点睛】本题是反比例函数与一次函数交点问题，线段最短问题，以及勾股定理，数形结合是解题的关键． 20．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．点，点在平面直角坐标系内且满足，连接，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，分别求出直线与轴交点坐标以及点的坐标，根据点坐标可得，要求的最小值只要求最小，平移点B，构造平行四边形和直角三角形，根据两点之间线段最短可解决问题 【详解】解：∴直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴联立方程组， 解得， ∴ 对于，当时，， ∴， ∵点，点， ∴，轴， 要求的最小值只要求最小，将点B向左平移3个单位，连接，如图， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∴ 当三点共线时，最小，即最小， 在中，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 21．如图，直线（）与双曲线相交于A，B两点，点C在第三象限，且//轴，//轴，则△ABC面积的最小值为 ． 【答案】4 【分析】设A（a，-a+m），B（b，-b+m），则BC=AC=b-a，利用三角形面积公式和完全平方公式得到S△ABC=（b-a）2=（a+b）2-2ab，利用根与系数的关系得到a+b=m，ab=-2，所以S△ABC=m2+4，从而得S△ABC的最小值． 【详解】解：设A（a，-a+m），B（b，-b+m）， ∵BC//x轴，AC//y轴， ∴BC=b-a，AC=-a+m-（-b+m）=b-a， ∴S△ABC=（b-a）2=（a+b）2-2ab， ∵直线y=-x+m与双曲线y=-相交于A，B两点， ∴a、b为方程-x+m=-的解， 方程变形为x2-mx-2=0， ∴a+b=m，ab=-2， ∴S△ABC=m2+4， ∵m2≥0， ∴S△ABC的最小值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了根与系数的关系． 22．如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A，B两点，其交点的横坐标分别为4，8． （1）k的值是 ； （2）将点A沿x轴正方向平移个单位长度得到点C，连接并延长交x轴正半轴于点D，则的最大值是 ． 【答案】 32 36 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质、全等三角形的判定与性质、运用二次函数的性质求最值等知识点，灵活应用相关知识成为解题的关键． （1）由题意可得、，然后代入得到二元一次方程组求解即可； （2）如图：作轴于点F，交于点E，则，；根据题意可得，，进而得到，然后再证明可得、，最后代入中化成顶点式求最值即可解答． 【详解】解：（1）点A，B在反比例函数的图像上， ，； 点A，B在一次函数的图像上， ，，解得． 故答案为32． （2）如图：作轴于点F，交于点E，则，， ∵， ∴，， ， ， ∵将点A沿x轴正方向平移个单位长度得到点C， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ， ， ，当时，取最大值，最大值是36． 故答案为：36． 23．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．点P是线段上一点，过点P作轴，交反比例函数的图象于点Q，连接，则面积的最大值为 ．    【答案】// 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，二次函数的最值问题，理解题意，综合运用三个函数的基本性质是解题关键． 将B点坐标代入即可得出反比例函数解析式，进而求得A的坐标，再将A、B两点坐标分别代入一次函数，确定一次函数的解析式；设且，则，求得，根据三角形面积公式得到，求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴，  解得 ∴反比例函数解析式为， 把代入 ，得， 点， ∵一次函数解析式经过，， ∴ 解得： ∴一次函数解析式为：， 延长交x轴于点D，如图所示：    ∵轴， ∴轴， 设且，则， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为， 故答案为：． 24．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直轴于点，反比例函数的图像经过的中点，与边相交于点，若的坐标为，． （1）反比例函数的解析式是 ； （2）设点是线段上的动点，过点且平行轴的直线与反比例函数的图像交于点，则面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】（1）先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C，D坐标代入反比例函数中即可得出结论； （2）由m＝1，求出点C，D坐标，利用待定系数法即可得出结论，设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与n的函数关系式即可得出结论． 【详解】（1）∵AD＝3，D（4，m）， ∴A（4，m＋3）， ∵点C是OA的中点， ∴ ， ∵点C，D在双曲线y＝上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为y＝； （2）∵m＝1， ∴C（2，2），D（4，1）， 设直线CD的解析式为y＝ax＋b， ∴， ∴ ∴直线CD的解析式为， 故答案为：； 如图，设点， C（2，2），D（4，1）， ∴2＜n＜4， ∵EF∥y轴交双曲线于F， ∴， ∴EF＝−n＋3−， ∴S△OEF＝ ∴n＝3时，S△OEF最大，最大值为， 故答案为： 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解本题的关键是建立S△OEF与n的函数关系式． 25．如图，点在反比例函数的图象上，以点为圆心的与两坐标轴都相切，为轴负半轴上的一点，交轴于点，连接．地 城 类型05 反比例函数与圆综合 （1）点的坐标为 ； （2）若，则的长为 ． 【答案】 【分析】（1）过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为点，根据且，求出，即可得出答案； （2）先证明，得出，根据，得出，求出，即可得出． 【详解】解：（1）过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为点，如图所示： 由题意，得且， ∴， 即点的坐标为． 故答案为：． （2）∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ， ， 即，负值舍去． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，切线的性质，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判定． 26．如图，圆经过平面直角坐标系的原点，分别交轴、轴于，两点，是圆上一点，且平分．若反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：连接、，作轴于，轴于， 平分， ，， ， ， ， ，， 四边形是正方形， ， ， ，， ，， ， ， ， ，， 反比例函数的图象经过点， ， 故答案为：． 27．点A是反比例函数图像上一点，以OA为直径的圆交轴于点B，点C为弧OBA的中点，连接CB并延长交OA的延长线于点D，若CD＝，则点A的坐标为 ． 【答案】(，)或(，) 【分析】作出如图的辅助线，先证明Rt△EPCRt△HOP(AAS)，设点A(，)，则B (，)，P(，)，H (，)，求得C(，)，再求得直线OA、BC的解析式，联立求得点D的坐标，利用等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】连接AB，过P作PE⊥轴于H，过C作CE⊥并的延长线交于E，如图： ∵OA为⊙P直径，点C为弧OBA的中点， ∴∠OBA=90，∠OPC=90，OP= PC， ∴∠OPH+∠EPC=∠OPH+∠POH=90， ∴∠EPC=∠POH， ∴Rt△EPCRt△HOP(AAS)， ∴EP=HO，EC= HP， 设点A(，)，则B (，)，P(，)，H (，)， ∴EP=HO=，EC= HP=， ∴C(，)， 设直线OA的解析式为， 则，解得， ∴直线OA的解析式为， 设直线BC的解析式为， ， 解得：， ∴直线BC的解析式为， 解方程组得：， ∴D (，)， ∵直线BC的解析式为， ∴ 整理得，， 解得：或或(负值不合题意，全部舍去)， 经检验，，是原方程的解， ∴点A的坐标为(，)或(，) ． 故答案为：(，)或(，)． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，圆周角定理，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 28．如图，以点为圆心，半径为2的圆与的图象交于点，若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】分别过A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，利用对称性，可得∠AOM=∠BON=15°．再作点B关于x轴的对称点C，连接BC，OC，作BD⊥OC于点D，根据S△OBN=S△OBC得出△OBN的面积，从而可求出k的值． 【详解】解：分别过A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N， 由圆、反比例函数图象的对称性可知，图形关于一、三象限角平分线对称，即关于直线y=x对称，可得△AOM≌△BON， ∴∠AOM=∠BON=×（90°-60°）=15°． 作点B关于x轴的对称点C，连接BC，OC，作BD⊥OC于点D， 则∠BOC=2∠BON=30°，OB=OC=2， ∴BD=OB=1， ∴S△OBN=S△OBC=×OC×BD=1， ∴k=S△OBN=1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，圆与反比例函数的对称性，含30°的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键． 29．如图，点在反比例函数图像上，以为直径的圆交该双曲线于点，交轴于点，若，则该圆的直径长是 ． 【答案】 【分析】首先连接AB、AC、BC、OC，过点C作CD⊥y轴于点D，然后由过直径的三角形是直角三角形和勾股定理得出，再根据反比例函数的性质，利用坐标构建方程，求解即可. 【详解】连接AB、AC、BC、OC，过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示： ∵OA是圆的直径 ∴∠ABO=∠ACO=90° ∴ ∴ ∵ ∴OC=OB ∵CD⊥y轴于点D ∴BD=OD 设点A的坐标为，则， ∵CD⊥y轴于点D，且点C在的图象上， ∴点C的坐标为 ∴ 化简，得 解得或（舍去） 则A的坐标为 ∴ 故答案为：. 【点睛】此题主要考查反比例函数和圆的综合应用，熟练掌握，即可解题. 30．如图，点A在反比例函数图象上运动，以线段OA为直径的圆交该双曲线于点C，交y轴于点B，若弧CB=弧CO，则点A的坐标为 ． 【答案】 【详解】 解：如图，连接AB,AC,BC,OC,过点C作CD⊥y轴于点D. ∵AB是圆O的直径， ∴∠ABO=∠ACO=90° ∴ ∴ ∵弧CB=弧CO ∴OC=BC 又CD⊥y轴于点D， ∴BD=OD 设A的坐标为，则， 又∵CD⊥y轴于点D，且点C在的图象上， ∴C的坐标为（2m，） ∴ ， 化简得:，即， 解得（舍去）， 则A的坐标为 故答案为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $