专题03 反比例函数实际问题压轴类（5种类型32道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学人教版九年级下册

专题03 反比例函数实际问题压轴类 （5种类型32道） 地 城 类型01 跨学科综合物理相关 1．物理学中，分别表示动力和动力臂，，分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，． 如图①，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于平衡状态．当弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）改变时，弹簧测力计的拉力F（单位：）也随之改变． (1)当时，______． (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为，弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图②所示．求出L与x之间的函数解析式（写出x的取值范围），并在图③画出此函数图象． 【答案】(1) (2)；图象见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）根据解答即可； （2）求出与的关系式，可得L关于x的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴； 故答案为： （2）解：设与的关系式为， 由图②得图象经过， ， ∴与的关系式为， ， ， ∴， 根据题意得：，， ∴自变量x的取值范围为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 画出图象如图所示： 2．【问题提出】 在物理课上，小明同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L亮度的实验，如图，已知串联电路中，电流与电阻R、灯丝的阻值之间关系为通过实验得出如下数据： ··· 1 2 3 4 6 ··· ··· a ··· ； （1）填空：的值为Ω，a的值为； 【问题探究】 根据以上实验，构建出函数结合表格信息，探究函数的图象与性质； （2）①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是（） A．不断增大 B．不断减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【问题升华】 （3）结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为．（结果精确到0.1） 【答案】（1）4，4；（2）①见解析；②；（3）或 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查反比例函数的性质，不等式的解集，解题的关键是读懂题意，画出函数图象，利用数形结合的思想解决问题． （1）由已知列出方程，即可解得，的值； （2）①描点画出图象即可；②观察图象可得答案； （3）同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意，， ， ， 故答案为：4，4； （2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象如下： ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是不断减小， 故答案为：； （3）如图： 由函数图象知，当或时， 即当时，的解集为或， 故答案为：或． 3．在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，随着技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值： 频率f（） 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 (1)该段电磁波的波长与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长关于频率f的函数表达式； (2)当时，求此电磁波的波长． 【答案】(1)反比例函数关系， (2) 【分析】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． （1）由表中数据可知，电磁波的波长与频率满足反比例函数关系，设解析式为，用待定系数法求解即可； （2）把值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长． 【详解】（1）解：由表中数据可知，电磁波的波长与频率的乘积为定值， ∴电磁波的波长与频率满足反比例函数关系， 设波长关于频率f的函数解析式为， 把点代入上式中得：， 解得：， ； （2）当时，， 答：当时，此电磁波的波长为． 4．阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务，今天是2023年6月8日    （星期四），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了一次“探索电压一定时，输出功率P与电阻R函数关系的数学活动”．    第一步，我们设计了如图所示的电路，电压为定值6V不变． 第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化． 第三步，我们根据物理知识P＝UI，通过测量电路中的电流计算电功率． 第四步，计算收集数据如下： R/Ω … 2 4 6 8 10 … P/W … 18 9 6 4.5 3 … 第五步，数据分析，以R的数值为横坐标，P的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记． 任务： (1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是 ；（单选） A．数形结合B．类比思想C．分类讨论D．方程思想 (2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出P关于R的函数表达式； (3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象；    (4)请直接写出：若P大于10W，R的取值范围为． 【答案】(1)B (2) (3)图见详解 (4) 【分析】（1）通过类比思想发现各数据之间的对应关系； （2）根据与的积是定值发现有问题的一组数据； （3）将描出的点用光滑的曲线连接即可； （4）根据计算出的取值范围． 【详解】（1）通过类比思想发现数据之间的关系正确与否．故选：． （2）通过前四组数据发现：与的积都是36定值，发现最后一组有问题； 与关系式是：， （3）图象如图： （4）当时，即，解得． 【点睛】本题考查了反比例函数的具体应用，理解题意是这类题目的突破口． 5．阅读与思考 下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 在物理活动课上，我们“博学”小组的同学，参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活动．   第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻R的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率P． 第二步，整理数据． … 3 6 9 12 15 … … 3 1.5 1 0.75 0.7 … 第三步，描点连线．以R的数值为横坐标，对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记． 任务：    (1)表格中错误的数据是______，P与R的函数表达式为______； (2)在平面直角坐标系中，画出P与R的函数图象； (3)结合图象，直接写出P大于6W时R的取值范围． 【答案】(1)0.7， (2)见解析 (3)当P大于6W，R的取值范围为 【分析】（1）根据P与R是反比例函数求解即可； （2）利用描点法画出图象即可； （3）观察图象，直接写出答案即可． 【详解】（1）解：观察表中的数据发现P与R的乘积固定不变，等于9,故P与R是反比例函数， 其中，数据错误； 设P与R的函数解析式为， 把代入得，， 解得，， P与R的函数解析式为， 故答案为：，． （2）解：P关于R的函数图象如图：    （3）解：当，结合图象，P大于6W时R的取值范围是． 【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，解题关键是根据表格数据确定两个变量成反比例，求出函数解析式． 6．阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 今天是2023年5月8日（星期一），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学，参加了一次“探索输出功率与电阻函数关系的数学活动”． 第一步，我们根据物理知识，（表示电压为定值6V，表示电流），通过测量电路中的电流计算电功率． 第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化． 第三步，计算收集数据如下： ... 5 10 15 20 25 ... ... 7.2 3.6 2.4 1.8 1.6 ... 第四步，数据分析，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改.实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记． 任务： (1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是______； A．数形结合             B．类比思想            C．分类讨论             D．方程思想 (2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出关于的函数表达式； (3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象； (4)请直接写出：若想大于30W，的取值范围． 【答案】(1)A (2)，第五组数据是错误的 (3)详见解析 (4) 【分析】（1）根据上面日记中，数据分析过程即可得到答案； （2）由和可得关于的函数表达式为，在代入数据即可判断第几组数据是错误的； （3）先描点，在用平滑的曲线连起来即可； （4）若想大于30W，则，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：上面日记中，数据分析过程，利用函数图象来观察功率与电阻的关系，主要运用的数学思想是数形结合； 故答案为：A； （2）解：由和可得关于的函数表达式为， ， ， 当时，不在函数表达式上， 时，是明显错误的；P关于R的函数表达式是：； （3）解：在该坐标系中描出表中前4组数据对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点，作出此函数的图象如图所示： （4）解：若想大于30W，即， 则，且， 则的取值范围． 7．今年以来，新能源汽车产销两旺，成为推动经济运行，且率先实现整体好转的重要发力点．某新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，若余款在60个月内结清，则不计算利息．张先生在该销售商手上购买了一辆价值为20万元的新能源汽车，交了首付款后余款由平均每月付款万元，个月结清．与的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题．地 城 类型02 新能源相关反比例函数实际问题 (1)确定与的函数解析式，并求出首付款的数目． (2)若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元？ (3)如果张先生打算每月付款万元，那么他要多少个月才能结清余款？ 【答案】(1)y与x的函数关系式为，首付款为5万元； (2)平均每月应付万元； (3)张先生至少要50个月才能结清余额． 【分析】此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，然后再根据实际意义进行解答． （1）利用待定系数法，即可求出解析式； （2）在（1）的基础上，知道自变量，便可求出函数值； （3）知道了因变量的值，利用解析式即可求出自变量的值． 【详解】（1）解：由图象可知y与x成反比例关系，设y与x的函数关系式为， 把代入关系式得， ∴， ∴y与x的函数关系式为， ∴（万元）． ∴首付款为5万元； （2）解：当时，（万元）， 答：平均每月应付万元； （3）解：当时，， 解得． 答：张先生至少要50个月才能结清余额． 8．随着新能源的发展，电动汽车的使用越来越广泛，已知某品牌国标电动车蓄电池的电压为，使用该蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）满足反比例函数关系：．回答下列问题： (1)这个反比例函数的关系式是：_______． (2)如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么用电器的可变电阻的取值范围是：_______； (3)补全下方表格，并在平面直角坐标系中，画出相应的函数图象． …… 3 6 12 18 …… …… 12 6 4 2 …… 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用； （1）根据题意列出解析式，即可求解； （2）根据（1）所求可得I随R增大而减小，因此求出当I=10A时，R的值即可得到答案； （3）根据解析式，填表并画出函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：电池的电压为，使用该蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）满足反比例函数关系：． ∴， ∴电流I（单位：A）与电阻R（单位：）得到反比例函数关系式为； （2）解：∵在中，， ∴I随R增大而减小， 当时，则，解得， ∴当时，， 故答案为：． （3）解：补全表格 …… 3 6 12 18 …… …… 12 6 4 2 …… 9．【问题探究】 下面是某品牌新能源车辆的车机智驾系统关于弯道对通行车辆长度的限制的研究． （1）用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道． ②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是__________． ③当时，线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道． 【问题解决】 （2）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线上，弯道内侧的两边分别与x轴、y轴平行，，．用矩形模拟汽车，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，，要使矩形能通过该弯道，求b的最大整数值．（参考数据：，） 【答案】（1）①能，②，③不能；（2）6 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，反比例函数的应用，做出正确的辅助线是解题的关键． （1）①利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答； ②过点作，交于点，证明，即可求得，即可解答； ③利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答； （2）过点作轴于点，求得点坐标，即可求得反比例函数解析式，过点作轴于点，即可求得直线的解析式，列方程，求得的坐标，即可求得的长，即可解答． 【详解】解：（1）①如图，当时，线段恰好不能通过直角弯道， 当时，线段能通过直角弯道， 故答案为：能； ②如图，过点作，交于点， ， ， 线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道， ， ， ， ， 由题意可得， ， 当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况， ， ， 故答案为：； ③根据①可得，当时，线段不能通过直角弯道， 故答案为：不能； 解：（2）如图，过点作轴于点， 第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线上， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 把代入，可得， 解得， 反比例函数的解析式为， 设直线与的交点为，则， 过点作轴于点， 则， ， ， 根据（1）中可得与轴的夹角为， 故可设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为， 令， 解得， 经检验，是原方程的解， , ， ， 要使矩形能通过该弯道，b的最大整数值为． 10．近年来，新能源汽车产销两旺，成为推动经济运行，且率先实现整体好转的重要发力点．某新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王老师在活动期间购买了价格为12万元的这款新能源汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目； (2)王老师若用20个月结清，平均每月应付多少万元？ (3)王老师每月付款不少于多少元，可以确保在规定期限内结清余额？ 【答案】(1)，首付款为3万元 (2)每月应付万元 (3)他每月至少应付万元，可在期限内结清余款 【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，然后再根据实际意义进行解答； （1）从反比例图象上任意找一点向两坐标轴引垂线，形成的矩形面积等于的绝对值，由图可知，即可求出解析式． （2）在（1）的基础上，知道自变量，便可求出函数值． （3）知道了自变量的范围，利用解析式即可求出因变量的范围． 【详解】（1）解：由图象可知与成反比例，设与的函数关系式为， 把代入关系式得， ， ， （万元）． 答：首付款为3万元； （2）解：当时，（万元）， 答：每月应付万元； （3）解：当时，， 答：他每月至少应付万元，可在期限内结清余款． 11．2023年新能源汽车继续保持快速增长，产销突破了900万辆，市场占有率超过，汽车出口再创新高，全年出口接近500万辆．为继续扩大销量，某城市新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，若余款在60个月内结清，则不计算利息．张先生在该销售商手上购买了一辆价值为20万元的新能源汽车，交了首付款后余款由平均每月付款y万元，x个月结清．y与x满足某函数关系，其部分对应值如下表，请回答下列问题． x/月 … 2 4 7 10 … y/万元 … 7 2 … (1)确定y与x的函数表达式，并求出首付款； (2)若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元； (3)如果张先生打算每月付款万元，那么他能否在规定不计算利息的期限内结算？ 【答案】(1)（的整数），首付款为6万元 (2)平均每月应付万元 (3)他能在规定不计算利息的期限内结算 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，用待定系数法求反比例函数的解析式，解答本题的关键是找出等量关系，列出函数解析式． （1）利用待定系数法，即可求出解析式； （2）在（1）的基础上，知道自变量，便可求出函数值； （3）知道了y的值，利用解析式即可求出自变量的值． 【详解】（1）解：由表格猜想y与x成反比例函数关系， 设y与x的函数表达式为， 当，，代入表达式得， ， 与x的函数表达式为（的整数）， 经检验表中其他各组对应值均满足此表达式， 当时，， （万元）． 首付款为6万元； （2）当时，（万元）， 答：平均每月应付0.35万元； （3）当时，， 解得， ， 答：他能在规定不计算利息的期限内结算． 12．某款三明治机制作三明治的工作原理如下：地 城 类型03 温度相关反比例函数实际问题 ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系． 如图所示为某次制作三明治时机器温度与时间x（）的函数图象，请结合图象回答下列问题： (1)预热阶段机器温度上升的平均速度是______，开机3分钟时，温度为_______； (2)当时，求机器温度y与时间x的函数关系式； (3)求三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟？ 【答案】(1)60，140 (2) (3)分钟 【分析】（1）根据速度等于温度除以时间计算即；利用待定系数法求解析式，后求函数值解答即可； （2）分成和两段计算解答即可； （3）求出反比例函数的解析式，分别计算的自变量的值，自变量的差即为所求． 本题考查了待定系数法求解析式，持续时长的计算，一次函数与反比例函数的应用，熟练掌握应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据速度等于温度除以时间计算即； 设温度与时间之间的关系式为， 根据题意，得， 解得， 故， 当时，， 故答案为：60,140． （2）解：由图象可知：当时，； 当时，， 综上：． （3）解：当时，设， 将代入得：   ； 当时， 依次代入及中， 分别解得， 故持续时间长为： (分钟)；   答：三明治机工作温度在以上持续分钟． 13．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度（）与时间（）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求与（）的函数表达式； (2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【答案】(1) (2)这种蔬菜一天内最适合生长的时间为 (3)恒温系统最多可以关闭，才能使蔬菜避免受到伤害 【分析】（1）当时，设双曲线的解析式为，把的坐标代入，得出，解出即可得出答案； （2）根据待定系数法求出线段解析式，再根据题意：大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，结合图象，把代入线段的解析式，得出时间，再把代入（1）中双曲线，得出时间，两时间相减，即可得出答案； （3）先求解时，对应的双曲线函数图象上点的横坐标，再利用坐标含义可得答案． 【详解】（1）解：当时，设双曲线的解析式为， ∵过双曲线， ∴把的坐标代入， 可得：， 解得：， ∴函数表达式为：； （2）解：设线段解析式为， ∵线段过点，， 代入得， 解得：， ∴解析式为：， ∵大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长， 当时，代入， 可得：， 解得：， 当，代入， 可得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∵（）， ∴这种蔬菜一天内最适合生长的时间为； （3）解：当时，可得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴（）， ∴恒温系统最多可以关闭，才能使蔬菜避免受到伤害． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求解反比例函数的解析式和一次函数解析式，反比例函数的性质，理解反比例函数图象上的点的坐标含义是解本题的关键． 14．某种糖艺工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然降温阶段不产生成本） (1)求材料加热到的时间． (2)求材料自然降温时，y关于x的函数表达式． (3)已知该工艺品操作时温度需保持在（包括），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 【答案】(1) (2)y (3)仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本，见解析 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式，然后把时代入即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知加热时，关于的函数为一次函数， ∴可设解析式为， 将点，代入，得 ，解得， ∴关于的函数解析式为， 当时，，解得， ∴第一次加热到时间为分钟； （2）解：由题意可设加热后关于的表达式为， 将代入，得， ∴关于的表达式为； （3）解：由题意可知，加热时长为分钟． 恒温阶段（分钟）， 费用为：（元）， 间歇加热工作：对于，令，得， 除第一次加热到需要分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要分钟，一天小时中，加热时间为（分钟）， 费用为：（元）， ∵， ∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本． 15．如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟．据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是． (1)分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式（写出的取值范围）； (2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 【答案】(1)该材料加热过程中对应的函数解析式为，停止加热过程中对应的函数解析式为 (2)对该材料进行特殊处理的时间为12分钟 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据可以先求出反比例函数的解析式，再求出时对应的的值，即可得到一次函数对应的解析式，注意要写出自变量的取值范围； （2）将代入（1）中的两个函数解析式，即可得到相应的的值，然后作差即可． 【详解】（1）解：设停止加热过程中对应的函数解析式为， 点在该函数的图象上， ， 解得， 停止加热过程中对应的函数解析式为， 当时，，解得， 当时，，解得， 停止加热过程中对应的函数解析式为， 设该材料加热过程中对应的函数解析式为， 点、在该函数的图象上， ，得， 该材料加热过程中对应的函数解析式为； （2）解：将代入中，，得， 将代入中，，得， （分钟）， 答：对该材料进行特殊处理的时间为12分钟． 16．小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中水温与开机时间(分)满足一次函数关系)，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间(分)成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温与开机时间(分)的函数关系式； (2)求图中的值； (3)若小明下午五点将饮水机在通电开机(此时饮水机中原有水的温度为)后即外出打篮球，预计一个半小时回到家中，回到家时，饮水机内的水温约为多少？请说明你的理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，见解析． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间分的函数关系式为．将、代入中，得： ， 解得：， 当时，水温与开机时间分的函数关系式为． （2）解：当时，设水温与开机时间分的函数关系式为， 将代入中，得：，解得：， 当时，水温与开机时间分的函数关系式为． 当时，， 图中的值为． （3）解：时，． 答：小明回到家中时，饮水机内的水温约为80℃． 17．在一次煤矿安全事故的调查中发现：如图，从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，会发生爆炸，爆炸后空气中的浓度下降，此时浓度与时间成反比例．根据题中相关信息，回答下列问题：地 城 类型04 浓度相关反比例函数实际问题 (1)求爆炸前、后空气中的浓度y（）与时间x（h）之间的函数表达式，并写出相应的自变量x的取值范围． (2)当空气中的浓度达到时，井下3km处的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产救援工作，则矿工至少在爆炸后多长时间才能下井？ 【答案】(1)，；， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、求函数值等知识，理解题意，看懂图象，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据图象形状和经过点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）求得爆炸前时的x值即可求解； （3）求得爆炸后时的x的值即可求解． 【详解】（1）解：设爆炸前空气中的浓度与时间之间的函数表达式为． 由题图，可知直线过点、， ∴， 解得， ∴．此时自变量的取值范围是， ∵爆炸后空气中的浓度下降，且浓度与时间成反比例， ∴可设与之间的函数表达式为． 由题图，可知函数的图象过点， ∴， 解得， ∴， 此时自变量的取值范围是； （2）解：在中，令，得， 解得， ∴撤离的最长时间为， ∴撤离的最慢速度为， 即他们至少要以的速度撤离才能在爆炸前逃生； （3）解：在中，令，解得， ∵， ∴矿工至少在爆炸后才能下井． 18．近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸；爆炸后，空气中的浓度成反比例下降．如图，根据题中相关信息回答下列问题：    (1)求爆炸前后空气中浓度与时间的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围； (2)当空气中的浓度达到时，井下的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？ 【答案】(1)爆炸前：；爆炸后： (2) (3) 【分析】（1）根据图象形状和经过点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）求得爆炸前时的x值即可求解； （3）求得爆炸后时的x值即可求解． 【详解】（1）解：因为爆炸前浓度呈直线型增加， 所以可设与的函数关系式为， 由图象知过点与， ， 解得， ， 此时自变量的取值范围是， 因为爆炸后浓度成反比例下降，所以可设与的函数关系式为， 由图象知过点， ， ， ， 此时自变量的取值范围是； （2）解：当时，由得，，解得， 撤离的最长时间为（小时）， 撤离的最小速度为 （3）解：当时，由得，，（小时）， 矿工至少在爆炸后小时才能下井． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、求函数值等知识，理解题意，看懂图象，利用数形结合思想求解是解答的关键． 19．在一次矿难事件的调查中发现，矿井内一氧化碳浓度和时间的关系如图所示：从零时起，井内空气中一氧化碳浓度达到，此后浓度呈直线增加，在第6小时达到最高值发生爆炸，之后与成反比例关系．请根据题中相关信息回答下列问题： (1)求爆炸前后与的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围； (2)当空气中浓度上升到时，井下深处的矿工接到自动报警信号，若要在爆炸前撤离到地面，问他们的逃生速度至少要多少？ (3)矿工需要在空气中一氧化碳浓度下降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，则矿工至少要在爆炸多少小时后才能下井？ 【答案】(1)，此时自变量的取值范围是 (2) (3)9小时 【详解】（1）解：爆炸前浓度呈直线型增加， 可设与的函数关系式为， 由图象知过点，， ， 解得， ，此时自变量的取值范围是， 爆炸后浓度成反比例下降， 可设与的函数关系式为． 由图象知过点， ， ， ，此时自变量的取值范围是； （2）当时，由得： ， 解得， 撤离的最长时间为（小时）． 撤离的最小速度为； （3）当时， 由得，， （小时）． 矿工至少在爆炸后9小时才能下井． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，数形结合是解题的关键． 20．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mgL．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，其中第3天时硫化物的浓度降为4mgL．从第3天起所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 4 5 6 8 …… 硫化物的浓y（mg/L） 4 3 2.4 2 1.5 （1）求整改过程中当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）求整改过程中当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （3）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mgL？为什么？ 【答案】(1) y=﹣2x+10；(2) y=；（3）该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由详见解析． 【详解】（1）前三天的函数图象是线段，设函数表达式为：y=kx+b 把（0，10）（3，4）代入函数关系式，得 解得：k=﹣2，b=10 所以当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2x+10； （2）当x≥3时，设y= 把（3，4）代入函数表达式，得4= 所以k=12 当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= （3）能．理由： 当x=15时，y==0.8 因为0.8＜1， 所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mgL 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关键. 21．为了预防新冠病毒的传播，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过5分钟的集中药物喷洒，再封闭教室10分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（分钟）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两一次函数，在通风后又成反比例，如图所示． （1）问：室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间可达到几分钟？ （2）当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于30分钟时，才能完全有效杀灭传染病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？    【答案】（1）11分钟；（2）此次消毒不完全有效，分析见解析． 【分析】（1）由题意得，由可求得直线的解析式，将代入即可求出时间，从而得出答案； （2）利用求出反比例函数的解析式再分别计算出时的的值，进而可得答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ， 把代入得：， 解得：， （分钟）， 答：室内空气中的含药量不低于的持续时间可达到11分钟． （2）解：设反比例函数的解析式为， 把代入得：， 解得：， ， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得： ， 此次消毒是不完全有效． 答：此次消毒不完全有效． 22．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示，所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的，环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标，整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度与时间成反比例关系 （1）求整改过程中硫化物的浓度与时间的函数表达式（要求标注自变量的取值范围） （2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内（含15天）排污达标？为什么？ 【答案】（1）①当时，；②当时，；（2）能；理由见解析. 【分析】（1）分情况讨论：①当0≤x≤3时，设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b；把A（0，10），B（3，4）代入得出方程组，解方程组即可；②当x＞3时，设y=，把（3，4）代入求出m的值即可； （2）令y==1，得出x=12，3＜12＜15，即可得出结论． 【详解】解：（1）分情况讨论： ①当时， 设线段对应的函数表达式为； 把代入得： ， 解得：， ； ②当时，设， 把（3，4）代入得：， ； 综上所述：当时， ；当时，； （2）能；理由如下： 令，则， ， 故能在15天以内不超过最高允许的． 23．为了做好校园疫情防控工作，学校每周要对办公室和教室进行药物喷洒消毒，消毒药物在每间教室内空气中的浓度y（单位：）与时间x（单位：）的函数关系如图所示．在进行药物喷洒时y与x的函数关系式为，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为． (1)n的值为__________； (2)当时，y与x的反比例函数关系式为__________； (3)当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害．当教室药物喷洒完成后，学生能否进入教室？请通过计算说明． 【答案】(1)10 (2) (3)能，说明见解析 【分析】(1)把代入，解方程即可求解； (2)把代入，即可求解； (3)当时，，据此即可判定． 【详解】（1）解：把代入， 得， 故答案为：10； （2）解：设反比例函数的解析式为， 把代入， 得， 解得， 故反比例函数的解析式为， 故答案为：； （3）解：能进教室， 当时，， 即教室空气中的药物浓度不高于，所以能进教室． 24．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要24min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要14min． (1)求校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？ (2)消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为：y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十班教室（共10间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明． 【答案】(1)校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要4min和6min (2)不能，理由见解析 【详解】（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要x min和y min， 则 ， 解得：， 故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要4min和6min； （2）一间教室的药物喷洒时间为6min，则10个房间需要60min， 当x＝6时，y＝2x＝12， 故点A（6，12）， 设反比例函数表达式为：y， 将点A的坐标代入上式并解得：k＝72， 故反比例函数表达式为 ， 当x＝60时， 1.2＞1， 故一班学生不能安全进入教室． 【点睛】本题考查二元一次方程组，反比例函数的运用，确定题干中两个变量之间的函数关系，再利用待定系数法求出解析式是解题关键． 25．如图是一次药物临床试验中受试者服药后学业中的药物浓度（微克/毫升）与用药的时间（小时）变化的图象．第一次服药后对应的图象由线段和部分双曲线组成，服药6小时后血液中的药物浓度达到最高，16小时后开始第二次服药，服药后对应的图象由线段和部分曲线组成，其中与平行．血液中的浓度不低于5微克/毫升时有疗效． (1)分别求受试者第16小时，第22小时血液中的药物浓度； (2)受试者第一次服药后第二次服药前这16小时内，有疗效的持续时间达到6小时吗? (3)若血液中的药物浓度不高于4微克/毫升时才能进行第三次服药，问受试者第二次服药后至少经过几小时可进行第三次服药? 【答案】(1)第16小时的血液浓度为3微克/毫升，第22小时的血液浓度为11微克/毫升 (2)不超过6小时 (3)48小时 【分析】（1）先求双曲线的函数解析式，可得第16小时的血液浓度，再求直线的解析式，得，再求直线的函数解析式，即可得第22小时的血液浓度； （2）将代入直线的解析式和双曲线的解析式，即可得答案； （3）曲线的函数解析式为，将代入，即可得答案． 【详解】（1）解：把点代入双曲线的解析式得，， 双曲线的函数解析式， 当时，，即第16小时的血液浓度为3微克/毫升， 设直线的解析式为，把点代入得，， ∵OA与BC平行， ∴直线、OB的解析式中的k一样， 设直线的解析式为，把点代入得， 直线的函数解析式， 当时，，即第22小时的血液浓度为11微克/毫升； （2）当时，若，则，解得， 当时，若，则，解得， ． 这16小时内药物有疗效的持续时间不超过6小时； （3）把点代入得，． 曲线的函数解析式为，当时，，． ∴受试者第二次服药后至少过48小时，才能进行第三次服药． 【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数的应用，解题的关键是正确的求出函数的解析式． 26．某药品研究所开发一种抗菌新药，经过多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度与服药时间之间的函数关系如图所示（当时，与成反比例）． (1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段与之间的函数表达式； (2)若该药品血液中药物浓度不低于，药效最好，求血液中药物浓度不低于的持续时间为多少小时？ 【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段的函数表达式为，下降阶段的函数表达式为 (2)血液中药物浓度不低于的持续时间为 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数在实际中的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键； （1）分别设出以及时函数的解析式，然后根据待定系数法，结合图中给出数据求解即可； （2）令上述所得两个函数解析式中的，求出对应的x的值，然后作差即可得到结果． 【详解】（1）解：当时，设函数的表达式为， 将代入得， 解得：， ∴直线的表达式为， 当时，设反比例函数的表达式为， 将代入得  解得：， ∴反比例函数的表达式是， 因此，血液中药物浓度上升阶段的函数表达式为，下降阶段的函数表达式为． （2）解：当时，由得， 当时，由得， ， 因此， 血液中药物浓度不低于的持续时间为． 27．小明同学利用寒假天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为元/千克，在第x天的销售量与销售单价如下（每天内单价和销售量保持一致）地 城 类型05 销售利润相关反比例函数实际问题 销售量m（千克） 销售单价n（元/千克） 当时， 当时， 设第x天的利润w元． (1)请计算第几天该品种草莓的销售单价为元/千克； (2)这天中，该同学第几天获得的利润最大？最大利润是多少？【注：利润（售价成本）销售量】 (3)在实际销售的前天中，草莓生产基地为刺激销售,鼓励销售商批发草莓,每多批发1千克就发给元奖励，通过销售记录发现，前8天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，试求a的取值范围． 【答案】(1)第天或第天该品种草莓的销售单价为元/千克 (2)第天或第天获得的利润最大，最大利润均为元 (3) 【详解】（1）解：当时，把代入， 得， 解得， 当时，把代入， 得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 答：第天或第天该品种草莓的销售单价为元/千克； （2）解：当时，， ， 当时，有最大值为元； 当时，， ，当时，随x的增大而减小， 当时，有最大值为元， 答：第天或第天获得的利润最大，最大利润均为元； （3）解： ， 前8天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，， 该抛物线的对称轴为直线， 解得， 又， 的取值范围为． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，最值和实际应用，同时也考查了反比例函数的性质，熟练掌握和运用二次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键． 28．我县某农业合作社对一种特色水果一共开展了35次线上销售，该种水果的成本价为每吨4万元，销售结束后，经过统计得到了如下信息； 信息1：设第次线上销售水果（吨），且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨， 信息2：该水果的销售单价（万元/吨）与销售场次之间的函数关系式为 ，且当时，；当时，． 请根据以上信息，解决下列问题． （1）与之间的函数表达式为 ； （2）若（万元/吨），求的值； （3）在这35次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）4；（3）第19次线上销售获得利润最大，且最大利润是79.8万元． 【详解】解：（1）∵第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨， ∴与之间的函数表达式为； （2）当时，，所以有，解之得，． 当时，，所以有，解之得，． ∴， 当时，，解之得， 当时，，解得．，所以舍去． ∴的值为4； （3）设每场获得的利润为（万元），则有 当时，， ∴当时，最大，且最大值为万元． 当时，， ∴当时，最大，且最大值为万元． ∴第19次线上销售获得利润最大，且最大利润是79.8万元． 29．某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图，其中AB段为反比例函数图像的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为w（万元）． (1)请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式； ①求出当4≤x≤8时的函数关系式； ②求出当8＜x≤28时的函数关系式． (2)求出这种电子产品的年利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式； (3)求出年利润的最大值． 【答案】(1)①y＝；②y＝－x+28 (2) (3)年利润最大为114元 【详解】（1）①当4≤x≤8时，设（k≠0）. 将点A（4，40）的坐标代入，得k＝4×40＝160， ∴y＝ ②当8＜x≤28时，设y=k′x+b（k′≠0）. 分别将点B（8，20），C（28，0）的坐标代入y＝k′x+b，得解得 ∴y＝－x +28 （2）当4≤x≤8时，w＝ 当8＜x≤28时，w=(x－4)y＝(x－4)(－x+28)＝－x2+32x－112 ＝－(x－16)2+114 综上可知，w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式为 （3）当4≤x≤8时， ∵－640＜0， ∴w随x增大而增大， ∴当x＝8时，w有最大值，为 当8＜x≤28时， ∵－1＜0 ∴当x＝16时，w有最大值，为114 ∵80＜114 ∴当每件的销售价格定为16元时，年利润最大为114元 30．水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 售价(元/千克) 400 300 250 240 200 150 125 120 销售量(千克) 30 40 48 50 60 80 96 100 观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品每天的销售量(千克)与销售价格(元/千克)之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量(千克)与销售价格(元/千克)之间都满足这一关系． （1）写出这个反比例函数的解析式； （2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？ （3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？ 【答案】（1）；（2）20；（3）新确定的价格最高不超过60元/千克才能完成销售任务． 【详解】（1）设， ∵当x=400时y=30， ∴k=400×30=12000， ∴函数解析式为． （2）2104-(30+40+48+50+60+80+96+100)=1600． 即8天试销后，余下的海产品还有1 600千克． 当=150时，=80． 1600÷80=20(天)． 答：余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出． （3）1600-80×15=400(千克)， 设新确定的价格为每千克x元． ， 解得：x≤60， 答：新确定的价格最高不超过60元/千克才能完成销售任务． 31．某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台； (1)直接写出y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场—第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场—第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据： x（场） 3 10 25 p（万元） 10.6 12 14.2 (2)求p与x之间满足的函数关系式； (3)当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？ (4)在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)其中为正整数 (3)第15场和第35场 (4)第21场获得的利润最大，最大利润为145万元 【详解】（1）解：∵第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台， ∴与的函数关系式为． （2）解：设基本价为， ①第1场～第20场，且为正整数， 设与的函数关系式为， 依题意得，解得， ∴． 第21场～第40场，即且为正整数时， 设与的函数关系式为，即． 依题意得，解得， ∴， 综上所述，其中为正整数； （3）解：当时，， 解得； ，解得． 故当产品销售单价为13万元时，销售场次是第15场和第35场 （4）解：设每场获得的利润为（万元）． 当且为正整数时， ， ∵在对称轴的左侧，随的增大而增大， ∴当时，最大，最大利润为（万元）． 当且为正整数时，， ∵随的增大而减小， ∴当时，最大，最大利润为（万元）， ∵， ∴在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元． 32．如图是某电脑公司年的销售额（万元）关于时间（月）之间的函数图象，其中前几个月两变量之间满足反比例函数关系，后几个月两变量之间满足一次函数关系，观察图象，回答下列问题： 该年度________月份的销售额最低； 求出该年度最低的销售额； 若电脑公司月销售额不大于万元，则称销售处于淡季．在年中，该电脑公司哪几个月销售处于淡季？ 【答案】（1）5；（2）该年度最低的销售额为5万元．在年月、月、月和月这四个月，该电脑公司销售处于淡季. 【详解】（1）观察函数图象知：5月份的销售额最低； （2）当1≤x≤5时，设反比例函数的解析式为y=，由题意得反比例函数的图象经过点（1，25），∴25=，解得：k=25，∴反比例函数的解析式为y=，当x=5时，y= 答：该年度最低的销售额为5万元． （3）当1≤x≤5时，若y≤10时，有，∴x≥2.5． 当5≤x≤12时，设函数解析式为y=kx+b． 由题意得：，∴一次函数的解析式为y=5x﹣20． 当5≤x≤12时，若y≤10，得：x≤6，∴当2.5≤x≤6且x为整数时，销售处于淡季． 即在2011年3月、4月、5月和6月这四个月，该电脑公司销售处于淡季． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03反比例函数实际问题压轴类 (5种类型32道) 类型1跨学科综合物理相关 类型2新能源相关反比例函数实际问题 反比例函数实际问题压 类型3温度相关反比例函数实际问题 轴类 类型4浓度相关反比例函数实际问题 类型5销售利润相关反比例函数实际问题 目目 类型01 跨学科综合物理相关 1.物理学中F,L分别表示动力和动力臂，E,L2分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时， FL=FEL2· 如图①，某兴趣小组取一根长40©m的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来.在中点0的左 侧且与O相距10cm处挂一个重5N的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下 拉，使木杆处于平衡状态.当弹簧测力计与中点O的距离L(单位：cm)改变时，弹簧测力计的拉力F(单 位：N)也随之改变， ◆L(cm) 25 20 FN) 15 10 5 x(cm) 0 1 23 4 x(cm) 图① 图② 图③ (1)当L=4cm时，F=-N, 1/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为4cm,弹簧测力计的拉力F(N)是弹簧伸长的长度x(cm)的正比例 函数，如图②所示.求出L与×之间的函数解析式（写出×的取值范围），并在图③画出此函数图象. 2.【问题提出】 在物理课上，小明同学用一固定电压为28V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯 U 泡L亮度的实验，如图，已知串联电路中，电流与电阻R、灯丝的阻值R,之间关系为I= ，通过实验 R+R, 得出如下数据： R(2) 28 14 14 I(A) 5 3 0 2 5 P A S (1)填空：R,的值为2，a的值为； 【问题探究】 根据以上实验，构建出函数y=28（x≥0，结合表格信息，探究函数y=28（x≥0)的图象与性质， x+4 x+4 (2)①在平面直角坐标系中画出对应函数y=28（x≥0)的图象： x+4 9 7 6 5 4 3 2 0123456789x ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是() A.不断增大B.不断减小C.先增大后减小D.先减小后增大 【问题升华】 2/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)结合(2)中函数图象分析，当x≥0时， 28≤2x-3x+7的解集为.（结果精确到0.1） x+48 3.在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动， 随着5G技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域.电磁波的波长入 (单位：m)会随着电磁波的频率f(单位：MHz)的变化而变化.下表是某段电磁波在同种介质中，波 长λ与频率f的部分对应值： 频率f 10 15 20 25 30 MHZ) 波长入(m) 60 30 20 15 12 10 (1)该段电磁波的波长入与频率∫满足怎样的函数关系？并求出波长入关于频率∫的函数表达式； (2)当f=50MHz时，求此电磁波的波长2· 4.阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务，今天是2023年6月8日（星期四）， 在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了一次“探索电压一定时，输出功率P与电阻R函数关系 的数学活动”. S 第一步，我们设计了如图所示的电路，电压为定值6不变， 第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化。 第三步，我们根据物理知识P=,通过测量电路中的电流计算电功率. 第四步，计算收集数据如下： R/O 4 6 8 3/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P/W 18 9 6 4.5 3 第五步，数据分析，以R的数值为横坐标，P的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以 表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改， 实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记 任务： (1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是_；（单选） A.数形结合B.类比思想C.分类讨论D.方程思想 (2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出P关于R的函数表达式： (3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象； PA 18 15 12 9 6 3 0246 81012R (4)请直接写出：若P大于10W,R的取值范围为： 5.阅读与思考 下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务 在物理活动课上，我们“博学”小组的同学，参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活动 4/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第一步，实验测量.根据物理知识，改变电阻R的大小， 通过测量电路中的电流，计算电功率P, 第二步，整理数据 R/2 3 12 15 P/W 3 1.5 1 0.75 0.7 第三步，描点连线. 以R的数值为横坐标，对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为 坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点。 在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据， 实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记。 任务： AP/W 3.0 2.7 2.4 2.1 1.8 1.5 1.2 0.9 0.6 0.3 0123456789101112131415R/2 (1)表格中错误的数据是，P与R的函数表达式为一； (2)在平面直角坐标系中，画出P与R的函数图象： 3)结合图象，直接写出P大于6W时R的取值范围 5/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务 今天是2023年5月8日（星期一），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学，参加了一次“探索输出 功率P与电阻R函数关系的数学活动”. A 第一步，我们根据物理知识P=UI,(U表示电压为定值6V,I表示电流)，通过测量电路中的电流计算电 功率 第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化。 第三步，计算收集数据如下： R/2 … 10 15 20 25 P/W 7.2 3.6 2.4 1.8 1.6 第四步，数据分析，以R的数值为横坐标， P的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表 中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改实 验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记 任务： (1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是 A.数形结合 B.类比思想 C.分类讨论 D.方程思想 (2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出P关于R的函数表达式： (3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象； 8 6 5 432 012345678910111213141516171819202122232425R 6/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (4)请直接写出：若想P大于30W,R的取值范围。 目目 类型02 新能源相关反比例函数实际问题 7.今年以来，新能源汽车产销两旺，成为推动经济运行，且率先实现整体好转的重要发力点.某新能源汽 车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，若余款在60个月内结清，则不计算利息，张先生在 该销售商手上购买了一辆价值为20万元的新能源汽车，交了首付款后余款由平均每月付款y万元，x个月 结清.y与x的函数关系如图所示， 根据图象回答下列问题 万元 1.5 0110 x/个月 (1)确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目 (2)若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元？ (3)如果张先生打算每月付款0.3万元，那么他要多少个月才能结清余款？ 8.随着新能源的发展，电动汽车的使用越来越广泛，己知某品牌国标电动车蓄电池的电压为36V,使用该 蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Q,R>0)满足反比例函数关系：I= R ,回答下列问题： (1)这个反比例函数的关系式是： (2)如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过10A,那么用电器的可变电阻R的取值范围是：： (3)补全下方表格，并在平面直角坐标系中，画出相应的函数图象. R(2】 3 12 18 I(A) 12 6 4 IIA 15 12 9 6 36912151821R/Q 7/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 R(2 3 6 9 12 18 … 12 4 2 9. 【问题探究】 下面是某品牌新能源车辆的车机智驾系统关于弯道对通行车辆长度的限制的研究· (1)用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当CD<2AB时（如图1），线段CD (填“能”或“不能”)通过直角弯道. ②当CD=2AB时，必然存在线段CD的中点E与点B重合的情况，线段CD恰好不能通过直角弯道（如图2）. 此时，∠ADC的度数是 ③当CD>2AB时，线段CD (填“能”或“不能”)通过直角弯道. 【问题解决】 (2)如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数y=x>0)的图象，第一象限的角平分线交图象于点A, 弯道内侧的顶点B在射线OA上，弯道内侧的两边分别与x轴、y轴平行，OA=2m,AB=4m,用矩形 POMN模拟汽车，发现当PO的中点E与点B重合，且PQ⊥AB时，矩形PQMW恰好不能通过该弯道.若 PQ=bm,PN=2m,要使矩形PMW能通过该弯道，求b的最大整数值.（参考数据：√2≈1.4，√5≈1.7 ) Ay/m 外侧 内侧 外侧 内侧 外侧 内侧 M B(E) B(E) D 0 x 图1 图2 图3 10.近年来，新能源汽车产销两旺，成为推动经济运行，且率先实现整体好转的重要发力点.某新能源汽 车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王老师在活 动期间购买了价格为12万元的这款新能源汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清.y与x 的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题： 8/19 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y(万元) 1.8 05 30月) (1)确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目： (2)王老师若用20个月结清，平均每月应付多少万元？ (3)王老师每月付款不少于多少元，可以确保在规定期限内结清余额？ 11.2023年新能源汽车继续保持快速增长，产销突破了900万辆，市场占有率超过30%，汽车出口再创新 高，全年出口接近500万辆.为继续扩大销量，某城市新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交 付首付款后，若余款在60个月内结清，则不计算利息.张先生在该销售商手上购买了一辆价值为20万元 的新能源汽车，交了首付款后余款由平均每月付款y万元，x个月结清.y与x满足某函数关系，其部分对 应值如下表，请回答下列问题 x/月 2 4 > 10 y/万元 7 3.5 2 .4 (1)确定y与x的函数表达式，并求出首付款： (2)若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元： (3)如果张先生打算每月付款0.25万元，那么他能否在规定不计算利息的期限内结算？ 目目 类型03 温度相关反比例函数实际问题 12.某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至60℃，机器温度y与时间x成一次函数关系： ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度180℃后保持恒温状态： ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系. 如图所示为某次制作三明治时机器温度y℃)与时间x(mi)的函数图象，请结合图象回答下列问题： 9/19 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 W℃ 210 (4,180) 180 150 120 90 60-A 30/ o12345678910x7min (1)预热阶段机器温度上升的平均速度是_℃/min，开机3分钟时，温度为 ℃； (2)当0≤x≤4时，求机器温度y与时间x的函数关系式： (3)求三明治机工作温度持续在100℃以上的时间是多少分钟？ 13.某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天 恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系，其中线段AB,BC表 示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题： C 20 10A 5 10 24x (1)求y与x(10≤x≤24)的函数表达式； (2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃， 那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ (3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害.问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬 菜避免受到伤害？ 14.某种糖艺工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度y(℃)与时间x(min)的函数图象如图所示， 其中加热阶段为一条线段，且该材料从30℃加热到60℃需要10min;自然降温阶段可以看成某反比例函数 图象的一部分 方案 恒温60℃工作 间歇加热工作 10/19