八年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷（华东师大版2024，举一反三）

八年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷 【华东师大版2024】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第10章 数的开方~第12章 全等三角形 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．设，，，下列m，n，p三者之间的三个关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 3．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图是小江在电脑上设计的一个程序框图，若输入的值为32，那么输出的值为（   ） A． B．2 C． D． 4．矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为．按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知，．设．下列值确定的是（    ）． A．m B． C． D． 5．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）若一个数等于两个连续奇数的平方差，我们把这样的数称为“和数”．例如，因为所以16是“和数”．结论①：2024是“和数”，2025不是“和数”；结论②：所有能被4整除的正数都是“和数”．对于结论①和②，下列判断正确的是（    ） A．①和②都对 B．①和②都不对 C．①对②不对 D．①不对②对 6．如图，是等边三角形，是边上的动点（不与点，重合），连结，点，分别在线段，的延长线上，且，在动点从点运动到点的过程中，与的周长之和的变化情况为（   ） A．一直变大 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大 7．已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 8．如图，正方形中，E为上一点，过B作于点G，延长至点F，使得，连接．若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，E、F分别为、上的动点，且，连接，，当取得最小值时，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，点为中点，连接，点、点分别为上两动点，过点作于点，当取最小值时，则的面积是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）若正数m的两个不同的平方根分别为和，则的立方根为 ． 12．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，且，则的值为 ． 13．（24-25八年级上·全国·期中）已知：，，，，，，…，设，则的个位数字是 ． 14．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少 （用含的代数式表示），若，则棱长应减少 ． 15．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是等边三角形，，则的度数为 ． 16．如图，在直角三角形中，，D在边上，E在边上，且，则 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·重庆万州·阶段练习）（1）若，，求，的值； （2）若满足，试求的值． （3）阅读理解，若，求的值． 解：由，可得． 整理得． 得． 请根据上述方法的启发，完成下列问题：已知，求的值． 18．（6分）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 19．（8分）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式再将“A”还原， ∴原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：． (2)因式分解： (3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 20．（8分）（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，△中，，将△沿着翻折使点恰好落在上点处，且． (1)求证：； (2)延长交延长线于点，求证：； 21．（10分）综合实践 教材再现：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且都等于；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 探究问题：等边三角形的三个内角都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于，那么等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证明过程或解答过程． (1)如图，是等边三角形，点、分别在和的延长线上，且，该兴趣小组的同学发现，当的度数确定时，的度数也随之确定． 若，则的度数为 ． 求证：． (2)如图，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，判断线段、、、之间有什么数量关系，并说明理由． (3)如图，是等边三角形，点是三角形外一点，且，连接，判断线段、、之间有什么数量关系，并说明理由． 22．（10分）（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图2，将“，”改为“”，其他条件不变，若的运动速度与的运动速度不相等，当的运动速度为多少时，能使与全等． (3)在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇． 23．（12分）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 24．（12分）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们可用此思想，来探索因式分解的一些方法． (1)探究一：将图的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的因式分解______． (2)探究二：类似地，我们借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图所示，则得到的几何体的体积为______．再将图中的几何体分割成三个长方体、、，如图所示，则根据图中的数据，长方体的体积为．类似地，表示出长方体的体积为______，长方体的体积为______．当用两种不同的方法表示图中几何体的体积时，就可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______． (3)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知，，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷 【华东师大版2024】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．设，，，下列m，n，p三者之间的三个关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，完全平方公式的应用．根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得，，，，再进一步分析即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，故A符合题意； ∵，，， ∴，， ∴， ∴，故B不符合题意； ∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， 故C不符合题意，D不符合题意. 故选：A． 2．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故①填，②填，同时用到了提公因式法和公式法， 故选：B． 3．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图是小江在电脑上设计的一个程序框图，若输入的值为32，那么输出的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查程序设计与实数运算，求立方根，求算术平方根． 根据程序框图，将代入，按照运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的算术平方根为， ∴输出的值为． 故选：C． 4．矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为．按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知，．设．下列值确定的是（    ）． A．m B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与正方形重叠面积的计算、代数式化简及变量关系推导，解题的关键是根据“阴影面积长方形面积（两正方形面积和重叠面积）”，结合面积差条件建立等式，通过消元推导与、的关联． 设、，则；设图①、②、③中两正方形重叠面积分别为、、．由阴影面积公式得、、；利用、化简得、，两式相减消去；再根据正方形放置位置确定、，代入后化简求与的关系． 【详解】解：设，，则； 两正方形重叠面积分别为（图①）、（图②）、（图③）． 由阴影面积公式：，， 故①； 同理②． ②①得：． 由放置位置：图①中，（重叠边长为）； 图②中，（重叠边长为）． 代入得：， 化简得：，即（值确定）． 故选：B． 5．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）若一个数等于两个连续奇数的平方差，我们把这样的数称为“和数”．例如，因为所以16是“和数”．结论①：2024是“和数”，2025不是“和数”；结论②：所有能被4整除的正数都是“和数”．对于结论①和②，下列判断正确的是（    ） A．①和②都对 B．①和②都不对 C．①对②不对 D．①不对②对 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，设两个连续奇数分别是和，，可得和数是8的倍数，2024是8的倍数，是和数，2025不是8的正整数倍，不是和数；能被4整除的数如4，，0.5不是整数，所以4不是和数，据此判断． 【详解】解：设两个连续奇数分别是和（n为正整数），则 ， 即和数是8的倍数， 因为， 所以2024是“和数”， 因为， 所以2025不是“和数”， 4能被4整除， ， 0.5不是整数， 所以4不是和数， 所以所有能被4整除的正数不一定是“和数”． 故选：C． 6．如图，是等边三角形，是边上的动点（不与点，重合），连结，点，分别在线段，的延长线上，且，在动点从点运动到点的过程中，与的周长之和的变化情况为（   ） A．一直变大 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．设等边的边长为，则，先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再证出，然后证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得与的周长之和为，最后根据的值的变化情况即可得出答案． 【详解】解：设等边的边长为，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴与的周长之和为 ， ∴与的周长之和随着的变化而变化， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ∴在动点从点运动到点的过程中，的值是先变小后变大， ∴在动点从点运动到点的过程中，与的周长之和的变化情况为先变小后变大， 故选：D． 7．已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 8．如图，正方形中，E为上一点，过B作于点G，延长至点F，使得，连接．若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明全等三角形是解题的关键；过C作于H，证明，得，从而得，得，则可求得． 【详解】解：如图，过C作于H，则； 在正方形中，； ， ； ； ， ； 在与中， ， ， ； ， ， 即， ； ， ， ， ． 故选：A． 9．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，E、F分别为、上的动点，且，连接，，当取得最小值时，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点C作，使得，连接，，交于点M，证明，得，当三点共线时的值最小，再证明，得，进而可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作，使得，连接，，交于点M， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，且此时点F与点M重合， ∵, ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即此时， ∵ ∴， ∴此时． 故选：A． 10．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，点为中点，连接，点、点分别为上两动点，过点作于点，当取最小值时，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点作的对称点，连接，过点作于点，作于点，证明，，那么，当点共线时，取得最小值，记交于点，可证明，则此时，可得为等边三角形，则，由关于对称，得到，那么由，即可求解． 【详解】解：连接，过点作的对称点，连接，过点作于点，作于点， ∴，， ∵，点为中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 当点共线时，取得最小值，如图： 记交于点， ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴此时， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，难度较大解题的关键在于将进行转化． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）若正数m的两个不同的平方根分别为和，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义和立方根的定义，根据平方根的定义可得出，解一元一次方程求出x，再求出m，代入代数式求出代数式的值，再根据立方根的定义求出立方根即可． 【详解】解：∵正数m的两个不同的平方根分别为和， ∴， 解得：， ∴， ∴， ， 故答案为： 12．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，且，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查完全平方公式的应用，整式减法运算，因式分解等．根据题意利用完全平方公式得到，继而得到，再将提公因式，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即：， ∵， ∴，整理得：， ∴， 故答案为：5． 13．（24-25八年级上·全国·期中）已知：，，，，，，…，设，则的个位数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．把写成后，利用平方差公式化简，归纳总结得到一般性规律，即可确定出的个位数字． 【详解】解： ． 观察已知等式，个位数字以循环，且，能整除， 所以的个位数字是． 故答案为：． 14．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少 （用含的代数式表示），若，则棱长应减少 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，代数式求值，根据题意求出立方体体积减少的体积，进而得到减少后立方体的棱长，可得棱长减少的数量，再把代入计算即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵立方体的棱长为， ∴立方体的体积为， ∴立方体体积减少后剩余的体积为， ∴此时的棱长为， ∴棱长应减少， 当时，， ∴若，则棱长应减少， 故答案为：；． 15．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是等边三角形，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用这些性质进行推理． 由等边三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质可求，可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 又， ， 故答案为：． 16．如图，在直角三角形中，，D在边上，E在边上，且，则 ． 【答案】5 【分析】在上截取，连接，先根据三角形的外角性质和直角三角形锐角互余证明，再根据全等三角形的性质证明，最后由求解即可． 【详解】解：在上截取，连接， 设，则由题意得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·重庆万州·阶段练习）（1）若，，求，的值； （2）若满足，试求的值． （3）阅读理解，若，求的值． 解：由，可得． 整理得． 得． 请根据上述方法的启发，完成下列问题：已知，求的值． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式．记住完全平方公式：是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形求值即可； （2）利用完全平方公式变形求值即可； （3）将变形为，利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：（1）∵，， ∴； ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） ∴原式 ． 18．（6分）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键． （1）用含、的式子表达规律即可得答案； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可,进而求得算术平方根，即可． 【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （2）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． ∴ 19．（8分）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式再将“A”还原， ∴原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：． (2)因式分解： (3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1)； (2)； (3)证明过程见解析． 【分析】本题考查换元法，完全平方公式，平方差公式． （1）用换元法设，将原式化为，由完全平方公式得出，再将还原即可； （2） 设，将原式化为，由平方差公式去括号，合并同类项，再将还原，用完全平方公式进一步分解因式即可； （3）先计算，把看成整体，根据完全平方公式分解因式，结合已知即可证得结论． 【详解】（1）解：设， ∴ ， ∴． （2）解：设， ∴ ， ∴． （3）证明： ， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴代数式的值一定是某个整数的平方． 20．（8分）（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，△中，，将△沿着翻折使点恰好落在上点处，且． (1)求证：； (2)延长交延长线于点，求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的外角等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）过点A作于点H，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可证明结论； （2）根据折叠得出，根据；得出， 根据，得出，根据等腰三角形的判定得出结论； 【详解】（1）证明：过点A作于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据折叠可知：， ∵； ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（10分）综合实践 教材再现：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且都等于；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 探究问题：等边三角形的三个内角都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于，那么等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证明过程或解答过程． (1)如图，是等边三角形，点、分别在和的延长线上，且，该兴趣小组的同学发现，当的度数确定时，的度数也随之确定． 若，则的度数为 ． 求证：． (2)如图，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，判断线段、、、之间有什么数量关系，并说明理由． (3)如图，是等边三角形，点是三角形外一点，且，连接，判断线段、、之间有什么数量关系，并说明理由． 【答案】(1)  证明见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据三角形的内角和定理直接求解即可；由等边三角形的性质知，根据内外角关系可得，从而； （2）由是等边三角形，得，，有，而，有，故，可得，故，即； （3）延长到，使，连接，由，有，知是等边三角形，从而，，可得，因此，即，即可证，得，故． 【详解】（1）解：，， ； 故答案为：； 证明：是等边三角形， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即； （3）解：，理由如下： 延长到，使，连接，如图： ， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ． 22．（10分）（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图2，将“，”改为“”，其他条件不变，若的运动速度与的运动速度不相等，当的运动速度为多少时，能使与全等． (3)在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇． 【答案】(1)全等，理由见解析；垂直 (2) (3) 【分析】（1）利用证得，得出，进一步得出，得出结论即可； （2）根据的运动速度与的运动速度不相等，可得，那么要使与全等，则只存在这种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可； （3）因为以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程，据此列出方程，解这个方程即可． 【详解】（1）解：全等，理由如下： 当时，，， ∵，， ∴， 在与中， ， ， ， ， ∴， 线段与线段垂直． （2）解：设点的运动速度， ∵的运动速度与的运动速度不相等， ∴， ∵， ∴要使与全等，则只存在这种情况， ∴，， ∴， 解得， ∴当点的运动速度为时，能使与全等． （3）解：，分别是，中点，， ， 以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动， 第一次二者相遇时，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程， 设运动时间为秒， 则， 解得：， 故经过，点与点第一次相遇． 23．（12分）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 【答案】（1）①②；（2）结论，理由见解析；（3） 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案； ②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； 故答案为： ②由①知， ， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：． 24．（12分）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们可用此思想，来探索因式分解的一些方法． (1)探究一：将图的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的因式分解______． (2)探究二：类似地，我们借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图所示，则得到的几何体的体积为______．再将图中的几何体分割成三个长方体、、，如图所示，则根据图中的数据，长方体的体积为．类似地，表示出长方体的体积为______，长方体的体积为______．当用两种不同的方法表示图中几何体的体积时，就可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______． (3)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知，，求的值． 【答案】(1) (2)；；； (3) 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，利用完全平方公式变形求值，利用提公因式法分解因式，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得； （2）分别表示出长方体的长宽高，从而根据长方体的体积公式分别表示出对应的体积，最后利用大正方体的体积减去小正方体的体积等于三个长方体的体积之和，并利用提公因式法因式分解即可； （3）由（）的结论结合完全平方公式因式分解，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为， 拼图前后图形的面积不变， ， 即因此可得一个多项式的因式分解为． 故答案为：． （2）解：如图所示，则得到的几何体的体积为：； ，，， 长方体的体积为， ，，， 长方体的体积为， ， 即可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为． 故答案为：；；；． （3）解：由（）可知，， ∵，， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $