八年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷（新教材华东师大版，举一反三，测试范围：第10章 数的开方～第11章 整式的乘除）

**基本信息** 八年级数学拔尖卷聚焦数的开方与整式乘除，23题分层设计，解答题融合新定义探究与几何直观，如第23题通过图形面积关系培养推理意识与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数判断（2）、因式分解（1）|结合三角形边长（3）考查数的性质，体现抽象能力| |填空题|6/18|多项式余数概念（16）、平方根应用（14）|新定义问题（16）培养数学语言表达| |解答题|7/72|分组分解法（20）、体积计算（19）|第21题“”整式探究发展创新意识，第23题图形与代数结合强化几何直观|

八年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材华东师大版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第10章 数的开方~第11章 整式的乘除 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·河南郑州·期末）下列从左边到右边的变形中，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川德阳·期中）在，，，，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）若a、b、c为三角形的三条边长，且，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 4．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）已知数，则数的位数是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 5．（25-26八年级下·江苏苏州·开学考试）已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 6．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）已知实数m，n，p，q满足，，则（    ） A．48 B．36 C．96 D．无法计算 7．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 8．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，将大正方形通过剪、割、拼后组成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，下面两幅图中，其中能够验证平方差公式的是（     ） A．甲乙均可以 B．甲乙均不可以 C．甲可以，乙不可以 D．甲不可以，乙可以 9．（25-26七年级下·吉林·阶段检测）将1、、、按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）已知，，，均为常数，，均为非零常数，有两个整式，，下列结论中，正确的个数为（     ） ①当与的乘积不含项时，； ②； ③当能被整除时，； A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）若多项式可以因式分解成，则的值是______． 12．（2025·广西南宁·模拟预测）已知都是实数，且，则的平方根为______． 13．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知，则的值是_______． 14．（25-26七年级下·上海·期末）有两个连续的自然数，若其中较小的自然数的平方根是，则其中较大的自然数的算术平方根是___________． 15．（25-26八年级上·江西新余·阶段检测）为非零自然数，若为两个连续自然数之积，则的值是________． 16．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）在小学的除法里，我们认识了“余数”的概念：比如，表示9减去余数1之后，就能被4整除．同样的，多项式中也有类似“余数”的概念：对于一个关于的多项式，如果它减去常数后，能因式分解，并且含有因式，我们就称该多项式除以的余数为．特别地，当余数时，我们称该多项式能被整除．根据上面的定义，下列说法正确的有：_________．（填写序号） ①多项式除以后的余数为4； ②多项式能被整除； ③若多项式能被整除，则； ④若多项式除以后的余数为1，除以后的余数为3，则． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）计算： (1)简便计算：； (2)已知，求n的值． 18．（8分）（25-26八年级下·山东枣庄·阶段检测）因式分解、用因式分解进行简便计算： (1)因式分解：； (2)用因式分解进行简便计算：． 19．（10分）（25-26七年级下·吉林·期末）请根据下面的对话内容回答问题 小明：“我有一个正方体魔方，它的体积是” 小红：“我有一个长方体纸盒，它的体积是，纸盒的宽与你的魔方的棱长相等，纸盒的长与高相等．” (1)求该正方体魔方的棱长； (2)求该长方体纸盒的表面积． 20．（10分）（25-26八年级下·贵州毕节·期末）【阅读材料】要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得 ，这种分解因式的方法称为分组分解法． 根据以上方法回答下列问题： (1)【尝试填空】________； (2)【解决问题】因式分解：； (3)【拓展应用】已知三角形的三边长分别为，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 21．（12分）（25-26八年级上·湖南长沙·期中）我们约定：若关于x的整式与，同时满足：，，则称整式A与整式B互为“”整式．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于x的整式与互为“”整式，求k，m，n的值； (2)若关于x的整式（a，b为常数），M与N互为“”整式，且是的一个因式，求的值； (3)若，且关于y的方程的解为正整数，求的“”整式Q． 22．（12分）（25-26八年级上·吉林长春·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ∵，即 ， ∴的整数部分是，小数部分为 ． (1)的整数部分是 ， 小数部分是 ； (2)点 表示的数为无理数，点在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是 ；（填序号即可） ，均为有理数； ； ； ． (3)若，其中是整数，且，求的值． 23．（14分）（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）探究不同情境，解答下列的问题：       (1)【探索】观察图1，图2，请根据，，之间的等量关系解决问题：若，，则的值是__________． (2)【应用】如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为120平方米，米，求种草区域的面积和． (3)【拓展】利用7张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为，若不论的长为何值时，为定值． ①求与之间的数量关系． ②若，求的定值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材华东师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·河南郑州·期末）下列从左边到右边的变形中，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、等式右边含有不是整式， 不是因式分解． B、 变形为整式乘法， 不是因式分解． C、等式右边为和的形式， 不是因式分解． D、、D， 符合因式分解要求． 2．（25-26七年级下·四川德阳·期中）在，，，，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解： ，， 在，，，，，，，中，无理数有，共个． 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）若a、b、c为三角形的三条边长，且，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对等式左边用平方差公式因式分解，结合三角形三边关系判断m的符号． 【详解】解： ， ∵为三角形的三条边长， ∴， ， ∴， ， ∴， 即． 4．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）已知数，则数的位数是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】将原式转化为含的幂的形式，便于判断位数． 【详解】解：． ∵是1后面带9个0的正整数，共10位． ∴的位数为10． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·开学考试）已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 【答案】A 【详解】解：∵的平方根是， ∴，解得 ； ∵的立方根是， ∴，解得 ； ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴. 6．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）已知实数m，n，p，q满足，，则（    ） A．48 B．36 C．96 D．无法计算 【答案】A 【分析】先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的综合运用，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解． 7．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握整式的混合运算． 根据整式的值与无关求出，然后得出，，对多项式进行整理得出结果为，根据平方的非负性即可得出最小值． 【详解】解： ∵多项式的值与无关， ∴， 整理得， ∴，则两式相减得， ∵ 当时，取最小值，最小值为3， 故选：A． 8．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，将大正方形通过剪、割、拼后组成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，下面两幅图中，其中能够验证平方差公式的是（     ） A．甲乙均可以 B．甲乙均不可以 C．甲可以，乙不可以 D．甲不可以，乙可以 【答案】C 【分析】利用面积法，分别计算图形剪拼前后的面积表达式，判断其对应的乘法公式． 【详解】 解：甲图中，左图阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即， 右图平行四边形底为，高为，面积为， ， 故甲可以验证平方差公式． 乙图中，大正方形边长为，面积为 ， 内部由边长为的正方形和四个长宽为、的长方形组成，面积和为， ， 故乙验证的是完全平方公式． 综上所述，甲可以，乙不可以． 9．（25-26七年级下·吉林·阶段检测）将1、、、按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图中的规律找到与表示的两数，再根据二次根式的乘法法则计算出两数之积． 【详解】解：表示第排第个数， 由图中规律可知前排有个数， 到第排第个数共有个数， ， 表示的数是， 表示第排第个数， 前排有个数， 到第排第个数共有个数， ， 表示的数是， 与表示的两数之积是. 10．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）已知，，，均为常数，，均为非零常数，有两个整式，，下列结论中，正确的个数为（     ） ①当与的乘积不含项时，； ②； ③当能被整除时，； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据整式乘除与多项式整除的性质，对三个结论逐一计算验证即可． 【详解】①由题意， ， ， ∵乘积不含项，∴，解得，故①错误． ②已知， 令，得：左边，右边， ∴，整理得 ， 令，左边，右边， ∴，代入得，故②正确． ③若多项式能被整除， 根据多项式整除性质，时．代入得， 整理得，故③正确． 综上，正确的结论共2个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）若多项式可以因式分解成，则的值是______． 【答案】3或 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接利用提取公因式法分解因式进而得出答案． 【详解】解：∵可以因式分解成， ∴ ， 故，或，， 则或． 故答案为：3或． 12．（2025·广西南宁·模拟预测）已知都是实数，且，则的平方根为______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列出不等式组求出的值，再代入原式求出的值，计算得到后，根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：要使二次根式和有意义，需满足， 解得， 将代入，得， ∴， 根据平方根的定义，的平方根为． 13．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知，则的值是_______． 【答案】4 【分析】利用幂的运算将转化为：，再将整体代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式=． 故答案为：． 【点睛】此题考查了幂的运算，掌握幂的混合运算法则是解题的关键． 14．（25-26七年级下·上海·期末）有两个连续的自然数，若其中较小的自然数的平方根是，则其中较大的自然数的算术平方根是___________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义得到较小自然数，再利用连续自然数的性质得到较大自然数，最后求出较大自然数的算术平方根． 【详解】解：∵较小的自然数的平方根是， ∴较小的自然数为， ∵两个数是连续的自然数， ∴较大的自然数为， ∴较大的自然数的算术平方根是． 15．（25-26八年级上·江西新余·阶段检测）为非零自然数，若为两个连续自然数之积，则的值是________． 【答案】2或6 【分析】可分析确定，进而或，分别求解； 【详解】； ∵ ， ∴ ∴或 解得或 时，， 时，， 故答案为：2或6 【点睛】本题考查整式的运算，运用整式乘法确定代数式的取值范围是解题的关键． 16．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）在小学的除法里，我们认识了“余数”的概念：比如，表示9减去余数1之后，就能被4整除．同样的，多项式中也有类似“余数”的概念：对于一个关于的多项式，如果它减去常数后，能因式分解，并且含有因式，我们就称该多项式除以的余数为．特别地，当余数时，我们称该多项式能被整除．根据上面的定义，下列说法正确的有：_________．（填写序号） ①多项式除以后的余数为4； ②多项式能被整除； ③若多项式能被整除，则； ④若多项式除以后的余数为1，除以后的余数为3，则． 【答案】①②③ 【详解】解：①∵， ∴多项式除以后的余数为4，故①正确； ②∵， ∴多项式能被整除，故②正确； ③若能被整除，则能因式分解，且含有因式， ∴当时，整个多项式为0， 即时，多项式的值为0， 则，故③正确； ④除以后的余数为1，说明含有因式， 令，多项式的值为0，则； 同理，含有因式， 令，多项式的值为0， 则， 解得，故④错误； 综上所述，说法正确的是①②③． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）计算： (1)简便计算：； (2)已知，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质； （1）把式子变形成进而可求解； （2）根据，再由，进而可解答； 【详解】（1）解： （2）解：， ， 18．（8分）（25-26八年级下·山东枣庄·阶段检测）因式分解、用因式分解进行简便计算： (1)因式分解：； (2)用因式分解进行简便计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： . 19．（10分）（25-26七年级下·吉林·期末）请根据下面的对话内容回答问题 小明：“我有一个正方体魔方，它的体积是” 小红：“我有一个长方体纸盒，它的体积是，纸盒的宽与你的魔方的棱长相等，纸盒的长与高相等．” (1)求该正方体魔方的棱长； (2)求该长方体纸盒的表面积． 【答案】(1)该魔方的棱长为 (2)该长方体纸盒的表面积为 【分析】（1）设该魔方的棱长为，由正方体的体积为列方程，再利用立方根定义求解即可； （2）设该长方体纸盒的长为，根据长方体纸盒的体积列方程并运用算术平方根可求得长方体纸盒的高为，由长方体的表面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设该魔方的棱长为，可得，解得 答：该魔方的棱长6cm． （2）解：设该长方体纸盒的长为，则， 故，解得． 因为y是正数，所以． 所以长高，宽． ． 答：该长方体纸盒的表面积为． 20．（10分）（25-26八年级下·贵州毕节·期末）【阅读材料】要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得 ，这种分解因式的方法称为分组分解法． 根据以上方法回答下列问题： (1)【尝试填空】________； (2)【解决问题】因式分解：； (3)【拓展应用】已知三角形的三边长分别为，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)这个三角形是等边三角形，理由如下： ， ， ∴， ，， ． ，，                 ，， ， ∴这个三角形是等边三角形． 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，利用非负性得到，，之间的关系，即可得出结果． 【详解】（1）解：原式  ． （2）解：原式， ， ．                 （3）略 21．（12分）（25-26八年级上·湖南长沙·期中）我们约定：若关于x的整式与，同时满足：，，则称整式A与整式B互为“”整式．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于x的整式与互为“”整式，求k，m，n的值； (2)若关于x的整式（a，b为常数），M与N互为“”整式，且是的一个因式，求的值； (3)若，且关于y的方程的解为正整数，求的“”整式Q． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查整式的乘法运算、因式分解、解一元一次方程等知识点，熟练掌握因式分解是解题关键． （1）根据题意得到即可解答； （2）根据题意得出，再由是的一个因式，进行因式分解确定，然后代入计算即可； （3）根据因式分解得出，再由分式方程的解得或，据此分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵关于x的整式与互为“”整式，，M与N互为“”整式， ∴． （2）解：， ∵关于x的整式（a，b为常数），M与N互为“”整式， ∴关于x的整式（a，b为常数），M与N互为“”整式， ∴， ∴， ∵是的一个因式， ∴， ∴， ∴． （3）解： ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵关于y的方程的解为正整数， ∴或， ∴或，， ∵整式P与整式Q互为“”整式 ∴或． 22．（12分）（25-26八年级上·吉林长春·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ∵，即 ， ∴的整数部分是，小数部分为 ． (1)的整数部分是 ， 小数部分是 ； (2)点 表示的数为无理数，点在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是 ；（填序号即可） ，均为有理数； ； ； ． (3)若，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（）仿照题意求解即可； （）设点 表示的无理数为，再根据数轴可知，据此求出的值，然后逐一排除即可； （）仿照题意求解即可； 本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：设点表示的无理数为，再根据数轴可知， ∴，，故，说法错误； ∴， ∵， ∴， ∴，故说法错误； 由，， 则， ∵， ∴，故说法正确； 故选：； （3）解：∵，即， ∴，即， ∴，， ∴． 23．（14分）（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）探究不同情境，解答下列的问题：       (1)【探索】观察图1，图2，请根据，，之间的等量关系解决问题：若，，则的值是__________． (2)【应用】如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为120平方米，米，求种草区域的面积和． (3)【拓展】利用7张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为，若不论的长为何值时，为定值． ①求与之间的数量关系． ②若，求的定值． 【答案】(1) (2)平方米 (3)①；② 【分析】（1）用两种不同的方法表示出4个小长方形的面积即可得到；然后根据题意得到，将，代入求解即可； （2）设，由题意得，，，根据代入计算即可． （3）①根据长方形的面积得，结合永远为定值，整理得，根据，则，即可作答；②根据（3）①所求代入求值即可． 【详解】（1）解：图1中4个小长方形的面积为， 图2中4个小长方形的面积为， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设米，米， 由题意得，米， ∵种花区域的面积和为120平方米 ∴，即， ∴ （平方米）， 答：种草区域的面积和为80平方米． （3）解：①∵长方形的面积为，长方形的面积为， ∴， ∴， ∵不论的长为何值时，永远为定值，且， ∴的值与无关， ∴， 即a与b之间的数量关系为； ②由（3）①得，， ∴当时，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $