八年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷（沪科版2024，举一反三）

八年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷 【沪科版2024】 时间：120分钟 满分：150分 测试范围：第11章 平面直角坐标系~第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空4题，解答9题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点和点，若直线轴，则线段的长为(    ) A．2 B．5 C．7 D．14 2．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点在第四象限内，一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图所示的是可调躺椅的示意图，与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，若使，则图中应减少（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，把直线沿轴向下平移后得到直线，如果点是直线上的一点，且，那么直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值，则称，两点互为“等差点”，例如 和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于，它们互为“等差点”．若点 和点 互为“等差点”，则的值为（　　） A． 或 B． C．或 D．或 6．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，点A，B分别在射线，上（均不与点O重合），的角平分线与角平分线交于点 E．随着点A，B位置的变化，对于和，下列判断正确的是（   ） A． 和的度数均会改变 B．和的度数均不会改变 C．只有的度数不会改变 D．只有的度数不会改变 7．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图．在平面直角坐标系中，点，，，…和、、，…分别在直线和x轴上，，，，… 都是等腰直角三角形，其中，…为其直角顶点，如果点，那么的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，AB//EG//x轴，BC//DE//HG//AP//y轴，点D、C、P、H在x轴上，A(1，2)，B(-1，2)，D(-3，0)，E(-3，-2)，G(3，-2)，把一条长为2019个单位长度且没有弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A-B-C-D-E-F-G-H-P-A…的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ）    A．(1，2) B．(-1，2) C．(-1，-2) D．(1，1) 9．如图，在中，，为的中点，连接并延长交于点，过点作于点，延长交于点．下面说法错误的是（   ） A．是的角平分线 B．是的高 C．是的高 D．是的中线 10．甲，乙两车在笔直的公路上行驶，乙车从之间的地出发，到达终点地停止行驶，甲车从起点A地与乙车同时出发到达地休息半小时后立即以另一速度返回地并停止行驶，在行驶过程中，两车均保持匀速，甲、乙两车相距的路程千米与乙车行驶的时间小时之间的关系如图所示，下列说法中正确的有（    ）    ①甲车行驶的速度为每小时千米； ②两地之间的距离为千米； ③甲车返回地的速度为每小时千米； ④甲车返回地比乙车到地时间晚小时． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，将沿x轴负方向平移后，得到．若，则点A的对应点C的坐标是 ． 12．（25-26七年级上·重庆万州·阶段练习）如图，在中，，图中阴影部分的面积为25平方厘米，则的面积为 平方厘米． 13．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标 ． 14．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为，，，． （1）四边形的面积为 ； （2）当过点的直线l将四边形的面积分成面积相等的两部分时，则直线的函数表达式为 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15．（8分）（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）李明、林红和红军三位同学同时测量的三边长，李明说：“的周长是．”红军说∶“的三边长都是整数．” (1)若是最大边，则的最大长度为； (2)林红说：“的长度为．”若是等腰三角形，求边的长度． 16．（8分）（25-26七年级下·全国·期末）推理能力 如图①所示，在中，是高，是的平分线， ． (1)求的度数． (2)当是的外角的平分线时，如图②所示，的度数是多少？设，用含的式子表示出结果，并说明理由． 17．（8分）（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点．    (1)求直线的表达式； (2)求点的坐标； (3)若直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求出点的坐标． (4)当时，对于的每一个值，函数（）的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 18．（8分）（24-25八年级下·四川南充·期末）为落实乡村振兴，加快绿色生态产业发展，南部县绿色产业园区深加工甲、乙两种绿色袋装食品，两种食品都以20袋/箱整箱批发给直播带货平台，首批发给平台甲种食品400袋，乙种食品600袋共12000元，次批发给平台甲种食品1200袋，乙种食品800袋共26000元．指导平台线上销售价格甲种食品25元/袋，乙种食品18元/袋，直播成本1元/袋． (1)产业园区批发给直播平台的甲乙两种食品的单价是多少？ (2)直播带货平台拟用不超过前两批的利润总和的资金进行第三次批入2000袋，其利润不低于第一批所获利润的两倍，平台有几种进货方案？ (3)直播带货平台第三次进货时，发现产业园区为了促销，下调甲种食品批发价m元/袋，同时下调线上指导销售价格5元/袋，在（2）的进货方案中怎样进货利润最大？ 19．（10分）（24-25八年级上·重庆奉节·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点在轴上，，一次函数的图象经过点，且与的图象交于点，连接． (1)求的解析式； (2)求的面积； (3)如图2，直线交轴于点，作直线，点为直线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 20．（10分）（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，有一点M的坐标为，若点N的坐标为，其中a为常数，则称点N是点M的“a级倍减点”． (1)已知点的“2级倍减点”是点，则点的坐标为______； (2)已知点的“-3级倍减点”位于轴上，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若第二象限存在点，使轴，且，求点的坐标． 21．（12分）（25-26八年级上·山西朔州·阶段练习）如图，是的角平分线，点E在边上（不与点A，C重合），连接，交于点O． (1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为 ． (2)如图2，若，BE是的高，则的度数为 ． (3)如图3，若，BE是的角平分线，求的度数． 22．（12分）（24-25八年级上·江苏南京·期末）甲、乙两地相距．慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发后快车也从甲地出发，沿同一路线匀速驶往乙地，两车同时到达乙地后，慢车立即保持原速，沿原路返回甲地．快车在乙地休息后，提速50％，沿原路匀速返回，又与慢车同时回到甲地，在整个行程中，慢车离甲地的距离（单位：）与时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示． (1)在图中画出快车离甲地的距离（单位：）与时间t之间的函数图象． (2)______． (3)已知从甲地到乙地的路程中，距离乙地处有一个治安警亭． ①若，在整个行程中（不含行程终点甲地），t的值是多少时，两车与警亭的距离相等？ ②若两车相继路过该警亭的时间间隔不超过，则s的取值范围是_______． 23．（14分）阅读下面的材料，并解决问题． (1)已知在中，，图1﹣3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ；如图2， ；如图3， ； 如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (2)如图5，点O是两条内角平分线的交点，求证：． (3)如图6，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷 【沪科版2024】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点和点，若直线轴，则线段的长为(    ) A．2 B．5 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中平行于y轴的直线上点的坐标特征及两点间距离的计算，解题的关键是利用"平行于y轴的直线上点的横坐标相等"求出m的值，再通过纵坐标差的绝对值计算线段长度． 【详解】由直线轴，知平行于y轴的直线上所有点横坐标相等，因此P与Q的横坐标相等． 点Q横坐标为2，点P横坐标为，故，解得． 代入得P的纵坐标：，即． 线段的长为两点纵坐标差的绝对值：， 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点在第四象限内，一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象，点的坐标特征，解题的关键是根据一次函数中、的符号确定函数图象所经过的象限．根据点在第四象限内，确定、的符号，进而得到，的符号，然后确定两个一次函数图象所经过的象限，逐项判断即可． 【详解】解：点在第四象限内， ，， ，， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 一次函数的图象经过第一、三象限， 观察选项中的图象，同时满足的为选项B． 故选：B． 3．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图所示的是可调躺椅的示意图，与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，若使，则图中应减少（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．延长交于点，由图可知，，，，则，根据三角形的外角性质可得，进而得到当时，，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 由图可知，，，， ， ， ， ， 则图中应减少， 故选：A． 4．如图，在平面直角坐标系中，把直线沿轴向下平移后得到直线，如果点是直线上的一点，且，那么直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，直线平移时的值不变，只有的值发生变化．由直线平移时值不变，设直线的函数表达式为，再将代入，得到，结合已知条件，求出的值，即可得答案． 【详解】解：∵直线沿轴向下平移后得到直线， ∴设直线的函数表达式为， ∵点是直线上的一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线的函数表达式为． 故选：B． 5．（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值，则称，两点互为“等差点”，例如 和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于，它们互为“等差点”．若点 和点 互为“等差点”，则的值为（　　） A． 或 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先算出点到两坐标轴距离之差的绝对值，再根据“等差点”定义得出点到两坐标轴距离之差的绝对值表达式，通过绝对值方程求解的值．本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴距离及绝对值方程的求解，熟练掌握点到坐标轴距离的计算方法和绝对值方程的解法是解题的关键． 【详解】解：点到两坐标轴的距离之差的绝对值为，点到两坐标轴的距离之差的绝对值为， ∴， ， ∴或， 解得或 故选： 6．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，点A，B分别在射线，上（均不与点O重合），的角平分线与角平分线交于点 E．随着点A，B位置的变化，对于和，下列判断正确的是（   ） A． 和的度数均会改变 B．和的度数均不会改变 C．只有的度数不会改变 D．只有的度数不会改变 【答案】D 【分析】本题考查三角形的角平分线，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，掌握三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键． 由角平分线得到，，从而根据三角形外角的性质得到，即可判断的度数会改变．由 ，可判断的度数不会改变． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∵随着点A，B位置的改变，的大小也随之改变， ∴的度数会改变． ∵平分， ∴， ∴ ， ∴随着点A，B位置的改变，的度数不会改变． 故选：D 7．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图．在平面直角坐标系中，点，，，…和、、，…分别在直线和x轴上，，，，… 都是等腰直角三角形，其中，…为其直角顶点，如果点，那么的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解、等腰直角三角形的性质及数字规律探究，解题的关键是利用等腰直角三角形直角顶点的横坐标与纵坐标的关系（直角顶点横坐标减去纵坐标等于前一个B点的横坐标），结合一次函数解析式求出各的纵坐标，进而归纳出纵坐标的变化规律． 先将代入直线求，确定直线解析式；利用等腰直角三角形（直角顶点为）的性质，得的横坐标的横坐标（为的纵坐标），结合直线解析式列方程求、的纵坐标；归纳纵坐标的规律，计算的纵坐标． 【详解】解：∵ 点在直线上， ∴ ，解得， ∴ 直线解析式为 ∵ 是等腰直角三角形，为直角顶点， ∴ 的横坐标（为），验证成立，且的横坐标为，即 ∵ 是等腰直角三角形，为直角顶点， ∴ 的横坐标的横坐标，即 又∵ 在直线上， ∴ ， 化简得，解得. 同理，的横坐标为，的横坐标， 代入直线解析式得， 化简得，解得. 归纳规律：纵坐标，纵坐标，纵坐标， 故纵坐标. ∴ 的纵坐标. 故选：A． 8．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，AB//EG//x轴，BC//DE//HG//AP//y轴，点D、C、P、H在x轴上，A(1，2)，B(-1，2)，D(-3，0)，E(-3，-2)，G(3，-2)，把一条长为2019个单位长度且没有弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A-B-C-D-E-F-G-H-P-A…的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ）    A．(1，2) B．(-1，2) C．(-1，-2) D．(1，1) 【答案】D 【分析】先求出“凸”形ABCDEFGHP的周长为20，得到2019÷20的余数，进而可得答案． 【详解】解：∵A（1，2），B（﹣1，2），D（﹣3，0），E（﹣3，﹣2），G（3，﹣2）， ∴“凸”形ABCDEFGHP的周长为20， ∵2019÷20的余数为19， ∴细线另一端所在位置的点在P处上面1个单位的位置，坐标为（1，1）． 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标系中点的坐标规律，解题的关键是找出规律、求出“凸”形的周长，根据规律解答． 9．如图，在中，，为的中点，连接并延长交于点，过点作于点，延长交于点．下面说法错误的是（   ） A．是的角平分线 B．是的高 C．是的高 D．是的中线 【答案】D 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可．本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟记它们的定义是解题的关键． 【详解】解：A、， 是的角平分线，本选项说法正确，不符合题意； B、， 是的边上的高线，本选项说法正确，不符合题意； C、，， 是的角平分线和高线，本选项说法正确，不符合题意； D、为的中点， 是的边上的中线，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 10．甲，乙两车在笔直的公路上行驶，乙车从之间的地出发，到达终点地停止行驶，甲车从起点A地与乙车同时出发到达地休息半小时后立即以另一速度返回地并停止行驶，在行驶过程中，两车均保持匀速，甲、乙两车相距的路程千米与乙车行驶的时间小时之间的关系如图所示，下列说法中正确的有（    ）    ①甲车行驶的速度为每小时千米； ②两地之间的距离为千米； ③甲车返回地的速度为每小时千米； ④甲车返回地比乙车到地时间晚小时． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据第三段函数图象甲车到达B地后休息半小时，求出乙车的速度，然后根据第一段函数图象，求出甲去B地速度；求出甲车从A到B所用的时间，即可求出的长度；根据返回时，两车在小时内行驶的路程为60千米，算出甲返回C的速度，求出间的长度，即可求出返回C地时甲用的时间，算出乙到达目的地B比甲到达B地多用的时间，即可求出甲车返回地比乙车到地时间晚3小时． 【详解】解：乙车速度（千米/时）， 甲车去B地的速度为：（千米/时）， 甲车去B地时，两车速度差，（千米/时）， 第一次相遇后甲车到达B地时间，（小时）， ∴甲车从A地到B地所用时间为（小时）， ∴两地之间的距离为（千米），故②正确； 甲车返回时速度，（千米/时），故①错误，故③正确； ∴A、B两地距离420千米， ∴B、C两地相距，（千米）， 甲车返回C地用时，（小时）， 乙车比甲车晚到达B地时间，（小时）， 甲车比乙车晚到达目的地时间，（小时），故④错误； 综上分析可知，正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了从函数图象中获取信息，解决行程问题，解决问题的关键是熟练掌握甲、乙两车行驶路程与速度、时间的关系． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，将沿x轴负方向平移后，得到．若，则点A的对应点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，点平移的变化规律是：横坐标左减右加；纵坐标上加下减，熟练掌握点平移的变化规律是解题的关键． 直接利用点平移的变化规律求解即可． 【详解】解：∵的顶点A，B的坐标分别为，，， ∴， ∴点A平移至点C的坐标为， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·重庆万州·阶段练习）如图，在中，，图中阴影部分的面积为25平方厘米，则的面积为 平方厘米． 【答案】200 【分析】本题主要考查三角形面积，与等高，又因为，所以，同理，，，即可解答． 【详解】解：因为与等高， 又因为， 所以， 同理，， 所以． 所以（平方厘米） 故答案为：200． 13．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，设点P的坐标为，根据点的坐标可得，，；再分点P在点B上方，点P在点B下方，且在x轴上方和点P在x轴下方三种情况，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵，，， ∴，，， 如图所示，当点P在点B上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在点B下方，且在x轴上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为：或． 14．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为，，，． （1）四边形的面积为 ； （2）当过点的直线l将四边形的面积分成面积相等的两部分时，则直线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识． （1）根据即可解答； （2）根据当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形的面积，可设直线的解析式为，即可求出直线的解析式为，则直线l与x轴的交点坐标为，求出直线的解析式为，则直线与直线的交点坐标为，再由过点的直线l将四边形的面积分成面积相等的两部分，得到，由此即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，，，， ∴， ∴， 即， （2）∵当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形的面积， 如图， l直线l与x轴的交点为点，直线l与直线的交点为点， ∴可设直线l的解析式为， ∴， ∴， ∴直线l的解析式为， ∴直线l与x轴的交点坐标为， ∴， ∵点坐标为，点D坐标为， ∴直线的解析式为， ∵当时，直线与直线平行，此时直线不可能平分四边形的面积 ∴联立， 解得， ∴直线l与直线的交点坐标为， ∵， ∴， ∵过点B的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分， ∴， 解并检验得或（舍去）， ∴直线l的解析式为 ， 故答案为：（1）24；（2）． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15．（8分）（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）李明、林红和红军三位同学同时测量的三边长，李明说：“的周长是．”红军说∶“的三边长都是整数．” (1)若是最大边，则的最大长度为； (2)林红说：“的长度为．”若是等腰三角形，求边的长度． 【答案】(1) (2)的长度为或或 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义； （1）设三边长分别为，，，则，且，，均为正整数，最大边长为b．根据已知条件可以得到三角形的另外两边之和，再根据三角形的三边关系可以得到，从而求得最大边； （2）设，，则，且为正整数．是等腰三角形，即至少两边相等．分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：设三边长分别为，，，且，，均为正整数，最大边长为． ∵的周长是， ∴．则 根据三角形的三边关系， ∴ ∴， ∵是正整数，则的最大值为， 故答案为：7． （2）解：知，周长为，且三边长均为整数，因此． 设，，则，且，为正整数． 是等腰三角形，即至少两边相等．可能情形如下： ，则，代入得．边长为，，，能构成三角形． ，则，代入得．边长为，，，能构成三角形． ：即，则得，边长为，，，能构成三角形 综上所述，的长度为或或 16．（8分）（25-26七年级下·全国·期末）推理能力 如图①所示，在中，是高，是的平分线， ． (1)求的度数． (2)当是的外角的平分线时，如图②所示，的度数是多少？设，用含的式子表示出结果，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是运用类比的方法分别求的度数和的度数． （1）由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据角平分线的定义即可求出的度数，由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据代入数据即可得出结论； （2）同（1）的过程找出和的度数，二者相加即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，且， ， 又是的平分线， ． ， ∴， ， ． （2）解：．理由如下： ． 平分， ． ， ， 17．（8分）（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点．    (1)求直线的表达式； (2)求点的坐标； (3)若直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求出点的坐标． (4)当时，对于的每一个值，函数（）的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）利用待定系数法，解方程组解答即可； （2）联立两条直线解析式构成方程组，解方程组得解即为交点坐标； （3）连接，得，计算，确定，设，得到，解答即可． （4）当时，，把代入得，，当与平行时，二线没有，交点，此时，根据直线不平行，则相交，当时，二线在第一象限相交，此时函数小于的值，不符合题意；故；当直线的右侧直线可以满足，当时，对于x得每一个值，函数的值大于一次函数的值，故答案为． 本题考查了待定系数法，解方程组，图形的面积，函数的性质，熟练掌握待定系数法，函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 把点，代入，得， 解得： ∴直线的表达式为． （2）解：根据题意，联立得方程组， 解得： ∴点的坐标为． （3）解：连接，如图所示．    由直线的表达式为，得， 故， ∵点的坐标为． ∴， 直线的表达式为，令，则． ∴直线与轴交于点 ∴， 设， ∵的面积是面积的4倍， ∴， ∴， 解得：或， ∴点的坐标是或． （4）解：当时，， 把代入得，，， 当与平行时，二线没有交点，此时，此时的值恒大于的值，满足条件； 根据直线不平行，则相交，当时，二线在第一象限相交，此时函数小于的值，不符合题意； 故； 当直线的右侧直线可以满足，当时，对于x得每一个值，函数的值大于一次函数的值， 故答案为． 18．（8分）（24-25八年级下·四川南充·期末）为落实乡村振兴，加快绿色生态产业发展，南部县绿色产业园区深加工甲、乙两种绿色袋装食品，两种食品都以20袋/箱整箱批发给直播带货平台，首批发给平台甲种食品400袋，乙种食品600袋共12000元，次批发给平台甲种食品1200袋，乙种食品800袋共26000元．指导平台线上销售价格甲种食品25元/袋，乙种食品18元/袋，直播成本1元/袋． (1)产业园区批发给直播平台的甲乙两种食品的单价是多少？ (2)直播带货平台拟用不超过前两批的利润总和的资金进行第三次批入2000袋，其利润不低于第一批所获利润的两倍，平台有几种进货方案？ (3)直播带货平台第三次进货时，发现产业园区为了促销，下调甲种食品批发价m元/袋，同时下调线上指导销售价格5元/袋，在（2）的进货方案中怎样进货利润最大？ 【答案】(1)甲种食品单价为15元/袋，乙种为10元/袋； (2)共3种进货方案； (3)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数的应用． （1）设甲种食品的批发单价为x元/袋，乙种为y元/袋，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）先求得第一批和第二批利润，再设第三次进货甲为a袋，乙为袋，根据题意列不等式组求解即可； （3）调整后甲利润为元/袋，乙利润仍为7元/袋，求得总利润函数为，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲种食品的批发单价为x元/袋，乙种为y元/袋， 根据题意列出方程组：， 解得， 答：甲种食品单价为15元/袋，乙种为10元/袋； （2）解：甲每袋利润：元， 乙每袋利润：元， 第一批利润：元， 第二批利润：元， 总利润：元， 设第三次进货甲为a袋，乙为袋， 根据题意得， 解得， 根据题意，两种食品都以20袋/箱整箱批发，即为20的倍数， ∴可取800，820，840 ∴共3种进货方案， 答：共3种进货方案； （3）解：调整后甲利润为元/袋，乙利润仍为7元/袋， 总利润函数为：， 当时，P随a增大而增大，； 当时，P随a增大而减小，； 当时，利润与a无关， 答：若，购甲840袋，乙1160袋； 若，购甲800袋，乙1200袋； 若，利润相同． 19．（10分）（24-25八年级上·重庆奉节·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点在轴上，，一次函数的图象经过点，且与的图象交于点，连接． (1)求的解析式； (2)求的面积； (3)如图2，直线交轴于点，作直线，点为直线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)点或 【分析】（1）先根据已知条件求得，，再利用待定系数法求解的函数解析式即可； （2）设直线交轴于点，先求得，再利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可； （3）根据题意，分两种情况：当点P在点E的左侧时和当点P在点E的右侧时，分别画出对应图形，利用数形结合思想，结合等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法分别求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点， ∴当时，，当时，由得， ∴，,， ∵， ∴，则， ∵点在函数的图象上， ∴，解得， ∴， ∵函数的图象经过点C、D， ∴，解得， ∴； （2）解：解：设直线交轴于点， 当时，，则， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：根据题意，分两种情况： 当点P在点E的左侧时，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 则点P为直线和直线的交点， 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为； 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得， ∴； 当点P在点E的右侧时，如图， ∵，，， ∴， 过点E作交于F，则， ∴， ∴， 设， 由得， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为； 由可设直线的函数解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得， ∴， 综上，满足条件的点P坐标为或． 【点睛】本题是一次函数与几何图形的综合，考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数解析式、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、三角形的外角性质、两点坐标距离公式、两直线的交点问题等知识，涉及知识点多，综合性强，熟练掌握待定系数法，添加平行线构造等腰三角形以及分类讨论是解答的关键． 20．（10分）（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，有一点M的坐标为，若点N的坐标为，其中a为常数，则称点N是点M的“a级倍减点”． (1)已知点的“2级倍减点”是点，则点的坐标为______； (2)已知点的“-3级倍减点”位于轴上，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若第二象限存在点，使轴，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查坐标系中点的坐标，对新定义的理解； （1）根据题目给出的定义直接计算出的坐标即可； （2）先根据定义求出Q点的坐标，再根据Q点在轴上，利用轴上的点横坐标为0，即可求解； （3）先求出P点坐标，由轴得K点纵坐标与P点纵坐标相同，可设出K点坐标，利用建立方程再结合K点所在象限可求出K点坐标. 【详解】（1）解：∵， ∴“2级倍减点”点横坐标为：，纵坐标为：， ∴坐标为. 故答案为：. （2）解：∵点的“-3级倍减点”为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即， 又∵位于轴上， ∴， 解得 ∴， ∴. 故答案为：. （3）解：由（2）得 ∴， ∵轴，且， ∴K点纵坐标与P点纵坐标相同， ∴设， ∴， 即或 解得或 ∵点在第二象限， ∴， ∴舍去， ∴． 21．（12分）（25-26八年级上·山西朔州·阶段练习）如图，是的角平分线，点E在边上（不与点A，C重合），连接，交于点O． (1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为 ． (2)如图2，若，BE是的高，则的度数为 ． (3)如图3，若，BE是的角平分线，求的度数． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线，高线以及三角形内角和． （1）由中线的定义得，然后利用周长公式求解即可； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形内角和定理即可求解； （3）先由三角形内角和定理求出，再根据求解即可． 【详解】（1）∵是的中线， ∴， ∴与的周长差为： ． 故答案为：3； （2）∵是的高， ∴． ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：； （3）∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴ ． 22．（12分）（24-25八年级上·江苏南京·期末）甲、乙两地相距．慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发后快车也从甲地出发，沿同一路线匀速驶往乙地，两车同时到达乙地后，慢车立即保持原速，沿原路返回甲地．快车在乙地休息后，提速50％，沿原路匀速返回，又与慢车同时回到甲地，在整个行程中，慢车离甲地的距离（单位：）与时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示． (1)在图中画出快车离甲地的距离（单位：）与时间t之间的函数图象． (2)______． (3)已知从甲地到乙地的路程中，距离乙地处有一个治安警亭． ①若，在整个行程中（不含行程终点甲地），t的值是多少时，两车与警亭的距离相等？ ②若两车相继路过该警亭的时间间隔不超过，则s的取值范围是_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①或2或3时，两车与警亭的距离相等；② 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意以及将实际问题结合函数观点思考问题是解题的关键． （1）根据快车行车轨迹即可得解； （2）根据快车去时和回时的速度和时间建立方程求解即可； （3）①根据题意可求出快车和慢车的速度，进而求出慢车离甲地的距离的函数图象解析式和，以及快车离甲地的距离的函数图象、，进而再根据两车的行车路线分类讨论，建立方程求解即可； ②先求出慢车离甲地的距离的函数图象解析式和，以及快车离甲地的距离的函数图象、，再令它们分别等于，求出t值，根据两车相继路过该警亭的时间间隔不超过，建立不等式，求解即可． 【详解】（1）解：如图，折线即为所求． ； （2）解：根据图形可知，快车去乙地时速度为，用时小时，返回速度为，用时1小时， ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：①时， ∵， ∴， ∵返回时，， ∴从甲地到乙地时，， ∴， ， ， 慢车从甲地到乙地时，， ∴， 解得； 慢车、快车同时到达乙地时，； 慢车从乙地回甲地时，， ∴， 解得； 综上所述，或2或3； ②根据题意可知， ∴，， ∵返回时，， ∴从甲地到乙地时，， ∴，， 令，即， 解得； 令，即， 解得， 令，即， 解得， 令，即， 解得， 根据题意可得，，即， 解得， 故答案为：． 23．（14分）阅读下面的材料，并解决问题． (1)已知在中，，图1﹣3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ；如图2， ；如图3， ； 如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (2)如图5，点O是两条内角平分线的交点，求证：． (3)如图6，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数． 【答案】(1)，，，； (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键． （1）由的度数，在中，可得与的和，又、是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案； （2）由的度数，在中，可得与的和，又、是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论； （3）先分别求出与的度数，即可求得的度数． 【详解】（1）解：如图1， ，， ， ，分别平分和 ， ， ， 如图2， 是的外角， ， ，分别平分和， ，， 是的外角， ， ， 如图3， 是的外角， ， 平分，平分， ，， ， ， 如图4， ，的三等分线交于点，， ，， 平分，平分， 平分， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）证明：平分，平分， ，， ； （3）解：是△的外角， ， ，， ， 、是的三等分线， ，， ， 是的平分线， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $