第3章 勾股定理 单元测试-2025-2026学年苏科版八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

第3章 勾股定理 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列四组数中，能作为直角三角形三边长的是(   ) A．1，2，3 B．10，15，20 C． D． 2．在中，，且，，则的值是（    ） A．1 B． C．5 D．7 3．如图，两个较大正方形的面积分别为144和169，则字母A所代表的正方形的面积是（   ） A．5 B．12 C．13 D．25 4．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形顶点上，则线段的长不可能是（    ） A． B． C． D． 5．年7月日，随着锚地防御演练顺利完成，“北部•联合－”演习圆满落幕．如图．演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西方向以海里/小时的速度航行，二号舰以海里/小时的速度航行，离开港口小时后它们分别到达A，B两点，相距海里，则二号舰航行的方向是（    ） A．南偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏西 6．如图，在中，，，，过点作于点，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 7．如图，在方格纸中，为的平分线，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，是一个长方体的盒子，长，宽，高分别为，，，现将一根长为的筷子插入到盒子的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．如图，点A表示的实数是 ． 10．如图，最大正方形和最小正方形的面积分别为，，则字母所代表的正方形的边长为 ． 11．一个三角形三边满足，则这个三角形是 三角形． 12．如图，数轴上点与数轴原点重合，点表示的数是2．过点作，且，以点为圆心，的长为半径作弧，则弧与数轴的交点所表示的数是 ． 13．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为，且，那么小正方形的面积为 ． 14．如图，在中，，尺规作图以C为圆心，以为半径作弧交于点D；再分别以B、D为圆心，以大于长度的线段为半径作弧交于点M；作射线交于点E；若，则的长是 ． 15．如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则 ． 16．如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．在中，，、、的对边分别是，，． (1)已知，，求； (2)已知，，求． 18．如图，在中，，，，求的长． 19．如图，在四边形中，，点在边上，连接． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 20．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点． (1)在图中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (2)在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长为，，． 21．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 22．观察下列勾股数：3 ，4 ，5 ；5 ，12 ，13；7 ，24 ，25；9 ，40 ，41； … ，a ，b ，c 根据你发现的规律，请写出 (1)当时，则 ， ； (2)当时，求的值；（ 用字母 n 表示） (3)用（2）的结论判断 19 ，188 ，189 是否为一组勾股数，并说明理由． 23．【问题背景】 如图1是著名的赵爽弦图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）与按如图2所示位置放置，连接，其中，请你利用图2推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）问中，若，，，，，设，求x的值． 24．如图，在四边形 中，，， 平分 ． (1)求证： ； (2)E 是梯形内一点， F 是四边形外一点，且， ，判断 的形状，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，当 ，时，求的值． 25．如图1，在长方形纸片中，，，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)若连接，当点Q落在上时，的长为_____； (2)如图2，点M是的中点，连接．当点Q落在上时，求的长； (3)如图3，点M是的中点，连接，． ①的最小值为______； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 勾股定理 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列四组数中，能作为直角三角形三边长的是(   ) A．1，2，3 B．10，15，20 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解∶A、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意； B、，不能作为直角三角形三边长，符合题意； C、，能作为直角三角形三边长，符合题意 D、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意． 故选：C 2．在中，，且，，则的值是（    ） A．1 B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，正确应用勾股定理确定各边长度是解题关键． 直接利用勾股定理得出的值即可． 【详解】解：在中，，且，， ∴， 故选：B． 3．如图，两个较大正方形的面积分别为144和169，则字母A所代表的正方形的面积是（   ） A．5 B．12 C．13 D．25 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理：以直角三角形三边为边长的正方形面积，根据三个正方形的边长组成一个直角三角形，得到字母A所代表的正方形的面积等于大正方形的面积减去小的正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：三个正方形的边长组成一个直角三角形， 由勾股定理，得：字母A所代表的正方形的面积； 故选：D． 4．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形顶点上，则线段的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，结合正方形网格，逐一画图计算后判定即可． 【详解】A．如图，，该选项不符合题意； B．如图，，该选项不符合题意； C．在正方形网格中找不到这样的格点，使得，该选项符合题意； D． 如图，，该选项不符合题意； 故选：C． 5．年7月日，随着锚地防御演练顺利完成，“北部•联合－”演习圆满落幕．如图．演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西方向以海里/小时的速度航行，二号舰以海里/小时的速度航行，离开港口小时后它们分别到达A，B两点，相距海里，则二号舰航行的方向是（    ） A．南偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏西 【答案】C 【分析】本题考查了方位角、勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解本题的关键． 由题意可知，，由勾股定理逆定理可知，结合方位角即可确定出二号舰的航行方向． 【详解】解：如图： ， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴二号舰航行的方向是南偏东， 故选：C． 6．如图，在中，，，，过点作于点，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．先利用勾股定理求出的长，再利用等面积法求出的长即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 故选：C． 7．如图，在方格纸中，为的平分线，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，网格与勾股定理，角平分线的判定，，，利用勾股定理求出，证明得到从而得出结论． 【详解】解：如图，连接，， 设每个方格的长度为1， ，，，， ， 又， ， ，即为的平分线， 点符合题意，，，不符合题意， 故选：A． 8．如图，是一个长方体的盒子，长，宽，高分别为，，，现将一根长为的筷子插入到盒子的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方体中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出筷子最长和最短时在盒中所处的位置，然后计算求解． 根据题中已知条件，首先要考虑筷子放进盒里垂直于底面时露在盒外的长度最长为；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在盒外的长度最短． 【详解】解：①当筷子放进盒子垂直于底面时露在盒外的长度最长，最长为； ②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线长为，高为， 由勾股定理可得盒里面的筷子长为， 则露在盒外的长度最短为； 故选：B． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．如图，点A表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理，从数轴上获取已知信息是解题的关键． 根据数轴上获取的条件和数轴上两点间的距离公式计算即可． 【详解】解：根据数轴可知，， ∴点A表示的实数是：， 故答案为：． 10．如图，最大正方形和最小正方形的面积分别为，，则字母所代表的正方形的边长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，以直角三角形三边为边长的图形面积，解题关键是掌握勾股定理并能熟练运用求解． 根据勾股定理求解． 【详解】解：∵最大正方形和最小正方形的面积分别为，， ∴字母所代表的正方形的边长为， 故答案为：8． 11．一个三角形三边满足，则这个三角形是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，完全平方公式． 先根据完全平方公式将原式化为，进而根据勾股定理的逆定理作答即可． 【详解】∵ ∴， 即， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 12．如图，数轴上点与数轴原点重合，点表示的数是2．过点作，且，以点为圆心，的长为半径作弧，则弧与数轴的交点所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，先求出，再利用勾股定理求出，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∵，， ∴， ∵以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点D． ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 13．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为，且，那么小正方形的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质以及完全平方公式等知识，求出是解题的关键．由正方形的性质和勾股定理得，再由，得，则，即可解决问题． 【详解】解：设大正方形的边长为c， ∵大正方形的面积是18， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴小正方形的面积， 故答案为：2． 14．如图，在中，，尺规作图以C为圆心，以为半径作弧交于点D；再分别以B、D为圆心，以大于长度的线段为半径作弧交于点M；作射线交于点E；若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，作垂线，先理解题意，根据作图过程得，再运用勾股定理分别算出，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 设的长是， 结合作图过程得出， 即， 在中，， 在中，， 故答案为：． 15．如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则 ． 【答案】231 【分析】该题考查了勾股定理，在 、、、中，由勾股定理得出，再代入求解即可． 【详解】证明：在 中，由勾股定理，得①， 在 中，由勾股定理，得②， 得． 在 中，由勾股定理，得③， 在 中，由勾股定理，得④， 得， 所以， ∵，， ∴． 故答案为：231． 16．如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先由勾股定理求出的长，进而求出的长，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．在中，，、、的对边分别是，，． (1)已知，，求； (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键，注意是斜边． （）由勾股定理求出直角边即可； （）由勾股定理求出斜边即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴． 18．如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可解答． 【详解】解：在中，， ， 又，， ． 19．如图，在四边形中，，点在边上，连接． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据条件由即可证明全等； （2）根据全等三角形得到，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）∵， ； （2）∵， 20．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点． (1)在图中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (2)在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长为，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案； （2）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案． 【详解】（1）解：如图1所示：正方形即为所求； （2）如图2所示：三角形即为所求． 21．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． （1）因为，故利用勾股定理进行列式，解答即可； （2）先运算，再利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：珍珍的观点正确，过程如下： 由（1）得， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 22．观察下列勾股数：3 ，4 ，5 ；5 ，12 ，13；7 ，24 ，25；9 ，40 ，41； … ，a ，b ，c 根据你发现的规律，请写出 (1)当时，则 ， ； (2)当时，求的值；（ 用字母 n 表示） (3)用（2）的结论判断 19 ，188 ，189 是否为一组勾股数，并说明理由． 【答案】(1)60,61 (2)， (3)不是一组勾股数，理由见详解 【分析】本题考查了勾股数，数字规律，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察题干的数据，发现，结合勾股数的定义进行列式化简，即可作答． （2）同理得，再结合以及勾股数的定义得， 得，，即可作答． （3）由（2）得，，，令，则， ，，即可作答． 【详解】（1）解：观察题干的数据，发现， ∵a ，b ，c是勾股数， 即， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：60,61． （2）解：观察题干的数据，发现， ∵a ，b ，c是勾股数， 即， ∵，， ∴， ∴， 故， （3）解：不是一组勾股数，理由如下： 由（2）得，，， 依题意，令，则， ， ， ∴19，188，189不是一组勾股数． 23．【问题背景】 如图1是著名的赵爽弦图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）与按如图2所示位置放置，连接，其中，请你利用图2推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）问中，若，，，，，设，求x的值． 【答案】（1）见解析；（2）少0.16千米；（3）6 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，理解题意是解答的关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米； （3）由，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 24．如图，在四边形 中，，， 平分 ． (1)求证： ； (2)E 是梯形内一点， F 是四边形外一点，且， ，判断 的形状，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，当 ，时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得， 然后求出， 再根据等角对等边证明即可； （2）利用“边角边”证明和全等， 根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再求出， 然后判断是等腰直角三角形； （3）根据比例设， ， 根据勾股定理求出，再求出，然后利用勾股定理列式求出，然后计算即可得解． 【详解】（1）证明： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：等腰直角三角形，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即是等腰直角三角形； （3）解：∵， ∴设，， 则， ， ， ， ． 25．如图1，在长方形纸片中，，，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)若连接，当点Q落在上时，的长为_____； (2)如图2，点M是的中点，连接．当点Q落在上时，求的长； (3)如图3，点M是的中点，连接，． ①的最小值为______； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)①；②或6或16 【分析】本题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、分类讨论等知识，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质是解题的关键． （1）由Q点在上，利用勾股定理先求出的长，再由折叠的性质得，进而即可求解； （2）如图，连，设，利用勾股定理可得方程，解方程即可得出答案； （3）①通过，可得出Q点的运动轨迹，是以A点为圆心，6为半径长度的圆弧，从而可知，的连线上的Q点为最短的长度；②分，两种情况讨论，即可得解． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 故答案为：4； （2）解：如图，连接，设， 由折叠的性质得：，，， ∴，， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：①∵， ∴Q点的运动轨迹，是以A为圆心，6为半径的圆弧， ∴的最小值在的连线上，如图，即为所求， ∵M是中点，， ∴，， 故答案为：； ②如图， 设，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，若点Q在上， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当点Q在上方时，如图，过点M作于N， ∵， ∴，， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或6或16． 2 学科网（北京）股份有限公司 $