精品解析：河南省郑州中学2025-2026学年八年级上学期数学第一次月考试卷

八年级学情调研一数学学科 （时间：100分钟；满分120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 勾股定理适用的条件是 （ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 任意三角形 2. 下列四个实数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 3. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的运算结果应在（　　） A. 5到6之间 B. 6到7之间 C. 7到8之间 D. 8到9之间 6. 已知有一个数值转换器，其流程如图所示，当输入x的值是时，输出y的值是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在下列三角形中，能从几何角度直接验证的图形是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，，，，点都在长方形KLMJ的边上，则长方形的面积为（ ） A. 121 B. 110 C. 100 D. 90 二、填空（每题3分，共15分） 11. __________． 12. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为 _________________ ． 13. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则______． 14. 如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为，小臂到地面的距离约，则适合小明的绳长为____． 15. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ 三、解答（共75分） 16. 计算： （1）． （2）． 17. 已知，，，请你用两种方法计算（结果精确到0.1），对比两种方法的计算过程，写出你的体会． 18. 如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的面积； （2）求的度数． 19. 如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点两点嵌有一圈长度最短的金属丝． （1）现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______； （2）求该金属丝的长． 20. 某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如下表． 项目背景 如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量． 测量实物图： 项目方案 测量过程 步骤一：如图2，线段表示旗杆高度，垂直地面于点N．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段．用皮尺测出的长度． 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮尺测出点A与点B之间的距离． 步骤三：用皮尺测量出小丽直立位置距旗杆底端的水平距离． 测量示意图 各项数据 测量项目 数据 绳子垂到地面多出的部分 小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 小丽身高 请根据表格所给信息，完成下列问题． （1）直接写出线段与之间的数量关系； （2）根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆的高． 21. 【定义新运算】对正实数a，b，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算： ； 【探究运算律】经过运算发现：运算“”满足交换律和结合律 【应用新运算】 （2）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，求的值． 22. 如图是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点A旋转，摆动臂可绕点D旋转，，． （1）在旋转过程中，当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，的长为 ； （2）若摆动臂顺时针旋转，点D的位置由外的点，转到其内的点处，即满足，，连接、、，如图，此时，，求的长． 23. 将边长分别为，，，，的正方形的面积记为，，, （1）计算：，， ； （2）把边长为的正方形的面积记作，其中是整数，从（）中计算结果，你能猜出等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由． （3）若将边长变为，， ，时，的值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级学情调研一数学学科 （时间：100分钟；满分120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 勾股定理适用的条件是 （ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 任意三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 由勾股定理可得答案． 【详解】解：勾股定理适用的条件是直角三角形． 故选：A． 2. 下列四个实数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比较实数大小，掌握比较实数大小的法则是解题的关键．根据比较实数大小的法则：正数大于0，0大于负数，比较即可求解． 【详解】解：负数小于0，0小于正数， ， ，且 又，且， ， 最大的是， 故选：A． 3. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，得到不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选：C． 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的问题，掌握最简二次根式的定义以及性质是解题的关键．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答． 【详解】解：A．是最简二次根式，故A符合题意； B．，则该选项不是最简二次根式，故B不符合题意； C．，则该选项不是最简二次根式，故C不符合题意； D．，则该选项不是最简二次根式，故D不符合题意． 故选：A． 5. 估计的运算结果应在（　　） A. 5到6之间 B. 6到7之间 C. 7到8之间 D. 8到9之间 【答案】C 【解析】 【分析】先根据实数的混合运算化简，再估算的值即可． 【详解】＝=． ∵3＜＜4， ∴7＜＜8 故的运算结果应在7和8之间． 故选：C． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 6. 已知有一个数值转换器，其流程如图所示，当输入x的值是时，输出y的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了立方根，无理数，先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的立方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可． 【详解】解：当输入是时，取立方根是，是有理数； 再把输入，的立方根是，是无理数， 所以输出是． 故选：B． 7. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根．根据算术平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项正确． C、，故本选项错误； D、，故本选项错误； 故选：B． 8. 在下列三角形中，能从几何角度直接验证的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查了勾股定理的逆定理和垂线段最短的性质，解题的关键是构造直角三角形并利用相关性质验证大小关系． 通过构造三边长为、、的直角三角形，利用勾股定理的逆定理证明其为直角三角形，再结合垂线段最短的性质验证． 【解答】解：如图，中，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵垂线段最短， ∴， ∴， 故A符合题意， 选项、、均无法通过几何角度直接验证， 故选：A． 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出面积，利用面积法求出边上的高即可． 【详解】解：在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，如图，为边上的高， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， 解得：， 故选：B． 10. 勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，，，，点都在长方形KLMJ的边上，则长方形的面积为（ ） A. 121 B. 110 C. 100 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．延长与相交于点，延长与相交于点，首先利用勾股定理解得的值，再证明，易得，进一步求得的值，即可获得答案． 【详解】解：如图，延长与相交于点，延长与相交于点， ∵，，， ∴， 根据题意，可知，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可得， 则有， 又∵， ∴， ∴长方形的面积． 故选：B． 二、填空（每题3分，共15分） 11. __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简．根据二次根式的性质解答即可． 【详解】解：． 故答案为： 12. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为 _________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用．连接，由勾股定理求出，即可得出的长． 【详解】解：如图，连接，则， 中，由勾股定理可得， ， 又∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则______． 【答案】86 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据正方形面积计算公式得到，，，，再由勾股定理推出，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接． 由题意，得，，，． 在中，由勾股定理得． 在中，由勾股定理得． ． ， 故答案为：． 14. 如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为，小臂到地面的距离约，则适合小明的绳长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．如图，过A作于D，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于D， ∵， ∴ ， 在中，， ∴， ∴绳长为； 故答案为：． 15. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ 【答案】3或 【解析】 【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形． 【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC， 在Rt△ABC中，AB=3，BC=4， ∴AC==5， ∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处， ∴EB=EB′，AB=AB′=3， ∴CB′=5-3=2， 设BE=x，则EB′=x，CE=4-x， 在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2， ∴x2+22=（4-x）2，解得， ∴BE=； ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形， ∴BE=AB=3． 综上所述，BE的长为或3． 故答案为：或3． 【点睛】此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质． 三、解答（共75分） 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． （1）先算乘法，对二次根式进行化简，再合并同类二次根式； （2）括号里面的每一项分别进行除法运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知，，，请你用两种方法计算（结果精确到0.1），对比两种方法的计算过程，写出你的体会． 【答案】 解：方法一：直接代入数值计算 已知，则（精确到0.1）． 方法二：先化简二次根式（有理化） 对进行有理化： 已知，则（精确到0.1）． 体会：两种方法都能准确求出结果．直接代入数值计算更直观，但涉及小数除法；先化简（有理化）再计算，利用已知的数值，计算更简便，体现了二次根式化简在运算中的便利性，能减少计算误差，提升运算效率． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的除法运算，解题的关键是掌握二次根式的除法法则或通过化简、有理化等方法计算． 分别通过直接代入数值计算和先化简二次根式再计算两种方法，求出的结果，再对比体会两种方法的优劣． 【详解】略 18. 如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的面积； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了网格图形，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，是解题的关键． （1）利用正方形的面积减去四个顶点上三角形及小正方形的面积即可； （2）连接，根据勾股定理与勾股定理的逆定理判断出为等腰直角三角形，进而可得出结论． 【小问1详解】 解：四边形的面积． 【小问2详解】 解：连接， ， ， ， ， ． 19. 如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点两点嵌有一圈长度最短的金属丝． （1）现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______； （2）求该金属丝的长． 【答案】（1）C （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． （1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求金属丝的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：因为圆柱的侧面展开图为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故答案为：C； 【小问2详解】 如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度， ∵圆柱底面的周长为， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，得， ∴该金属丝的长． 20. 某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如下表． 项目背景 如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量． 测量实物图： 项目方案 测量过程 步骤一：如图2，线段表示旗杆高度，垂直地面于点N．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段．用皮尺测出的长度． 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮尺测出点A与点B之间的距离． 步骤三：用皮尺测量出小丽直立位置距旗杆底端的水平距离． 测量示意图 各项数据 测量项目 数据 绳子垂到地面多出的部分 小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 小丽身高 请根据表格所给信息，完成下列问题． （1）直接写出线段与之间的数量关系； （2）根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆的高． 【答案】（1） （2）学校旗杆的高为． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据，结合题意即可获得答案； （2）先证明四边形是矩形，得到，，，设，则，在中，利用勾股定理解得的值，然后求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，可知， 则． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如下图， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，，， 设，则， 在中，可有 ， 即， 解得， ∴， ∴， 答：学校旗杆的高为． 21. 【定义新运算】对正实数a，b，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算： ； 【探究运算律】经过运算发现：运算“”满足交换律和结合律 【应用新运算】 （2）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算、完全平方公式变形求值、勾股定理、分式的混合运算等知识点，理解新运算法则是解题的关键． （1）先按照新定义化简，然后将代入求值即可； （2）由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，则，然后展开求出，再由完全平方公式变形得到，求出，最后按照新定义结合运算法则计算即可． 【详解】解：（1）， ∴当时，； （2）由题意得，， ∴， ∵，且，正方形的面积为26， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴． 22. 如图是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点A旋转，摆动臂可绕点D旋转，，． （1）在旋转过程中，当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，的长为 ； （2）若摆动臂顺时针旋转，点D的位置由外的点，转到其内的点处，即满足，，连接、、，如图，此时，，求的长． 【答案】（1）4或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是解本题的关键． （1）分两种情况，由勾股定理求解即可； （2）连接，由旋转的性质可得，，由勾股定理可求的长，然后证明，可得，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：当为斜边时，在中，根据勾股定理，得， 即，， ∴， 当为斜边时，在中，根据勾股定理，得， 即，， ∴， ∴的长为4或， 故答案为：4或； 【小问2详解】 解：连接，如图： 由题意可得：，，，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，根据勾股定理，得， 即，， ∴， 在中，根据勾股定理，得， 即，， ∴， ∴； 23. 将边长分别为，，，，的正方形的面积记为，，, （1）计算：，， ； （2）把边长为的正方形的面积记作，其中是整数，从（）中计算结果，你能猜出等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由． （3）若将边长变为，， ，时，的值是多少？ 【答案】（1），，； （2） ，理由如下： ， ， ， ， ； （3）． 【解析】 【分析】（）根据正方形的面积公式列式计算即可求解； （）根据正方形的面积公式列出算式，利用完全平方公式化简即可求证； （）根据正方形的面积公式列出算式，利用完全平方公式化简即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握完全平方公式的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：； ； ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $