6.2.2 直线上向量的坐标及其运算-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦直线上向量的坐标定义、运算及应用，从共线向量基本定理引入，以单位向量为基础定义坐标，通过平移始点至原点建立数轴与坐标的联系，逐步展开向量运算规则及距离、中点公式，构建递进式知识支架。 其特色是融合数学抽象、数学运算与直观想象素养，通过实例解析坐标求法、运算关系，搭配跟踪训练和分层达标练习。如例1结合单位向量表示求坐标，跟踪训练借助图形强化理解，助力学生夯实基础提升运算能力，教师可直接利用结构化内容高效开展教学。

第六章　平面向量初步 6.2　向量基本定理与 向量的坐标 6.2.2　直线上向量的坐标及其运算 (教师独具内容) 课程标准：1．理解直线上向量的坐标的定义．2．会进行直线上向量的坐标运算． 教学重点：1．掌握求直线上向量的坐标的方法．2．熟练进行直线上向量的坐标运算．3．掌握数轴上两点之间的距离公式及数轴上的中点坐标公式． 教学难点：直线上向量坐标的应用． 核心素养：1．通过学习直线上向量的坐标的定义培养数学抽象素养和直观想象素养．2．通过学习直线上向量的运算与坐标的关系提升数学运算素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　直线上向量的坐标 (1)定义：给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得________，此时，x称为向量a的________. (2)向量的模和方向与x的关系 |a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|(e为单位向量)． 当x>0时，a的方向与e的方向_______； 当x＝0时，a是________； a＝xe 坐标 相同 零向量 核心概念掌握 5 当x<0时，a的方向与e的方向______． 在直线上给定了单位向量，则直线上的向量完全被其坐标确定． (3)直线上向量的坐标：在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴，对于l上的任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么a的终点对应的数就是向量a的坐标． 相反 核心概念掌握 6 法则(或公式) 文字语言 符号语言 直线上两个向量相等的法则 直线上两个向量相等的充要条件是_____ ____________ 设a＝x1e，b＝x2e，则a＝b ⇔____________ 直线上求两个向量和的坐标的法则 直线上两个向量和的坐标等于两个向量的__________ 设a＝x1e，b＝x2e，则a＋b＝___________ 直线上向量的坐标公式 直线上向量的坐标等于______________ __________________ 向量的坐标为________ (A的坐标为x1，B的坐标为x2) 知识点一　直线上向量的运算与坐标的关系 (1) x1＝x2 它们 的坐标相等 坐标的和 向量终点的坐 标减去始点的坐标 (x1＋x2)e x2－x1 核心概念掌握 7 |x2－x1| 核心概念掌握 8 1．(数轴上两点之间的距离公式)若数轴上A，B两点的坐标分别为2，5，则A，B两点的距离为(　　) A．7 B．3 C．10 D．－3 2．(直线上向量的运算)直线上向量a的坐标为－4，b的坐标为3，则a＋b的坐标为______． －1 －5 5 核心概念掌握 9 核心素养形成 题型一　直线上向量的坐标 核心素养形成 11 感悟提升　求直线上向量坐标的两种方法 (1)将向量用单位向量表示出来． (2)将向量始点平移到原点，读出终点的坐标． 核心素养形成 12 [跟踪训练]　 1．如图，求出直线上a，b的坐标． 解：设e是直线上与b同向的一个单位向量，将向量a的始点平移到原点O，则a＝－2e，可知a的坐标为－2． 将向量b的始点平移到原点O，则b＝2e，所以b的坐标为2． 核心素养形成 13 题型二　直线上向量的运算与坐标的关系 核心素养形成 14 核心素养形成 15 核心素养形成 16 感悟提升　直线上向量坐标运算的方法 (1)在直线上，若a，b的坐标分别为x1，x2，则ua＋vb，ua－vb的坐标分别为ux1＋vx2，ux1－vx2． 核心素养形成 17 核心素养形成 18 解：①因为x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8． ②因为AB＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3． ③因为＝2，所以x1＝7． 核心素养形成 19 随堂水平达标 1．已知e是直线l上的一个单位向量，a＝4e，b＝－2e，则a＋b的坐标为(　　) A．1 B．2 C．－2 D．4 解析：因为a＝4e，b＝－2e，所以a＋b＝4e－2e＝2e，故a＋b的坐标为2．故选B． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 21 随堂水平达标 1 2 3 4 5 22 3．(多选)已知直线上向量a的坐标为3，b的坐标为－2，则下列结论正确的是(　　) A．a＋2b的坐标为－1 B．2a－3b的坐标为－12 C．|a＋2b|＝1 D．|2a－3b|＝12 解析：因为向量a的坐标为3，b的坐标为－2，所以a＋2b的坐标为3＋2×(－2)＝－1，2a－3b的坐标为2×3－3×(－2)＝12．故|a＋2b|＝1，|2a－3b|＝12．故选ACD． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 23 －4或10 随堂水平达标 1 2 3 4 5 24 －7 7 －3 随堂水平达标 1 2 3 4 5 25 课后课时精练 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 直线上向量的坐标 数轴上两点之间的距离公式 直线上向量的坐标运算 直线上向量的坐标运算和模运算 直线上向量的运算和坐标的关系 直线上向量的坐标；向量的运算与坐标的关系 由直线上向量的运算求参数 数轴上的中点坐标公式 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 直线上向量的坐标运算；数轴上两点之间的距离公式 直线上向量的模和方向 直线上向量的坐标运算 数轴上向量的坐标运算和模运算 数轴上向量的坐标运算;数轴上两点之间的距离公式 求数轴上点的坐标;数轴上的中点坐标公式 方程组法求直线上向量的坐标 求数轴上 点的坐标;和向量模的不等式 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 一、单选题 1．已知a是直线l上的任一向量，e是直线l上的一个单位向量，x为实数，且 a＝xe．则下列说法正确的个数为(　　) ①存在无数个x，使得a＝xe； ②|a|＝|x|； ③a的方向与e的方向始终相同，与x的正负无关； ④当x＝0时，a是零向量． A．1 B．2 C．3 D．4 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 解析：存在唯一的实数x，使得a＝xe，①错误；当x>0时，a的方向与e的方向相同．当x<0时，a的方向与e的方向相反，③错误；当x＝0时，a＝0，|a|＝0，当x≠0时，|a|＝|x|，②④正确．故选B． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 4．直线上向量a，b的坐标分别为－3，5，则向量3a－2b的坐标和模分别是(　　) A．－19，19 B．21，21 C．－19，5 D．1，1 解析：由题意可知，向量3a－2b的坐标为3×(－3)－2×5＝－19，向量3a－2b的模为|－19|＝19．故选A． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 三、填空题 8．设数轴上两点A，B的坐标分别是2，6，则AB的中点C的坐标是_____． 4 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 答案 解析 －10 10 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 西北方向 8 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 15．已知a，b，c是直线l上的向量，向量4a－3b，3a＋c的坐标分别为1，－3，且|a＋c|＝1，求a，b，c的坐标． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 　　　　　　　　　　　　　 R (2)数轴上两点之间的距离公式：AB＝|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝_________，其中点A的坐标为x1，点B的坐标为x2． (3)数轴上的中点坐标公式：若M(x)是线段AB的中点，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则x＝_________． eq \f(x1＋x2,2) 3．(直线上向量的运算与坐标的关系)已知数轴上A，B两点的坐标分别为3， －2，则eq \o(AB,\s\up12(→))的坐标为________，长度为________，AB的中点坐标为________． eq \f(1,2) 已知e是直线l上的一个单位向量，向量a与b都是直线l上的向量，分别在下列条件下写出a与b的坐标． (1)a＝eq \f(5,2)e，b＝－3e；(2)a＝－2e，b＝eq \f(3,4)e． 解　(1)因为a＝eq \f(5,2)e，所以a的坐标为eq \f(5,2)， 因为b＝－3e，所以b的坐标为－3． (2)因为a＝－2e，所以a的坐标为－2， 因为b＝eq \f(3,4)e，所以b的坐标为eq \f(3,4)． (1)已知直线上向量a的坐标为－3，b的坐标为6，求a－b及2a＋eq \f(1,3)b的坐标． 解 a－b的坐标为－3－6＝－9． 2a＋eq \f(1,3)b的坐标为2×(－3)＋eq \f(1,3)×6＝－4． (2)已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是－4，－2，c，d． ①若向量eq \o(AC,\s\up12(→))的坐标为5，求c的值； ②若BD＝6，求d的值； ③若eq \o(AC,\s\up12(→))＝－3eq \o(AD,\s\up12(→))，求证：3eq \o(CD,\s\up12(→))＝－4eq \o(AC,\s\up12(→))． 解 ①∵向量eq \o(AC,\s\up12(→))的坐标为5，∴c－(－4)＝5，∴c＝1． ②∵BD＝6，∴|d－(－2)|＝6，即d＋2＝6或d＋2＝－6，∴d＝4或d＝－8． ③证法一：∵向量eq \o(AC,\s\up12(→))的坐标为c＋4，向量eq \o(AD,\s\up12(→))的坐标为d＋4， 又eq \o(AC,\s\up12(→))＝－3eq \o(AD,\s\up12(→))，∴c＋4＝－3(d＋4)，即c＝－3d－16． 这时3eq \o(CD,\s\up12(→))的坐标为3(d－c)＝3d－3c＝3d－3(－3d－16)＝12d＋48， －4eq \o(AC,\s\up12(→))的坐标为－4[c－(－4)]＝－4c－16＝－4(－3d－16)－16＝12d＋48， ∴3eq \o(CD,\s\up12(→))＝－4eq \o(AC,\s\up12(→))． 证法二：∵eq \o(CD,\s\up12(→))＝eq \o(CA,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＝－eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))，而eq \o(AC,\s\up12(→))＝－3eq \o(AD,\s\up12(→))， ∴eq \o(CD,\s\up12(→))＝－(－3eq \o(AD,\s\up12(→)))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＝4eq \o(AD,\s\up12(→))，∴3eq \o(CD,\s\up12(→))＝12eq \o(AD,\s\up12(→))， 又－4eq \o(AC,\s\up12(→))＝－4×(－3eq \o(AD,\s\up12(→)))＝12eq \o(AD,\s\up12(→))， 故3eq \o(CD,\s\up12(→))＝－4eq \o(AC,\s\up12(→))． [跟踪训练2]　 2．(1)已知e是直线l上的单位向量，a与b都是直线l上的向量，且a＝eq \f(2,5)e， b＝4e，求5a－2b的坐标及eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,5)b))． 解： 5a－2b的坐标为5×eq \f(2,5)－2×4＝－6． a＋eq \f(1,5)b的坐标为eq \f(2,5)＋eq \f(1,5)×4＝eq \f(6,5)， 故eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,5)b))＝eq \f(6,5)． (2)已知数轴上A，B两点的坐标分别为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1． ①x2＝－5，向量eq \o(BA,\s\up12(→))的坐标为－3； ②x2＝－1，AB＝2； ③x2＝－3，AB的中点坐标为2． 2．已知数轴上点A的坐标为－5，向量eq \o(AB,\s\up12(→))的坐标为－7，则点B的坐标是(　　) A．－2 B．2 C．12 D．－12 解析：∵xA＝－5，向量eq \o(AB,\s\up12(→))的坐标为－7，∴xB－xA＝－7，∴xB＝－12．故选D． 4．已知数轴上A，B两点的坐标分别为x1，x2，若x2＝3且|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝7，则x1＝________． 解析：|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝|3－x1|＝7，解得x1＝10或x1＝－4． 解析：数轴上A，B两点的坐标依次为x1＝－2，x2＝5，则eq \o(BA,\s\up12(→))对应的坐标为x1－x2＝－2－5＝－7，|AB|＝|x2－x1|＝|5－(－2)|＝7．设点P对应的坐标是x，因为eq \o(BP,\s\up12(→))对应的坐标为x－x2＝x－5＝－8，所以x＝－3，即点P对应的坐标是－3． 5．已知数轴上A，B两点的坐标依次为x1＝－2，x2＝5，则eq \o(BA,\s\up12(→))对应的坐标为________，|AB|＝________，若点P也在该数轴上，且eq \o(BP,\s\up12(→))对应的坐标为－8，则点P对应的坐标是________． 2．数轴上点A，B的坐标分别为－1，2，则向量eq \o(AB,\s\up12(→))的长度是(　　) A．－1 B．2 C．1 D．3 解析：由已知，得向量eq \o(AB,\s\up12(→))的坐标为2－(－1)＝3，则|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝3． 3．直线上向量a，b，c的坐标分别为3，－2，5，则向量eq \f(1,3)a－eq \f(1,2)b＋c的坐标为(　　) A．3 B．5 C．7 D．9 解析：因为向量a，b，c的坐标分别为3，－2，5，则向量eq \f(1,3)a－eq \f(1,2)b＋c的坐标为eq \f(1,3)×3－eq \f(1,2)×(－2)＋5＝7．故选C． 5．已知e是直线l上的单位向量，a，b是直线l上的向量，a＝eq \f(1,5)e，b＝－2e，则|5a＋2b|＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：∵5a＋2b＝5×eq \f(1,5)e＋2×(－2e)＝e－4e＝－3e，∴|5a＋2b|＝|－3e|＝3．故选D． 二、多选题 6．已知e是直线l上的一个单位向量，a与b都是直线l上的向量，且a＝eq \f(1,4)e，b＝－eq \f(2,3)e，则(　　) A．b的坐标为eq \f(2,3) B．a＋b的坐标为－eq \f(5,12) C．4a＋6b的坐标为－3 D．|4a＋6b|＝－3 解析：根据题意可得a的坐标为eq \f(1,4)，b的坐标为－eq \f(2,3)，故A错误；a＋b的坐标为eq \f(1,4)－eq \f(2,3)＝－eq \f(5,12)，故B正确；4a＋6b的坐标为4×eq \f(1,4)＋6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－3，故C正确；|4a＋6b|＝3，故D错误．故选BC． 7．如图，P1，P2，P是直线l上不同的三点，P2在线段P1P上，P2不与P1和P重合，且eq \o(P1P,\s\up12(→))＝λeq \o(PP2,\s\up12(→))，则实数λ的取值可以是(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．－eq \f(1,3) 解析：∵eq \o(P1P,\s\up12(→))与eq \o(PP2,\s\up12(→))的方向相反，∴λ<0．又eq \o(P1P,\s\up12(→))＝λeq \o(PP2,\s\up12(→))，∴|eq \o(P1P,\s\up12(→))|＝|λ||eq \o(PP2,\s\up12(→))|， ∴λ＝－eq \f(|\o(P1P,\s\up12(→))|,|\o(PP2,\s\up12(→))|)，由题图可知，|eq \o(P1P,\s\up12(→))|>|eq \o(PP2,\s\up12(→))|，∴λ<－1．故选AB． 解析：∵xA＝2，xB＝6，∴AB的中点C的坐标为xC＝eq \f(xA＋xB,2)＝eq \f(2＋6,2)＝4． 9．数轴上三点A，B，C的坐标分别为1，－1，－5，则向量eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))的坐标为________，AC＋BC＝________． 解析：向量eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))的坐标为－6＋(－4)＝－10，AC＋BC＝6＋4＝10． 10．已知向量eq \o(AB,\s\up12(→))的方向是东南方向，且|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝4，则向量－2eq \o(AB,\s\up12(→))的方向是____________，|－2eq \o(BA,\s\up12(→))|＝______． 解析：由已知eq \o(AB,\s\up12(→))的方向是东南方向，且|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝4，故－2eq \o(AB,\s\up12(→))的方向是西北方向，且|－2eq \o(BA,\s\up12(→))|＝|－2||eq \o(AB,\s\up12(→))|＝2×4＝8． 四、解答题 11．已知直线上向量a的坐标为3，b的坐标为－4，c的坐标为eq \f(1,2)．求下列向量的坐标： (1)a－b；(2)－eq \f(1,6)a；(3)a＋b＋c；(4)4a＋3b＋6c． 解：(1)a－b的坐标为3－(－4)＝7． (2)－eq \f(1,6)a的坐标为－eq \f(1,6)×3＝－eq \f(1,2)． (3)a＋b＋c的坐标为3＋(－4)＋eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)． (4)4a＋3b＋6c的坐标为4×3＋3×(－4)＋6×eq \f(1,2)＝3． 12．在数轴x上，点A，B的坐标分别为a，b，eq \o(AC,\s\up12(→))的坐标为a－2． (1)求eq \o(BC,\s\up12(→))的坐标； (2)若b＝5，求|2eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(BC,\s\up12(→))|． 解：(1)∵eq \o(AC,\s\up12(→))的坐标为xC－xA，∴xC＝xA＋(a－2)＝a＋(a－2)＝2a－2， ∴eq \o(BC,\s\up12(→))的坐标为xC－xB＝(2a－2)－b＝2a－b－2． (2)∵eq \o(AC,\s\up12(→))的坐标为a－2，eq \o(BC,\s\up12(→))的坐标为2a－b－2， ∴2eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(BC,\s\up12(→))的坐标为2(a－2)－(2a－b－2)＝b－2． 又b＝5，故|2eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(BC,\s\up12(→))|＝|b－2|＝3． 13.知点M，M1，M2是数轴上的三点，M1，M2的坐标分别为－1，4，且eq \o(M1M,\s\up12(→))＝ －2eq \o(MM2,\s\up12(→))，则M与M2之间的距离为(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 解析：设点M的坐标为x，则eq \o(M1M,\s\up12(→))的坐标为x－(－1)＝x＋1，eq \o(MM2,\s\up12(→))的坐标为 4－x，故x＋1＝－2(4－x)，解得x＝9，故M与M2之间的距离为MM2＝|4－9|＝5．故选C． 14．已知A，B都是数轴上的点，A(3)，B(－2)，且eq \o(OP,\s\up12(→))＝3eq \o(OA,\s\up12(→))＋4eq \o(OB,\s\up12(→))，则线段AP的中点坐标为________． 解析：∵eq \o(OP,\s\up12(→))＝3eq \o(OA,\s\up12(→))＋4eq \o(OB,\s\up12(→))，∴点P的坐标为3×3＋4×(－2)＝1，∴线段AP的中点坐标为eq \f(3＋1,2)＝2． 解：设a，b，c的坐标分别是x，y，z． 因为向量4a－3b，3a＋c的坐标分别为1，－3， 且|a＋c|＝1， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－3y＝1，,3x＋z＝－3，,|x＋z|＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－3，,z＝3))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(5,3)，,z＝0.)) 所以a，b，c的坐标分别是－2，－3，3或－1，－eq \f(5,3)，0． 16．已知数轴上的点A(－2)，B(x)，C(3)． (1)若点A是线段BC的一个三等分点，求x的值； (2)求|eq \o(AB,\s\up12(→))|＋|eq \o(BC,\s\up12(→))|的最小值． 解：(1)因为点A是线段BC的一个三等分点， 所以eq \o(BC,\s\up12(→))＝3eq \o(AC,\s\up12(→))或eq \o(BC,\s\up12(→))＝eq \f(3,2) eq \o(AC,\s\up12(→))． 因为A(－2)，B(x)，C(3)，所以3－x＝3×[3－(－2)]或3－x＝eq \f(3,2)×[3－(－2)]， 所以x＝－12或x＝－eq \f(9,2)． (2)因为|eq \o(AB,\s\up12(→))|＋|eq \o(BC,\s\up12(→))|≥|eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))|＝|eq \o(AC,\s\up12(→))|＝5，当且仅当eq \o(AB,\s\up12(→))与eq \o(BC,\s\up12(→))同向时取等号，所以当x∈[－2，3]时，|eq \o(AB,\s\up12(→))|＋|eq \o(BC,\s\up12(→))|取得最小值5． $