第6章 6.2.2 直线上向量的坐标及其运算（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦直线上向量的坐标表示、运算及数轴上两点间距离与中点坐标，通过“是否有代数方法表示向量”的问题导入，承接之前几何表示，搭建从几何到代数的学习支架，引导学生理解坐标含义。 其亮点在于问题驱动与递进式教学，通过抽象向量坐标（数学眼光）、推理运算规则（数学思维）、符号语言表达公式（数学语言）。如例1结合数轴情境直观解析坐标，跟踪训练强化应用，小结清单化知识。助学生提升抽象与运算能力，方便教师系统教学。

6.2.2 直线上向量的坐标及其运算 第六章　§6.2　向量基本定理与向量的坐标 <<< 1.理解直线上向量坐标的含义及运算. 2.能运用直线上向量的坐标公式进行相关的计算. 学习目标 之前我们所学的向量都是从几何的角度来进行表示的，那么是否有代数的方法可以对向量进行表示？这节课就让我们来看看向量和坐标相结合会产生什么奇妙的反应！ 导 语 一、直线上向量的坐标 二、直线上向量的运算与坐标的关系 课时对点练 三、数轴上两点间的距离、中点坐标 随堂演练 内容索引 直线上向量的坐标 一 我们已经学过了数轴上点的坐标，如图，已知A(-1)，B(2). 问题1 提示　给定一条直线AB以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线AB上的向量，一定存在唯一的实数x，使得=xe，向量的坐标就可以用x表示. 对应的向量用坐标如何表示呢？ 1.向量a的坐标：给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在 的实数x，使得 ，此时，x称为向量a的坐标. 唯一 a=xe 知识梳理 2.直线上向量坐标的直观理解 名称 定义 数轴 在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴 向量a 的坐标 对于l上的任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么a的终点对应的数就是向量a的坐标 知识梳理 (1)x既能刻画a的模，也能刻画向量a的方向. (2)|a|=|xe|=|x||e|=|x|. ①当x>0时，a的方向与e的方向相同； ②当x=0时，a是零向量； ③当x<0时，a的方向与e的方向相反. 特别地，零向量的坐标是0. (3)向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同，当且仅当向量的始点是原点时，向量的坐标和这个向量的终点坐标才相同. 注 意 点 <<< 9 　 (课本例1)如图所示，求出直线上向量a，b的坐标. 例 1 因为a的始点在原点，所以由a的终点坐标可知a的坐标为2. 因为b=-3e，所以b的坐标为-3. 解 10 　已知e是直线l上的一个单位向量，向量a与b都是直线l上的向量，分别在下列条件下写出a与b的坐标： a=3e，b=-4e. 例 1 在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴，对于l上的任意一个向量a，b，把它们的始点平移到原点O，如图，因为a=3e，所以a的终点对应3，a的坐标为3；因为b=-4e，所以b的终点对应-4，b的坐标为-4. 解 11 直线上向量的坐标的求法 (1)将向量用单位向量表示出来. (2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标. (3)已知两点求向量的坐标时，用终点坐标减去起点坐标. 反 思 感 悟 12 　 (1)若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a=-e，则 A.向量a的坐标为 B.向量a的坐标为e C.向量a的坐标为- D.向量a的坐标为-e 跟踪训练 1 √ 根据直线上向量坐标的定义知，向量a的坐标为-. 解析 13 (2)如图所示，直线上向量a，b的坐标分别为 A.-2，4 B.2，4 C.4，-2 D.-4，-2 √ 向量a的始点在原点，则a的坐标为4，把向量b的始点平移到原点，则b的坐标为-2. 解析 14 二 直线上向量的运算与坐标的关系 提示　设直线上两个向量分别为a=x1e，b=x2e，则a+b=x1e+x2e=(x1+x2)e. 你能表示出直线上两个向量和的坐标吗？ 问题2 直线上向量的坐标运算 法则(或公式) 文字语言 符号语言 直线上两个向量相等 直线上两个向量相等的充要条件是它们的_________ 设a=x1e，b=x2e， 则a=b⇔x1=x2 直线上两个向量和的坐标 直线上两个向量和的坐标等于两个向量的_________ 设a=x1e，b=x2e， 则a+b=(x1+x2)e 坐标相等 坐标的和 知识梳理 (课本例2)已知直线上向量a的坐标为-2，b的坐标为5，求下列向量的坐标： (1)a+b； 例 2 a+b的坐标为-2+5=3. 解 18 (2)b； b的坐标为×5=1. 解 (3)-2a-3b. -2a-3b的坐标为(-2)×(-2)-3×5=-11. 解 19 直线上向量a的坐标为5，b的坐标为-，求下列向量的坐标： (1)-3b； 例 2 -3b的坐标为(-3)×=1. 解 (2)a-b； a-b的坐标为5-=. 解 20 (3)2a+3b； 2a+3b的坐标为2×5+3×=9. 解 (4)-a-6b. -a-6b的坐标为-5-6×=-3. 解 21 向量的坐标运算可完全类比实数的运算进行. 反 思 感 悟 22 已知直线上的向量a与向量b，向量a的坐标为-10，向量2a-3b的坐标为4，求： (1)向量b的坐标； 跟踪训练 2 设直线上向量b的坐标为x， 由题意可得2×(-10)-3x=4， 解得x=-8，即向量b的坐标为-8. 解 23 (2)a+2b的坐标. a+2b=-10+2×(-8)=-26， 所以a+2b的坐标为-26. 解 24 数轴上两点间的距离、中点坐标 三 提示　AB=||=|x2-x1|，x=. 设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，O为坐标原点，A与B两点间的距离如何表示？AB的中点如何表示？ 问题3 数轴上两点之间的距离公式 设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，AB=||=|x2-x1| 数轴上的中点坐标公式 设A(x1)，B(x2)，M(x)是线段AB的中点，则x= 知识梳理 (课本例3)设数轴上两点A，B的坐标分别为3，-7，求： (1)向量的坐标，以及A与B的距离； 例 3 由题意得的坐标为3，的坐标为-7，又因为=-， 所以的坐标为-7-3=-10， 而且AB=||=|-10|=10. 解 28 (2)线段AB中点的坐标. 设线段AB中点的坐标为x， 则x==-2. 解 29 已知数轴上A，B两点的坐标分别为x1，x2，点C是线段AB的中点，求下列条件下，，的坐标及A，B两点间的距离. (1)x1=2，x2=-5.3； 例 3 30 ∵x1=2，x2=-5.3， ∴的坐标为-5.3-2=-7.3， 的坐标为2-(-5.3)=7.3， 由A，B两点的坐标分别为2，-5.3， 得点C的坐标为=-1.65， 故的坐标为-1.65-2=-3.65， A，B两点间的距离为 |x2-x1|=|-5.3-2|=7.3. 解 31 (2)x1=10，x2=20.5. ∵x1=10，x2=20.5， ∴的坐标为20.5-10=10.5， 的坐标为10-20.5=-10.5， 由A，B两点的坐标分别为10，20.5， 得点C的坐标为=15.25， 故的坐标为15.25-10=5.25， A，B两点间的距离为|x2-x1|=|20.5-10|=10.5. 解 32 求数轴上两点间距离的方法：要先求数轴上向量的坐标，再根据距离公式求解. 反 思 感 悟 33 已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是-4，-1，6，10.分别求A与B，B与C，B与D之间的距离. 跟踪训练3 由题得||=|-1-(-4)|=3，||=|-1-6|=7，||=|10-(-1)|=11. 解 34 1.知识清单： (1)直线上向量的坐标表示. (2)直线上向量的坐标运算. (3)数轴上两点间的距离、中点坐标. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：混淆向量的起点和终点，导致求解向量坐标出错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知直线上向量a，b的坐标分别为-2，2，则向量a+b的坐标为 A.1 B.-1 C.0 D.4 因为向量a，b的坐标分别为-2，2，所以向量a+b的坐标为-2+2×=-1. 解析 √ 1 2 3 4 2.已知数轴上两点A，B的坐标分别为-5，4，则A与B的距离为 A.1 B.-1 C.9 D.-9 AB=||=|4-(-5)|=9. 解析 √ 1 2 3 4 3.已知e是直线l上的一个单位向量，则直线l上的向量-e，e的坐标分别是　　　　.  由直线上向量的坐标的定义知，-e，e的坐标分别是-，. 解析 -， 1 2 3 4 4.设数轴上A，B的坐标分别是2，6，则AB的中点C的坐标是　　　　.  因为xA=2，xB=6.所以AB的中点C的坐标为xC===4. 解析 4 课时对点练 五 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D BCD B CD CD 6 -10　10 题号 11 12 13 14 15 答案 B BD 4 11 对一对 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由A，B的坐标分别为4，-6， 得的坐标为-6-4=-10， A与B的距离AB=||=10. (2)由A，B的坐标分别为4，-6且D为AB的中点，得点D的坐标为=-1. (3)当点C在点A的左侧时，4-x=8，x=-4； 当点C在点A的右侧时，x-4=8，x=12. 故x的值为-4或12. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)∵的坐标为10，∴xC-xA=10. ∴xC=xA+10=8. (2)∵||=10，∴=10或=-10， 当=10时，xC-xA=10，xC=xA+10=8； 当=-10时，xC-xA=-10， xC=xA-10=-12. ∴点C的坐标为8或-12. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)∵||=3||，∴=3或=-3. 当=3时，xC-xA=3(xC-xB). ∴xC=(3xB-xA)=10； 当=-3时，xC-xA=-3(xC-xB)， ∴xC=(3xB+xA)=4. ∴点C的坐标为10或4. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)解　∵的坐标为5，∴c-(-4)=5，∴c=1. (2)解　∵||=6，∴|d-(-2)|=6， 即d+2=6或d+2=-6，∴d=4或d=-8. (3)证明　∵的坐标为c+4，的坐标为d+4， 又=-3， ∴c+4=-3(d+4)，即c=-3d-16. 3的坐标为3(d-c)=3d-3c 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =3d-3(-3d-16)=12d+48， -4的坐标为-4c-16=-4(-3d-16)-16 =12d+48， ∴3=-4. 基础巩固 1.如图所示，点O，A，B，C，D均在直线l上，向量为单位向量，则向量，的坐标分别是  A.3，2 B.2，4 C.4，-2 D.2，-4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得=4-2=2，=-2-2=-4. 解析 √ 2.已知数轴上两点M，N，且||=4.若xM=-3，则xN等于 A.1 B.2 C.-7 D.1或-7 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ||=|xN-(-3)|=4， ∴xN-(-3)=±4，即xN=1或xN=-7. 解析 3.(多选)数轴上三点A，B，C的坐标分别为-1，2，5，则 A.AB=-3 B.BC=3 C.的坐标为6 D.的坐标为3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 4.已知直线上向量a，b的坐标分别为-1，3，则下列向量与a同向的是 A.a+b B.a-b C.a+2b D.3b 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意，a+b的坐标为2，a+2b的坐标为5，3b的坐标为9，都与a反向，a-b的坐标为-4，与a同向. 解析 5.(多选)数轴上点A和点B的坐标分别为-1和3，若P是数轴上一点，且||+||=6，则点P的坐标为 A.-3 B.5 C.-2 D.4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵||=|3-(-1)|=4，||+||=6，设点P的坐标为xP，当点P在点A的左边时，-1-xP+3-xP=6，得xP=-2；当点P在点B的右边时，xP-3+xP-(-1)=6，得xP=4，综上所述，点P的坐标为-2或4. 解析 √ √ 6.(多选)已知数轴上点A的坐标为2，||=6，C是AB的中点，则向量的坐标为 A.-4 B.8 C.-3 D.3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵数轴上点A的坐标为2，且||=6，则点B的坐标为-4或8.而C是AB的中点，则点C的坐标为或，即-1或5，故的坐标为-3或3. 解析 √ √ 7.在数轴x上，已知=-3e(e为x轴上的单位向量)，且点B的坐标为3，则向量的坐标为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 由=-3e，得点A的坐标为-3，则的坐标为3-(-3)=6. 解析 8.数轴上三点A，B，C的坐标分别为1，-1，-5，则+的坐标为 　　　　，||+||=　　　　.  +的坐标为-6+(-4)=-10， ||+||=6+4=10. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -10 9.数轴上点A，B，C的坐标分别为4，-6，x，线段AB的中点为D. (1)求向量的坐标及A与B的距离； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由A，B的坐标分别为4，-6， 得的坐标为-6-4=-10， A与B的距离AB=||=10. 解 (2)求点D的坐标； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由A，B的坐标分别为4，-6且D为AB的中点，得点D的坐标为=-1. 解 (3)若||=8，求x的值. 当点C在点A的左侧时，4-x=8，x=-4； 当点C在点A的右侧时，x-4=8，x=12. 故x的值为-4或12. 解 10.已知A，B，C为数轴上三点，且xA=-2，xB=6.试求符合下列条件的点C的坐标. (1)的坐标为10； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵的坐标为10，∴xC-xA=10. ∴xC=xA+10=8. 解 (2)||=10； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵||=10，∴=10或=-10， 当=10时，xC-xA=10，xC=xA+10=8； 当=-10时，xC-xA=-10， xC=xA-10=-12. ∴点C的坐标为8或-12. 解 (3)||=3||. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵||=3||，∴=3或=-3. 当=3时，xC-xA=3(xC-xB). ∴xC=(3xB-xA)=10； 当=-3时，xC-xA=-3(xC-xB)， ∴xC=(3xB+xA)=4. ∴点C的坐标为10或4. 解 11.已知e是直线l上的一个单位向量，向量a与b都是直线l上的向量，且a=2e，b=-5e，则|2a-b|为 A.4 B.9 C.-7 D.1或-7 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2a-b的坐标为2×2-(-5)=9， 所以|2a-b|=9. 解析 12.(多选)若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a=-e，b=e，则下列说法正确的是 A.a=-b B.b=-a C.a+b的坐标为0 D.|a||b|=1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a=-e，b=e，所以|a|=，|b|=；|a||b|=×=1，b=-×=-a， a+b=e=-e，a+b的坐标为-. 解析 13.若e是直线l上的一个单位向量，向量a=2e，b=-2e是这条直线上的向量，则|a|+|b|=　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a=2e，b=-2e， 所以|a|+|b|=2+2=4. 解析 4 14.已知M，P，N三点在数轴上，且点P的坐标是5，的坐标为2，的坐标为8，则点N的坐标为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点M，N的坐标分别为x1，x2， ∵点P的坐标是5，的坐标为2，的坐标为8， ∴解得 故点N的坐标为11. 解析 15.如图，点A，B为数轴上的两点，O为原点，A，B两点的坐标分别为m，2m+1，B，O两点间的距离等于A，B两点间的距离，则|2+|=　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，0-(2m+1)=2m+1-m， 得m=-，故点A的坐标为-， 点B的坐标为-×2+1=-， 的坐标为--=， 故2+的坐标为2×-=， 故|2+|=. 解析 16.已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是-4，-2，c，d. (1)若的坐标为5，求c的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵的坐标为5，∴c-(-4)=5，∴c=1. 解 (2)若||=6，求d的值； ∵||=6，∴|d-(-2)|=6， 即d+2=6或d+2=-6，∴d=4或d=-8. 解 (3)若=-3，求证：3=-4. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵的坐标为c+4，的坐标为d+4， 又=-3， ∴c+4=-3(d+4)，即c=-3d-16. 3的坐标为3(d-c)=3d-3c =3d-3(-3d-16)=12d+48， -4的坐标为-4c-16=-4(-3d-16)-16 =12d+48， ∴3=-4. 证明 第六章　§6.2　向量基本定理与向量的坐标 <<< $