3.1.3 第1课时 函数的奇偶性-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（人教B版）

第三章　函数 3.1　函数的概念与性质 3.1.3　函数的奇偶性 第1课时　函数的奇偶性 (教师独具内容) 课程标准：结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． 教学重点：1.函数奇偶性的概念.2.判断函数奇偶性的方法． 教学难点：函数奇偶性的判断． 核心素养：1.通过学习函数奇偶性的概念及其图象特征培养数学抽象素养和直观想象素养.2.通过判断函数的奇偶性培养逻辑推理素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　函数奇偶性的概念 (1)偶函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有_________，且_____________，则称y＝f(x)为偶函数． (2)奇函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有________，且______________，则称y＝f(x)为奇函数． [注意]　函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说函数f(x)是奇(或偶)函数． －x∈D f(－x)＝f(x) －x∈D f(－x)＝－f(x) 核心概念掌握 5 知识点二　奇偶函数的图象特征 (1)偶函数的图象关于____对称；反之，图象关于____对称的函数一定是偶函数． (2)奇函数的图象关于_____对称；反之，图象关于_____对称的函数一定是奇函数． [提醒]　(1)函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称，换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．例如，函数y＝x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－1，2]上却无奇偶性可言． (2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0. (3)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空实数集． y轴 y轴 原点 原点 核心概念掌握 6 1．(奇函数的性质)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 2．(偶函数的性质)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，若f(2)＝4，则f(－2)＝(　　) A．－2 B．2 C．－4 D．4 3．(函数奇偶性的判断)函数f(x)＝x在定义域R上是____函数(填“奇”或“偶”)． 奇 核心概念掌握 7 4．(奇偶函数的图象特征)下列图象表示的函数是奇函数的是_______，是偶函数的是______(填序号)． ②④ ①③ 核心概念掌握 8 核心素养形成 核心素养形成 10 核心素养形成 11 核心素养形成 12 核心素养形成 13 【感悟提升】　判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下： ①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步； ②验证．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)； ③下结论．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数． 核心素养形成 14 (2)图象法 ①若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数； ②若f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数； ③若f(x)的图象既关于原点对称，又关于y轴对称，则f(x)既是奇函数，又是偶函数； ④若f(x)的图象既不关于原点对称，又不关于y轴对称，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 核心素养形成 15 (3)性质法 ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． 注意：对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式． 核心素养形成 16 核心素养形成 17 核心素养形成 18 (4)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)， 所以f(x)是偶函数． 核心素养形成 19 角度 　抽象函数奇偶性的判断 　 (1)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数． 证明　令a＝0， 则f(b)＝f(0)＋f(b)， ∴f(0)＝0. 令a＝－x，b＝x， 则f(0)＝f(－x)＋f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， 又x∈R，关于原点对称， ∴f(x)为奇函数． 核心素养形成 20 (2)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数． 证明　令x1＝0，x2＝x，得 f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)．① 令x2＝0，x1＝x，得 f(x)＋f(x)＝2f(0)f(x)．② 由①②，得f(x)＋f(－x)＝f(x)＋f(x)， 即f(－x)＝f(x)， 又x∈R，∴f(x)为偶函数． 核心素养形成 21 【感悟提升】　判断抽象函数奇偶性的方法 判断抽象函数的奇偶性通常是用定义法，有时需借助一些特殊值来判断． 【跟踪训练】　 2．(1)如果f(x)是定义在R上的不恒为0的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是(　　) A．g(x)＝x＋f(x) B．h(x)＝xf(x) C．p(x)＝x2＋f(x) D．q(x)＝x2f(x) 核心素养形成 22 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．对于A， (－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，所以g(x)＝x＋f(x)是奇函数；对于B，h(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝h(x)，所以h(x)＝xf(x)是偶函数；对于C，p(－x)＝ (－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，所以p(x)＝x2＋f(x)为非奇非偶函数；对于D，q(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－q(x)，所以q(x)＝x2f(x)是奇函数．故选B. 核心素养形成 23 证明：∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)． ∴f(－x)的定义域也是(－l，l)． 设F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)， 则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于原点对称的． ∵F(－x)＝f(－x)＋f(－(－x))＝f(－x)＋f(x)＝F(x)， G(－x)＝f(－x)－f(－(－x))＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)， ∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数， 即f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数． (2)设函数f(x)的定义域是(－l，l)，求证：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数． 核心素养形成 24 题型二　奇偶函数的图象特征及应用　 　 (1)奇函数y＝f(x)(x∈R)的局部图象如图，试作出该函数在y轴左侧部分的图象，并根据图象写出函数y＝f(x)(x∈R)的单调递增区间． 核心素养形成 25 解　将奇函数y＝f(x)在y轴左侧的图象补充后如图所示． 由图象可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(－1，0)，(0，1)和(3，＋∞)． 核心素养形成 26 解　由函数f(x)是定义在R上的偶函数，可知其图象关于y轴对称，先描出(1，1)，(2，0)关于y轴的对称点(－1，1)，(－2，0)，然后连线可得函数f(x)的图象，如图所示． xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号，结合函数f(x)的图象可知，xf(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0，2)． (2)定义在R上的偶函数y＝f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，补全函数f(x)的图象，并根据图象写出不等式xf(x)>0的解集． 核心素养形成 27 【感悟提升】　用奇偶函数图象的对称性作图 给出奇函数(或偶函数)在直角坐标平面内的某个半平面上的图象，作出它在另一个半平面内的图象是依据奇、偶函数图象的对称性．其过程是作出原图象上几个关键点(图象的最高点、最低点等)关于原点或y轴的对称点，然后按原图象的特征用平滑曲线连接这些点，就作出了它在另外一个半平面内的图象． 核心素养形成 28 【跟踪训练】　 3．(1)设奇函数f(x)的定义域为[－6，6]，当x∈[0，6]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集用区间表示为____________________． 解析：由奇函数f(x)在[0，6]上的图象知，其在定义域[－6，6]上的图象如图所示，由图可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0，3)． [－6，－3)∪(0，3) 核心素养形成 29 解：奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，－f(x))关于原点的对称点是P′(x，f(x))．如图为补充后的图象．易知f(3)＝－2. (2)如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象，并求出f(3)的值． 核心素养形成 30 解：偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(x))关于y轴的对称点是P′(x，f(x))，如图为补充后的图象，易知f(1)>f(3)． (3)如图，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出它在y轴右侧的图象，并比较f(1)与f(3)的大小． 核心素养形成 31 随堂水平达标 解析：A，D中，函数均为偶函数；B中，函数为非奇非偶函数；C中，函数为奇函数． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 2．已知函数f(x)是奇函数，函数g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：由题意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4.两式相加，解得g(1)＝3. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 34 随堂水平达标 1 2 3 4 5 35 4．偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的单调递增区间为__________________． 解析：偶函数的图象关于y轴对称，补全图象后可知函数f(x)的单调递增区间为[－1，0]，[1，＋∞)． [－1，0]，[1，＋∞) 随堂水平达标 1 2 3 4 5 36 5．函数f(x)＝x4＋2x2是____ (填“奇”或“偶”)函数，其图象关于______对称；函数g(x)＝|x＋1|－|x－1|是____ (填“奇”或“偶”)函数，其图象关于________对称． 解析：∵x∈R，定义域关于原点对称，又f(－x)＝(－x)4＋2(－x)2＝x4＋2x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．∵x∈R，定义域关于原点对称，又g(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，其图象关于原点对称． 偶 y轴 奇 原点 随堂水平达标 1 2 3 4 5 37 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 函数奇偶性的判断——定义法、性质法 函数奇偶性的判断——定义法 利用函数的奇偶性求值　　 利用函数的奇偶性识别函数图象　 函数奇偶性的判断与求值　 奇函数的图象与性质及应用 新定义函数的定义域、值域、奇偶性、单调性 奇函数图象的对称性 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 函数奇偶性定义的应用 利用抽象函数的奇偶性求值 函数奇偶性的判断——定义法 函数奇偶性的证明、奇偶函数的图象及应用 函数奇偶性的判断——性质法 利用奇偶函数的图象特征解不等式 分段函数奇偶性的判断——定义法、分类讨论法 抽象函数奇偶性的证明及应用 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 解析：①是奇函数；②中函数的定义域为(0，＋∞)，故为非奇非偶函数；③是非奇非偶函数；④是奇函数． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 解析：由函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，得b＝0，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx化为g(x)＝ax3＋cx，定义域关于原点对称，且满足g(－x)＝－g(x)，所以g(x)＝ax3＋cx是奇函数． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 解析：∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝2－2＝0，f(0)＝0＋1＝1.∴f(f(－2))＝f(0)＝1.故选A. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 5．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－2，若f(－3)＝10，则f(3)＝(　　) A．－8 B．18 C．10 D．－14 解析：由f(x)＝x5＋ax3＋bx－2，得f(x)＋2＝x5＋ax3＋bx.令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋2，∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，∴G(x)是奇函数．∴G(－3)＝－G(3)，即f(－3)＋2＝－f(3)－2，又f(－3)＝10，∴f(3)＝－f(－3)－4＝－10－4＝－14.故选D. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 解析：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0.f(x)在(－∞，0)上的图象与在(0，＋∞)上的图象关于原点对称，画出f(x)在R上的图象如图．易得A，B，C正确．故选ABC. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 原点 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 9．若函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，且f(x)－g(x)＝x2＋3x＋2，则f(x)＋g(x)＝______________． 解析：∵f(x)－g(x)＝x2＋3x＋2，∴f(－x)－g(－x)＝x2－3x＋2，又函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，∴－f(x)－g(x)＝x2－3x＋2，∴f(x)＋g(x)＝－x2＋3x－2. －x2＋3x－2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 10．设函数y＝f(x)是奇函数，若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝_____． 解析：∵函数y＝f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)．∵f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，∴－f(2)－f(1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，∴2f(1)＋2f(2)＝－6，∴f(1)＋f(2)＝－3. －3 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 12．已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3. (1)证明：函数f(x)是偶函数； (2)作出函数f(x)的图象； (3)请根据图象指出函数f(x)的单调递增区间与单调递减区间．(不必证明) 解：(1)证明：f(x)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)2－4|－x|＋3＝x2－4|x|＋3＝f(x)，故函数f(x)是偶函数． (2)函数f(x)的图象如图． (3)函数f(x)的单调递增区间为(－2，0)， (2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，(0，2)． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 13．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)|g(x)|是奇函数 B．|f(x)|g(x)是偶函数 C．f(x)g(x)是偶函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 解析： ∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)． f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，∴f(x)|g(x)|是奇函数，故A正确；|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)，∴|f(x)|g(x)为偶函数，故B正确；f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，∴f(x)·g(x)是奇函数，故C错误；|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|，∴|f(x)g(x)|为偶函数，故D错误．故选AB. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 14．已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是__________________． (－4，－2)∪(0，2) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 解析：补全函数f(x)，g(x)的图象如图所示，由图可知，当－4<x<－2时，f(x)>0，g(x)<0，此时f(x)g(x)<0；当0<x<2时，f(x)<0，g(x)>0，此时f(x)g(x)<0.故不等式f(x)g(x)<0的解集是(－4，－2)∪(0，2)． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 解：(1)由题意，知f(x)的定义域为(－6，－1]∪[1，6)，关于原点对称． 当x∈(－6，－1]时，－x∈[1，6)， 所以f(－x)＝(－x－5)2－4＝(x＋5)2－4＝f(x)； 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 当x∈[1，6)时，－x∈(－6，－1]， 所以f(－x)＝(－x＋5)2－4＝(x－5)2－4＝f(x)． 综上所述，对于任意的x∈(－6，－1]∪[1，6)， 都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数． (2)f(x)的定义域为R，关于原点对称． 当x＝0时，－x＝0，所以f(x)＝f(0)＝0，f(－x)＝f(0)＝0，所以f(－x)＝－f(x)． 当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)． 当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝－(－x2－2x－3)＝－f(x)． 综上可知，当x∈R时，都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 16．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－3xy(x＋y)． (1)判断y＝f(x)的奇偶性并证明； (2)若f(1)＝1，求f(－2)； (3)若∀x>0，f(x)＋x3>0，判断并证明y＝f(x)＋x3的单调性． 解：(1)y＝f(x)是奇函数．证明如下： 因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－3xy(x＋y)， 令x＝y＝0，得f(0)＝0， 令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0， 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 所以f(－x)＝－f(x)， 又y＝f(x)的定义域关于原点对称， 所以y＝f(x)是奇函数． (2)令x＝y＝1，得f(2)＝f(1)＋f(1)－6＝－4， 由(1)知y＝f(x)是奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝4. (3)y＝f(x)＋x3在R上单调递增． 证明如下： 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 　　　　　　　　　　　　　 R 题型一　函数奇偶性的判断　 角度 　具体函数奇偶性的判断 　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋eq \f(1,x)；(2)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)；(3)f(x)＝2－|x|； (4)f(x)＝eq \r(x)；(5)f(x)＝x3＋x2；(6)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2，x>0，,0，x＝0，,x2－1，x<0.)) 解　(1)因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝ (－x)3＋eq \f(1,－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(1,x)))＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． (2)因为f(x)的定义域为{－1，1}，是两个具体数，但它关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)既是奇函数，又是偶函数． (3)因为f(x)的定义域是R，关于原点对称，且f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数． (4)因为f(x)＝eq \r(x)的定义域是{x|x≥0}，它不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数． (5)因为f(x)＝x3＋x2的定义域是R，关于原点对称，f(－x)＝－x3＋x2，所以f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数． (6)解法一：作出函数f(x)的图象如图所示， 因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以函数是奇函数． 解法二：当x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0，所以f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，所以f(－x)＝－f(x)； 当x<0时，f(x)＝x2－1，此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2， 所以f(－x)＝－f(x)； 当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0. 综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)为R上的奇函数． 【跟踪训练】　 1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋3x，x∈[－4，4)；(2)f(x)＝eq \f(1,x)； (3)f(x)＝eq \r(x－1)·eq \r(x＋1)；(4)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x>0，,x2－x，x<0.)) 解：(1)因为函数的定义域不关于坐标原点对称，所以函数f(x)＝x3＋3x， x∈[－4，4)既不是奇函数也不是偶函数． (2)因为函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于坐标原点对称，且对任意的x(x≠0)有f(－x)＝eq \f(1,－x)＝－eq \f(1,x)＝－f(x)，所以函数f(x)＝eq \f(1,x)是奇函数． (3)函数的定义域为[1，＋∞)，由于函数f(x)的定义域不关于坐标原点对称，故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 1．下列函数为奇函数的是(　　) A．y＝－|x| B．y＝2－x C．y＝eq \f(1,x3) D．y＝－x2＋8 3．(多选)若函数f(x)为定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是(　　) A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝－2f(x) C．f(－x)f(x)≤0 D.eq \f(f（x）,f（－x）)＝－1 解析：∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)－f(x)＝－2f(x)，f(－x)f(x)＝－[f(x)]2≤0，∴A，B，C正确；由题意知f(0)＝0，∴当x＝0时，eq \f(f（x）,f（－x）)无意义，D错误．故选ABC. 一、单选题 1．给定四个函数：①f(x)＝x3＋eq \r(3,x)，②f(x)＝eq \f(1,\r(x))，③f(x)＝x3＋1，④f(x)＝eq \f(x2＋1,x)，其中是奇函数的是(　　) A．①③ B．①④ C．③④ D．②④ 3．已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x，x≥2，,x2＋1，0≤x<2，))则f(f(－2))的值为(　　) A．1 B．3 C．－2 D．－3 4．函数f(x)＝eq \f(6x,x2＋1)的图象大致为(　　) 解析:函数f(x)＝eq \f(6x,x2＋1)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝－eq \f(6x,x2＋1)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除C，D；又当x＞0时，f(x)＞0，排除B.故选A. 二、多选题 6．定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则下列关于f(x)在[0，＋∞)上的结论正确的是(　　) A．f(0)＝0 B．f(1)＝0 C．最大值为eq \f(1,4) D．最小值为－eq \f(1,4) 7．给出定义：若m－eq \f(1,2)<x≤m＋eq \f(1,2)(其中m为整数)，则m称为离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m.则下列关于函数f(x)＝x－{x}的四个结论中正确的是(　　) A．函数y＝f(x)的定义域是R，值域是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) B．函数y＝f(x)是偶函数 C．函数y＝f(x)是奇函数 D．函数y＝f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上是增函数 解析：化简函数解析式可得f(x)＝x－{x}＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(…,x，－\f(1,2)<x≤\f(1,2)，,x－1，\f(1,2)<x≤\f(3,2)，,x－2，\f(3,2)<x≤\f(5,2)，,…))作出函数f(x)的图象，如图所示．由图象可知A，D正确． 三、填空题 8．函数f(x)＝eq \f(1,x)－x的图象关于________对称． 解析：∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－eq \f(1,x)－(－x)＝x－eq \f(1,x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，其图象关于原点对称． 四、解答题 11．判断函数f(x)＝eq \f(\r(1－x2),|x＋2|－2)的奇偶性． 解：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,|x＋2|－2≠0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1，,x≠0，且x≠－4.)) 故函数f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]， 关于原点对称，且有x＋2>0， 所以f(x)＝eq \f(\r(1－x2),x＋2－2)＝eq \f(\r(1－x2),x)， 这时有f(－x)＝eq \f(\r(1－（－x）2),－x)＝－eq \f(\r(1－x2),x)＝－f(x)， 故函数f(x)为奇函数． 15．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋5）2－4，－6<x≤－1，,（x－5）2－4，1≤x<6；)) (2)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋3，x＞0，,0，x＝0，,－x2－2x－3，x<0.)) 任取x1，x2∈R，且x1>x2，令h(x)＝f(x)＋x3， 则h(x1)－h(x2)＝f(x1)＋xeq \o\al(3,1)－f(x2)－xeq \o\al(3,2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＋(x1－x2)(xeq \o\al(2,1)＋x1x2＋xeq \o\al(2,2))＝f(x1－x2)－3(x1－x2)x2x1＋(x1－x2)(xeq \o\al(2,1)＋x1x2＋xeq \o\al(2,2))＝f(x1－x2)＋(x1－x2)(xeq \o\al(2,1)－2x1x2＋xeq \o\al(2,2))＝f(x1－x2)＋(x1－x2)3， 又因为∀x>0，f(x)＋x3>0，而x1－x2>0， 所以f(x1－x2)＋(x1－x2)3>0， 所以h(x1)－h(x2)>0，即h(x1)>h(x2)， 所以y＝f(x)＋x3在R上单调递增． $