2.1.1 等式的性质与方程的解集-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦等式性质、恒等式及方程解集核心内容，通过梳理等式性质回顾代数变形依据，衔接恒等式证明与十字相乘法分解因式，为后续不等式学习搭建从概念到应用的递进式学习支架。 其特色在于以逻辑推理和数学运算素养为导向，通过恒等式证明步骤拆解、十字相乘法实例解析及分层练习设计，帮助学生掌握方程求解方法。教师可借助随堂达标与课后精练实现教学评一体化，有效提升学生运算能力与推理意识。

第二章　等式和不等式 ２.1　等式 2.1.1　等式的性质与方程的解集 (教师独具内容) 课程标准：1.梳理等式的性质，理解恒等式是进行代数变形的依据之一.2.理解方程的解集的定义，并会用集合的形式表示方程的所有解． 教学重点：1.等式的性质.2.恒等式的证明.3.求方程的解集． 教学难点：求方程的解集． 核心素养：通过利用十字相乘法分解因式、求方程的解集、证明恒等式提升数学运算素养和逻辑推理素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　等式的性质 (1)等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立； (2)等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 用符号语言和量词表示上述等式的性质： (1)如果a＝b，则对任意c，都有_____________； (2)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有______________ ． 知识点二　恒等式 一般地，含有_______的等式，如果其中的字母取__________时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． a±c＝b±c 字母 任意实数 核心概念掌握 5 [拓展]　几种常见的恒等式 (1)(a＋b)(a－b)＝a2－b2. (2)(a±b)2＝a2±2ab＋b2. (3)(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3， (a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3. (4)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab， (a－b)2＝(a＋b)2－4ab. (5)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc， (a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3. 核心概念掌握 6 知识点三　方程的解 方程的解(或根)是指能使方程_______________的未知数的值． 知识点四　方程的解集 一般地，把一个方程_________组成的集合称为这个方程的解集． 左右两边相等 所有解 核心概念掌握 7 核心概念掌握 8 2．(恒等式)化简(x＋1)(x－1)(x2－x＋1)(x2＋x＋1)的结果为(　　) A．x5－1 B．1－x5 C．x6－1 D．1－x6 4．(一元二次方程的解集)一元二次方程x2－x－6＝0的解集为________． {3，－2} 核心概念掌握 9 核心素养形成 题型一　等式性质的应用 核心素养形成 11 【感悟提升】　在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同时除以的同一个数是不为零的数，此外，还要注意等式本身隐含的条件． 核心素养形成 12 核心素养形成 13 核心素养形成 14 题型二　恒等式及其应用 解析 (m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)＝(m2＋1)(m2－1)－(m4＋1)＝(m4－1)－(m4＋1)＝m4－1－m4－1＝－2. 角度 　利用恒等式化简 　(1)化简(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)的结果是(　　) A．－2m2 B．0 C．－2 D．－1 核心素养形成 15 (2)证明：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)(三数和平方公式)． 证明　∵(a＋b＋c)2＝[(a＋b)＋c]2＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)， ∴等式成立． 核心素养形成 16 【感悟提升】　 (1)使用公式化简时，一定要分清公式中的a，b分别对应题目中的哪个数或哪个整式． (2)利用公式化简时，要注意选择公式，公式选择恰当，可以有效地简化运算． 核心素养形成 17 【跟踪训练】　 2．(1)化简(x＋3y)2－(3x＋y)2的结果是(　　) A．8x2－8y2 B．8y2－8x2 C．8(x＋y)2 D．8(x－y)2 解析：解法一：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2. 解法二：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y)＝8y2－8x2. 核心素养形成 18 (2)如果(a－b－3)(a－b＋3)＝40，那么a－b的值为(　　) A．49 B．7 C．－7 D．7或－7 解析：(a－b－3)(a－b＋3)＝(a－b)2－9＝40，即(a－b)2＝49，则a－b＝±7. 核心素养形成 19 (3)已知a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ac＝4，求a2＋b2＋c2的值． 解：∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)， ∴a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)． ∵a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ac＝4， ∴a2＋b2＋c2＝8. 核心素养形成 20 把下列各式分解因式： (1)x2＋3x＋2； (2)6x2－7x－5； (3)x2－(m＋n)xy＋mny2； (4)4x4y2－5x2y2－9y2； (5)4x2－4xy－3y2－4x＋10y－3. 角度 　 十字相乘法分解因式 核心素养形成 21 解　(1)x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)． 1×2＋1×1＝3 (2)6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5)． 2×(－5)＋3×1＝－7 (3)原式＝(x－my)(x－ny)． (4)4x4y2－5x2y2－9y2＝y2(4x4－5x2－9)＝y2(4x2－9)(x2＋1)＝y2(x2＋1)(2x＋3)(2x－3)． (5)原式＝(4x2－4xy－3y2)＋(－4x＋10y)－3＝(2x－3y)(2x＋y)＋(－4x＋10y)－3＝(2x－3y＋1)(2x＋y－3)． 核心素养形成 22 【感悟提升】　十字相乘法分解因式的形式 尝试把某些二次三项式如ax2＋bx＋c分解因式，先把a分解成a＝a1a2，再把c分解成c＝c1c2，并且排列如下： 这里按斜线交叉相乘的积的和就是a1c2＋a2c1，如果它正好等于二次三项式ax2＋bx＋c中一次项的系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)． 核心素养形成 23 【跟踪训练】　 3．把下列各式分解因式： (1)x2－2x－15； (2)x2－xy－2y2； (3)3x2＋2xy－y2； (4)(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24； (5)6x3－11x2＋x＋4. 核心素养形成 24 解：(1)∵－15＝(－5)×3，(－5)＋3＝－2， ∴x2－2x－15＝[x＋(－5)](x＋3)＝(x－5)(x＋3)． (2)原式＝(x－2y)(x＋y)． (3)原式＝(x＋y)(3x－y)． (4)(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24＝(x2－7x＋12)(x2－7x－2)＝(x－3)(x－4)(x2－7x－2)． (5)6x3－11x2＋x＋4＝6x3－11x2＋4x－3x＋4＝x(6x2－11x＋4)－(3x－4)＝x(3x－4)(2x－1)－(3x－4)＝(3x－4)(2x2－x－1)＝(3x－4)(2x＋1)(x－1)． 核心素养形成 25 题型三　方程的解集 角度 　 一元一次方程的解集 核心素养形成 26 核心素养形成 27 核心素养形成 28 【感悟提升】　解一元一次方程时，要根据方程的形式灵活安排求解步骤 (1)在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数．注意根据分数的基本性质，分子、分母必须同时扩大同样的倍数． (2)当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号． 核心素养形成 29 【跟踪训练】　 4．(1)已知关于x的方程2x＋a－9＝0的解集是{2}，则a的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 核心素养形成 30 (2)若关于x的方程(2＋2k)x＝1的解集为∅，则(　　) A．k＝－1 B．k＝1 C．k≠－1 D．k≠1 解析：当2＋2k＝0时，方程的解集为∅，即k＝－1. 核心素养形成 31 核心素养形成 32 角度 　 一元二次方程的解集 　求下列方程的解集： (1)x2－2x＝0； (2)x2＋2x＋1＝0； (3)x2－23x＋42＝0； (4)ax2－(a＋1)x＋1＝0. 解　(1)方程可化为x(x－2)＝0，解得x＝0或x＝2，即方程的解集为{0，2}． (2)方程可化为(x＋1)2＝0，解得x＝－1，即方程的解集为{－1}． (3)方程可化为(x－2)(x－21)＝0，解得x＝2或x＝21，即方程的解集为{2，21}． 核心素养形成 33 核心素养形成 34 【感悟提升】　用因式分解法解一元二次方程的关键是把方程分解为两个一次因式的积，并令每个因式分别为0，即可得一元二次方程的解集．当方程中含有参数时，注意分类讨论参数的取值． 核心素养形成 35 【跟踪训练】　 5．求下列一元二次方程的解集： (1)x2－4x＋3＝0； (2)2(x－3)＝3x(x－3)； (3)12x2－ax－a2＝0(a为常数)． 核心素养形成 36 核心素养形成 37 随堂水平达标 解析：根据等式的性质可得等式两边同乘以一个数，等式仍然成立． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 39 解析：方程左边乘以6后得2(x－1)＋6x，方程右边乘以6后得3(3x＋1)．故选B. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 40 3．(多选)下列分解因式正确的是(　　) A．x2＋6xy＋9y2＝(x＋3y)2 B．2x2－4xy＋9y2＝(2x－3y)2 C．2x2－8y2＝2(x＋4y)(x－4y) D．x2＋(a＋2)x＋2a＝(x＋a)(x＋2) 解析： A正确；B错误，B中式子不能分解因式；对于C，2x2－8y2＝2(x2－4y2)＝2(x＋2y)·(x－2y)，故C错误；D正确．故选AD. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 41 4．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为______． 解析： ∵a＋b＝4，a－b＝1，∴(a＋1)2－(b－1)2＝(a＋1＋b－1)(a＋1－b＋1)＝(a＋b)(a－b＋2)＝4×(1＋2)＝12. 12 随堂水平达标 1 2 3 4 5 42 {1} {2，5} 随堂水平达标 1 2 3 4 5 43 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 等式性质的 应用　 因式分解 一元二次方程的解集—— 不含参 一元一次方程的解 一元二次方程的解集 ——不含参 一元二次方程的解 恒等式及其 应用 因式分解与化简　 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 一元一次方程的解集　 一元二次方程的解集 ——含参　 简单方程的解集　 含参方程的解集及应用 恒等式及其应用　 等式性质及恒等式的综合应用　 复杂方程的 解集　 方程的解集及应用 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 解析：对于A，c≠0，显然成立；对于B，当a＋1≠0时，x＝1，当a＋1＝0时，x∈R；对于C，若|a|＝|b|，则a＝±b；对于D，若a2＝b2，则a＝±b.故选A. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 2．下列分解因式正确的是(　　) A．－x2＋4x＝－x(x＋4) B．x2＋xy＋x＝x(x＋y) C．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2 D．x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2) 解析：对于A，因为－x2＋4x＝－x(x－4)，故A错误；对于B，因为x2＋xy＋x＝x(x＋y＋1)，故B错误；对于C，因为x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2，故C正确；对于D，因为x2－4x＋4＝(x－2)2，故D错误．故选C. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 3．方程y2－3y－4＝0的解集是(　　) A．y＝1或y＝－4 B．{1，－4} C．y＝－1或y＝4 D．{－1，4} 解析：方程y2－3y－4＝0可化为(y＋1)(y－4)＝0，即y＝－1或y＝4，所以方程的解集为{－1，4}．故选D. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 5．方程(10－2x)(6－2x)＝32的解集是(　　) A．x＝1或x＝7 B．{1，7} C．x＝3或x＝5 D．{3，5} 解析：方程(10－2x)(6－2x)＝32可化为28－32x＋4x2＝0，x2－8x＋7＝0，(x－1)(x－7)＝0，解得x＝1或x＝7，所以方程的解集为{1，7}．故选B. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 二、多选题 6．已知关于x，y的方程 ＋ ＝6是二元一次方程，则m的取值可以为(　　) A．3 B．－3 C．1 D．－1 解析：由已知可得m2＋2m－2＝1，(m＋3)(m－1)＝0，即m＝－3或m＝1.故选BC. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 三、填空题 8．补全下列等式： (1)a3－b3＝__________________(因式分解)； (2)(a＋b)(a2－ab＋b2)＝________(化简)； (3)x2＋(m＋n)x＋mn＝____________(因式分解)； (4)x2＋(5＋t)x＋5t＝_____________(因式分解)． 解析：(1)(2)由立方差公式和立方和公式可得，(3)(4)由“十字相乘法”可得． (a－b)(a2＋ab＋b2) a3＋b3 (x＋m)(x＋n) (x＋5)(x＋t) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 10．方程x2＋mx＝5m＋5x(m为常数且m≠－5)的解集为__________． {5，－m} 解析：原方程可化为x2＋(m－5)x－5m＝0，(x－5)(x＋m)＝0，又m≠－5，所以x＝5或x＝－m，所以方程的解集为{5，－m}． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 12．(1)求方程x2－(k＋3)x＋3k＝0(k为常数)的解集； (2)方程ax＝3的解集A包含于方程x2＋6x＋5＝0的解集B，求a的值． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 14．已知a，b，c是△ABC的三边长，c是△ABC的最短边，且△ABC满足a2＋b2＝12a＋8b－52，则c的取值范围为________． 解析：∵a2＋b2＝12a＋8b－52，∴a2－12a＋36＋b2－8b＋16＝0，∴(a－6)2＋(b－4)2＝0，∴a＝6，b＝4，根据构成三角形的条件，得2<c<10.∵c是最短边，∴2<c≤4.∴c的取值范围为(2，4]． (2，4] 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 16．已知集合A＝{x|x2＋(m－2)x－2m＝0}，B＝{x|mx＝2x＋1}，若B⊆A，求实数m的值． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 　　　　　　　　　　　　　 R ac＝bc，eq \f(a,c)＝eq \f(b,c) 1．(等式的性质)(多选)下列式子中变形正确的是(　　) A．若4x－3＝3x＋2，则x＝0 B．若eq \f(c,a)＝eq \f(c,b)，则a＝b C．若eq \f(c,ab)＝eq \f(d,af)，则eq \f(c,b)＝eq \f(d,f) D．若eq \f(y,5)＝eq \f(x,5)，则y＝x 3．(一元一次方程的解集)eq \f(0.3x＋0.5,0.2)＝eq \f(2x－1,3)的解集为(　　) A．x＝－eq \f(17,5) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(17,5))) C．－17 D．{－17} (x,y)INCLUDEPICTURE"例1灰.TIF" INCLUDEPICTURE "../../杨楠/课件/537数学（必修第一册导学案（B版/例1灰.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "例1灰.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知x＝y，则下列各式：①x－3＝y－3；②4x＝6y；③－2x＝－2y；④＝1；⑤eq \f(x－2,3)＝eq \f(y－2,3)；⑥eq \f(x,a)＝eq \f(y,a).其中正确的是(　　) A．①②③ B．④⑤⑥ C．①③⑤ D．②④⑥ 解析　①x－3＝y－3，③－2x＝－2y，⑤eq \f(x－2,3)＝eq \f(y－2,3)正确；②显然不正确；④中y应不为0；⑥中a应不为0.故选C. 【跟踪训练】　 1．(多选)下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是(　　) A．如果a＝b，那么a＋c＝b－c B．如果a＝3，那么a2＝9 C．如果a2＝6a，那么a＝6 D．如果a＝b，那么eq \f(a,c2＋1)＝eq \f(b,c2＋1) 解析：对于A，当c≠0时，显然不正确；对于B，如果a＝3，那么a2＝9，显然正确，故B正确；对于C，如果a2＝6a，那么a＝6或a＝0，故C不正确；对于D，如果a＝b，因为c2＋1>0，所以eq \f(a,c2＋1)＝eq \f(b,c2＋1)，故D正确．故选BD. 　用适当的方法求下列方程的解集： (1)eq \f(x,0.7)－eq \f(0.17－0.2x,0.03)＝1； (2)x－eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)（x－1）))＝eq \f(2（x－1）,3). 解　(1)原方程可化为eq \f(10,7)x－eq \f(100,3)(0.17－0.2x)＝1，即eq \f(10,7)x－eq \f(17－20x,3)＝1， 去分母，得30x－7(17－20x)＝21， 去括号，得30x－119＋140x＝21， 移项，得30x＋140x＝21＋119， 合并同类项，得170x＝140， 系数化为1，得x＝eq \f(14,17). 所以该方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(14,17))). (2)去小括号，得x－eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)x＋\f(1,2)))＝eq \f(2x－2,3)， 去括号，得x－eq \f(1,2)x＋eq \f(1,4)x－eq \f(1,4)＝eq \f(2x－2,3)， 去分母，得12x－6x＋3x－3＝8x－8， 移项，得12x－6x＋3x－8x＝－8＋3， 合并同类项，得x＝－5. 所以该方程的解集为{－5}． 解析：方程可化为x＝eq \f(9－a,2)，又方程的解集是{2}，所以eq \f(9－a,2)＝2，解得a＝5.故选D. (3)求下列方程的解集： ①2(2x－1)＝3x－7；②eq \f(x＋3,4)－eq \f(2x－1,3)＝1. 解：①去括号，得4x－2＝3x－7，x＝－5，所以原方程的解集为{－5}． ②去分母，得3(x＋3)－4(2x－1)＝12，3x＋9－8x＋4＝12，－5x＝－1，x＝eq \f(1,5)，所以原方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))). (4)当a＝0时，原方程可化为－x＋1＝0，所以x＝1； 当a≠0时，对于ax2－(a＋1)x＋1来说， 因为a×1＝a，(－1)×(－1)＝1，a×(－1)＋1×(－1)＝－(a＋1)，如图所示， 所以ax2－(a＋1)x＋1＝(ax－1)(x－1)， 所以原方程可化为(ax－1)(x－1)＝0. 所以当a＝1时，x＝1， 当a≠1时，x＝eq \f(1,a)或x＝1. 所以当a＝0，1时，方程的解集为{1}； 当a≠0，1时，方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1)). 解：(1)方程可化为(x－1)(x－3)＝0， 解得x＝1或x＝3，即方程的解集为{1，3}． (2)原式可化为2(x－3)－3x(x－3)＝0，得(x－3)(2－3x)＝0，解得x＝3或x＝eq \f(2,3)，即方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3))). (3)因为3×4＝12，(－a)×a＝－a2，3×a＋4×(－a)＝3a－4a＝－a，如图所示， 所以12x2－ax－a2＝(3x－a)(4x＋a)， 所以原方程可化为(3x－a)(4x＋a)＝0. 所以3x－a＝0或4x＋a＝0， 所以当a＝0时，x＝0； 当a≠0时，x1＝eq \f(a,3)，x2＝－eq \f(a,4). 所以当a＝0时，方程的解集为{0}； 当a≠0时，方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，－\f(a,4))). 1．如果a＝b，则下列变形正确的是(　　) A．3a＝3＋b B．－eq \f(a,2)＝－eq \f(b,2) C．5－a＝5＋b D．a＋b＝0 2．在解方程eq \f(x－1,3)＋x＝eq \f(3x＋1,2)时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是(　　) A．2x－1＋6x＝3(3x＋1) B．2(x－1)＋6x＝3(3x＋1) C．2(x－1)＋x＝3(3x＋1) D．(x－1)＋x＝3(x＋1) 5．方程2－eq \f(2x＋1,3)＝eq \f(1＋x,2)的解集为______； 方程x2－7x＋10＝0的解集为________． 解析：方程2－eq \f(2x＋1,3)＝eq \f(1＋x,2)可化为12－2(2x＋1)＝3(1＋x)，7－7x＝0，即x＝1，所以方程2－eq \f(2x＋1,3)＝eq \f(1＋x,2)的解集为{1}．方程x2－7x＋10＝0可化为(x－2)(x－5)＝0，解得x＝2或x＝5，所以方程x2－7x＋10＝0的解集为{2，5}． 一、单选题 1．下列变形中正确的是(　　) A．若eq \f(a,c)＝eq \f(b,c)，则a＝b B．若(a＋1)x＝a＋1，则x＝1 C．若|a|＝|b|，则a＝b D．若a2＝b2，则a＝b 4．若方程2m＋x＝1和3x－1＝2x＋1的解相同，则m的值为(　　) A．0 B．1 C．－2 D．－eq \f(1,2) 解析：方程3x－1＝2x＋1的解集为{2}，方程2m＋x＝1可化为x＝1－2m，所以由已知可得1－2m＝2，即m＝－eq \f(1,2).故选D. 7．若x2＋xy－2y2＝0(xy≠0)，则eq \f(x2＋3xy＋y2,x2＋y2)的值可以为(　　) A．－eq \f(5,2) B．－eq \f(1,5) C.eq \f(1,5) D.eq \f(5,2) 解析：由x2＋xy－2y2＝0，得(x＋2y)(x－y)＝0，得x＝－2y或x＝y，又xy≠0，所以当x＝－2y时，eq \f(x2＋3xy＋y2,x2＋y2)＝eq \f(4y2－6y2＋y2,4y2＋y2)＝－eq \f(1,5)；当x＝y时，eq \f(x2＋3xy＋y2,x2＋y2)＝eq \f(y2＋3y2＋y2,y2＋y2)＝eq \f(5,2).故选BD. 9．方程eq \f(3x－2,3)－eq \f(0.1x－0.3,0.2)＝1的解集为_____． 解析：原方程可化为eq \f(3x－2,3)－eq \f(x－3,2)＝1，即6x－4－3x＋9＝6，即3x＝1，解得x＝eq \f(1,3)，所以方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))). eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) 四、解答题 11．求下列方程的解集： (1)4x－3＝2(x－1)； (2)5－eq \f(2x＋1,3)＝eq \f(1＋x,2)； (3)x2＋25x＋156＝0； (4)ax＝5x＋7(a为常数)． 解：(1)方程4x－3＝2(x－1)可化为2x＝1， 即x＝eq \f(1,2)， 所以方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))). (2)方程5－eq \f(2x＋1,3)＝eq \f(1＋x,2)可化为30－2(2x＋1)＝3(1＋x)，25＝7x，即x＝eq \f(25,7)，所以方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(25,7))). (3)方程x2＋25x＋156＝0可化为(x＋12)(x＋13)＝0，即x＝－12或x＝－13， 所以方程的解集为{－12，－13}． (4)方程ax＝5x＋7可化为(a－5)x＝7. 当a≠5时，x＝eq \f(7,a－5)，方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(7,a－5)))； 当a＝5时，方程无解，此时方程的解集为∅. 综上，当a＝5时，方程的解集为∅； 当a≠5时，方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(7,a－5))). 解：(1)原方程可化为(x－3)(x－k)＝0， 当k≠3时，方程的解集为{3，k}，当k＝3时，方程的解集为{3}． (2)x2＋6x＋5＝0可化为(x＋1)(x＋5)＝0， 即x＝－1或x＝－5，所以B＝{－1，－5}． 又当a＝0时，A＝∅，满足A⊆B；当a≠0时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)))，由A⊆B，得eq \f(3,a)＝－1或eq \f(3,a)＝－5，即a＝－3或a＝－eq \f(3,5). 综上可得，a＝0或a＝－3或a＝－eq \f(3,5). 13．(多选)下列式子变形正确的是(　　) A．(x－4y)(x2＋4xy＋16y2)＝x3－64y3 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－y))eq \s\up12(3)＝eq \f(1,8)x3－eq \f(3,4)x2y＋eq \f(3,2)xy2－y3 C．(2x－3y＋z)2＝4x2＋9y2＋z2－12xy－6yz＋4xz D．(x＋3)(x2－6x＋9)＝x3＋27 解析：(x－4y)(x2＋4xy＋16y2)＝(x－4y)·[x2＋x·4y＋(4y)2]＝x3－(4y)3＝x3－64y3，故A正确；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－y))eq \s\up12(3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))eq \s\up12(3)－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))eq \s\up12(2)y＋3×eq \f(1,2)xy2－y3＝eq \f(1,8)x3－eq \f(3,4)x2y＋eq \f(3,2)xy2－y3，故B正确；(2x－3y＋z)2＝[2x＋(－3y)＋z]2＝(2x)2＋(－3y)2＋z2＋2[2x(－3y)＋(－3y)z＋2xz]＝4x2＋9y2＋z2－12xy－6yz＋4xz，故C正确；x3＋27＝x3＋33＝(x＋3)(x2－3x＋9)，故D不正确．故选ABC. 15．求下列方程的解集： (1)x(x＋3)(x－2)(x－3)＝0； (2)22x2＋25x－12＝0； (3)eq \f(1,x)－eq \f(1,x＋3)＝eq \f(1,x＋1)－eq \f(1,x＋4). 解：(1)由方程，可得x＝0或x＋3＝0或x－2＝0或x－3＝0，解得x＝0或x＝－3或x＝2或x＝3，所以所求方程的解集为{－3，0，2，3}． (2)方程22x2＋25x－12＝0可化为(11x－4)·(2x＋3)＝0，所以11x－4＝0或2x＋3＝0，解得x＝eq \f(4,11)或x＝－eq \f(3,2)，所以所求方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(4,11))). (3)方程可化为 eq \f(（x＋3）－x,x（x＋3）)＝eq \f(（x＋4）－（x＋1）,（x＋1）（x＋4）)， 即eq \f(3,x（x＋3）)＝eq \f(3,（x＋1）（x＋4）)， 所以x(x＋3)＝(x＋1)(x＋4)，整理得2x＋4＝0， 解得x＝－2. 经检验x＝－2是原方程的解． 所以所求方程的解集为{－2}． 解：当m≠2时，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,m－2)))； 当m＝2时，B＝∅. 又A＝{x|(x－2)(x＋m)＝0}，当m≠－2时，A＝{2，－m}；当m＝－2时，A＝{2}． 又因为B⊆A，所以当m＝2时，B＝∅⊆A，满足条件； 当m≠2时，由B⊆A，得eq \f(1,m－2)＝2或eq \f(1,m－2)＝－m， 解得m＝eq \f(5,2)或m＝1. 综上，实数m的值为1，2，eq \f(5,2). $