第1章 集合与常用罗辑用语 章末总结-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了集合与常用逻辑用语的核心知识，通过“规律方法收藏”将集合元素特性、表示方法、关系运算性质及命题、量词、充分必要条件等内容串联，构建从基础概念到逻辑应用的知识网络，帮助学生理清内在联系。 其亮点在于“学科素养培优”模块的分层典例设计，如通过集合代表元素辨析（典例1）、创新题型（典例4定义PQ运算）培养数学眼光和思维，结合数形结合思想解决集合关系问题，既巩固基础又提升能力，教师可据此精准实施分层复习，提升教学效率。

第一章　集合与常用 逻辑用语 章末总结 知识系统整合 规律方法收藏 学科素养培优 目录 知识系统整合 堵点自记：﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 知识系统整合 4 规律方法收藏 1．集合中元素的三大特性 (1)确定性；(2)互异性；(3)无序性． 2．集合的表示方法 集合的表示方法的适用条件： (1)列举法：是对有限集且在元素不太多的情况下或元素个数较多且成一定规律时采用的，元素之间用“，”分隔开． (2)描述法：注意集合的代表元素及元素具备的性质． 规律方法收藏 6 3．集合间的关系 处理集合间的关系时需要注意： (1)涉及某些数集是不等式的所有解组成的集合时，利用数轴可较好地处理一些实数集之间的关系． (2)注意应用B⊆A(A≠∅)的条件时，一定要考虑B＝∅和B≠∅两种情况． (3)以形助数，直观形象，充分利用数形结合思想，同时注意转化思想，等价变形思想的灵活运用． 规律方法收藏 7 4．子集、全集、补集的概念及交集、并集、补集运算的性质 子集、全集、补集的概念实质上是生活中的“部分”“全体”“剩余”的概念在数学中的抽象与反映． (1)交集运算的性质 A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝B∩A； (A∩B)∩C＝A∩(B∩C)； 如果A⊆B，则A∩B＝A. 规律方法收藏 8 (2)并集运算的性质 A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝B∪A； (A∪B)∪C＝A∪(B∪C)； 如果A⊆B，则A∪B＝B. (3)补集运算的性质 ∁U(∁UA)＝A；A∩(∁UA)＝∅；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩ (∁UB)． 规律方法收藏 9 5．命题 (1)判断一个语句是不是命题就是要看它是否符合是“陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，只有同时满足这两个条件的才是命题． (2)一个命题要么是真的，要么是假的，但不能同时既真又假，也不能模棱两可无法判断其真假．当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这种命题的真假的方法如下： ①若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可确定“若p，则q”是真；确定“若p，则q”为假，则只需举一个反例说明； 规律方法收藏 10 ②从集合的观点看，我们建立集合A，B与命题中的p，q之间的一种特殊联系：设集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是说，A是全体能使条件p成立的对象x所构成的集合，B是全体能使条件q成立的对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真(意思就是“使p成立的对象也使q成立”)，当且仅当A⊆B时满足． (3)命题的否定：若p表示命题，则“綈p”表示命题的否定．如果命题是“若p，则q”，那么该命题的否定是“若p，则綈q”，即只否定结论． 规律方法收藏 11 6．全称量词、存在量词与全称量词命题、存在量词命题 (1)要判定全称量词命题是真命题，需对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题． (2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题． (3)全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，因此，我们可以通过“举反例”来否定一个全称量词命题． 规律方法收藏 12 7．充分条件、必要条件、充要条件 关于充分条件、必要条件、充要条件的判断主要有以下几种方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断；(2)等价法；(3)利用集合间的包含关系进行判断． 规律方法收藏 13 学科素养培优 1．注意集合中的代表元素 集合中元素的表现形式是多种多样的，可以是实数x，实数y，有序数对(x，y)，图形等，我们要仔细观察集合中的代表元素． 一、集合问题中三个需注意的问题 学科素养培优 15 (1) 设集合A＝{x∈N|－1<x<5}，B＝{y|y＝4－x2，x∈A}，则A∩B＝(　　) A．{1，2} B．{3，4} C．{0，3，4} D．{0，1，2} 解析　因为A＝{x∈N|－1<x<5}＝{0，1，2，3，4}，B＝{－12，－5，4，3，0}，所以A∩B＝{0，3，4}．故选C. 学科素养培优 16 (2)(多选)设集合A＝{x|y＝x2－4}，B＝{y|y＝x2－4}，C＝{(x，y)|y＝x2－4}，则下列关系中正确的是(　　) A．A＝B B．A∪B＝R C．A∩C＝∅ D．A⊆B 解析　因为A＝{x|y＝x2－4}＝R，B＝{y|y＝x2－4}＝{y|y≥－4}，C＝{(x，y)|y＝x2－4}，即C表示点集，所以A＝B不成立，A∪B＝R，A∩C＝∅，B⊆A.故选BC. 学科素养培优 17 {x|0<x<4} {x|0<x<1} 学科素养培优 18 2．注意集合中元素的互异性 根据两集合之间的关系进行分类讨论，在求参数取值的过程中，应时刻检验元素的互异性，在确定集合时，尤其是当集合的元素中含有字母时，也要进行检验． 学科素养培优 19 已知集合M＝{1，t}，N＝{t2－t＋1}，若M∪N＝M，求t的取值集合． 解　∵M∪N＝M，∴N⊆M，即t2－t＋1∈M， ①若t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，解得t＝0或t＝1，而当t＝1时，M中两元素不符合互异性，∴t＝0. ②若t2－t＋1＝t，即t2－2t＋1＝0，解得t＝1，由①知不符合题意． 综上所述，t的取值集合为{0}． 学科素养培优 20 3．注意空集的特殊性 当B⊆A时，集合B可能为∅，也可能为非空集合，注意不要漏掉B为空集的情况；另外空集在所有解组成的集合中也非常重要，在题目解答出来后，要检查一下是否漏掉了“空集”这种情况． 学科素养培优 21 已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x2－x＋p＝0}，且B⊆A，求实数p的取值范围． 学科素养培优 22 创新型试题的特点是：通过给出新数学概念或新运算方法，在新的情境下完成某种推理证明或指定要求．在一一列举时，我们要做到不重不漏． 设集合P＝{3，4}，Q＝{4，5，6，7}，定义PQ＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则PQ中元素的个数为________． 二、集合中的创新题型 解析　在集合P中取一个数作为a的值，有2种可能；在集合Q中取一个数作为b的值，有4种可能．列举如下：(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(4，7)．因此PQ中元素的个数为8. 8 学科素养培优 23 若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的1种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆．则集合A＝{a，b}的不同分拆有________种． 解析　①当A1＝∅时，A2＝A＝{a，b}，此时只有1种分拆；②当A1为单元素集时，A1＝{a}，A2＝{b}或A2＝{a，b}；A1＝{b}，A2＝{a}或A2＝{a，b}．此时有4种分拆；③当A1为双元素集时，A1＝A＝{a，b}，A2可取A的任何子集，此时有4种分拆．综上，共有9种分拆． 9 学科素养培优 24 (1)全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题．二者进行转化时，首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把结论否定． (2)通过含有量词的命题的否定及命题的真假可求参数的取值范围． 三、全称量词命题与存在量词命题 学科素养培优 25 (1)命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是(　　) A．∃x∈R，x2－2x＋1≤0 B．∃x∈R，x2－2x＋1≥0 C．∃x∈R，x2－2x＋1<0 D．∀x∈R，x2－2x＋1<0 解析　∵命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”为全称量词命题，∴命题的否定为“∃x∈R，x2－2x＋1<0”．故选C. 学科素养培优 26 (2)已知命题“∃x∈R，x2＋2x＋m＝0”是假命题，则实数m的取值范围是__________． 解析　因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m＝0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m≠0”是真命题，等价于方程x2＋2x＋m＝0无实根，所以Δ＝4－4m<0，解得m>1，即实数m的取值范围是(1，＋∞)． (1，＋∞) 学科素养培优 27 1．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件和结论之间的关系，解决此类问题的基本步骤是： (1)确定条件是什么，结论是什么； (2)把复杂的条件(结论)化简； (3)尝试从条件推结论，从结论推条件； (4)确定是什么条件． 四、充分条件与必要条件的判定 学科素养培优 28 2．判断充分条件、必要条件常用的方法 (1)直接用定义判断． (2)利用集合的关系判断 ①若A⊆B，就是x∈A则x∈B，则x∈A是x∈B的充分条件，x∈B是x∈A的必要条件； ②若AB，就是x∈A则x∈B，且B中至少有一个元素不属于A，则x∈A是x∈B的充分不必要条件，x∈B是x∈A的必要不充分条件； ③若A＝B，就是A⊆B且A⊇B，则x∈A是x∈B的充分条件，同时x∈A是x∈B的必要条件，即x∈A是x∈B的充要条件； ④若AB，A⊉B，则x∈A是x∈B的既不充分也不必要条件． 学科素养培优 29 (3)利用双箭头的传递性判断(或称图象法) 由于符号“⇒”“⇐”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递判断所要判断的两个条件之间的关系． 　　　　 (1)“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若x＝1，则x2－4x＋3＝0，是充分条件．若x2－4x＋3＝0，则x＝1或x＝3，不是必要条件．故选A. 学科素养培优 30 (2)设x∈R，则“2－x≥0”是“－1≤x－1≤1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由－1≤x－1≤1，得0≤x≤2，由2－x≥0，得x≤2.设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x≤2}．因为AB，所以“2－x≥0”是“－1≤x－1≤1”的必要不充分条件．故选B. 学科素养培优 31 解　△ABC为锐角三角形的充要条件为a2＋b2>c2. 证明：充分性：若a2＋b2>c2，则△ABC不是直角三角形，如 果△ABC为钝角三角形， 则∠C>90°，过点B作边AC的延长线的 垂线，垂足为D(如图①)， 由勾股定理知c2＝BD2＋(b＋CD)2＝BD2＋CD2＋b2＋2·CD·b＝a2＋b2＋2·CD·b>a2＋b2，矛盾，故△ABC为锐角三角形，即充分性成立． 设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则△ABC为直角三角形的充要条件是a2＋b2＝c2.试用边长a，b，c探究△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明． 学科素养培优 32 必要性：若△ABC为锐角三角形，过点A作边BC的垂线，垂足为D(如图②)， 由勾股定理知，c2＝AD2＋BD2＝AD2＋(a－CD)2＝b2－CD2＋(a－CD)2＝a2＋b2－2·CD·a<a2＋b2. 故必要性成立， 故△ABC为锐角三角形的充要条件为a2＋b2>c2. 学科素养培优 33 设p：实数x满足A＝{x|x≤3a或x≥a(a<0)}，q：实数x满足B＝{x| －4≤x<－2}，且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 学科素养培优 34 解　由已知α⇔β，γ⇒δ，δ⇔β，所以γ⇒δ⇔β⇔α，因此γ⇒α，所以γ是α的充分条件或α是γ的必要条件． 已知α是β的充要条件，δ是γ的必要条件，同时又是β的充要条件，试求α与γ的关系． 学科素养培优 35 1．数形结合思想 集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助维恩图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解． 五、数学思想方法 学科素养培优 36 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； (2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？ 学科素养培优 37 2．分类讨论思想 利用分类讨论思想解答分类讨论问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点问题．这是因为，其一，分类讨论问题一般都覆盖较多知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类讨论思想与技巧，因此有利于对学生能力的考查；其三，分类讨论问题常与实际问题相联系． 解分类讨论问题的实质是：整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，可以增加题设条件，这也是解分类讨论问题总的指导思想． 学科素养培优 38 已知集合A＝{x∈R|kx2－3x＋2＝0}． (1)若A＝∅，求实数k的取值范围； (2)若A是单元素集合，求k的值及集合A. 学科素养培优 39 学科素养培优 40 　　　　　　　　　　　　　 R (3)设全集U＝{x|x>0}，集合M＝{x|y＝eq \r(x－1)}，N＝{y|y＝x2＋4}，则(∁UM)∪(∁UN)＝___________，(∁UM)∩(∁UN)＝___________． 解析　因为U＝{x|x>0}，M＝{x|y＝eq \r(x－1)}＝{x|x≥1}，N＝{y|y＝x2＋4}＝{y|y≥4}，所以M∩N＝{x|x≥4}，M∪N＝{x|x≥1}，所以(∁UM)∪(∁UN)＝∁U(M∩N)＝{x|0<x<4}，(∁UM)∩(∁UN)＝∁U(M∪N)＝{x|0<x<1}． 解　①当B＝∅时，B⊆A，由Δ＝(－1)2－4p<0，解得p>eq \f(1,4). ②当B≠∅，且B⊆A时，方程x2－x＋p＝0存在两个正实根x1，x2. 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝（－1）2－4p≥0，,x1＋x2＝1>0，,x1x2＝p>0，))得0<p≤eq \f(1,4). 由①②可得，实数p的取值范围为{p|p>0}． 解　∵q是p的充分不必要条件，∴BA， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤－4，,a<0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a≥－2，,a<0，)) 解得－eq \f(2,3)≤a<0或a≤－4. ∴实数a的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)≤a<0或a≤－4)))). 解　(1)∵A＝{x|0≤x≤2}，∴∁RA＝{x|x<0或x>2}． ∵(∁RA)∪B＝R，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤0，,a＋3≥2，))∴－1≤a≤0. ∴a的取值范围为{a|－1≤a≤0}． (2)由(1)知(∁RA)∪B＝R时，－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3， ∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾，即这样的a不存在． 解　(1)若A＝∅，即方程kx2－3x＋2＝0无解．若k＝0，方程有一根x＝eq \f(2,3)，不符合题意；若k≠0，要使方程kx2－3x＋2＝0无解，则Δ＝9－8k<0，即k>eq \f(9,8). 故使A＝∅的实数k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,8)，＋∞)). (2)当k＝0时，由(1)可知A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，符合题意； 当k≠0时，要使方程有两个相等的实根， 则Δ＝9－8k＝0，所以k＝eq \f(9,8)，此时A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))). 综上所述，当k＝0时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))； 当k＝eq \f(9,8)时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))). $