专题06 圆（期末真题汇编，北京专用）九年级数学上学期北京版

专题06 圆 5大高频考点概览 考点01 垂径定理 考点02 圆心角、圆周角 考点03 点直线圆的位置关系 考点04 切线综合 考点05 弧长与扇形面积 地 城 考点01 垂径定理 一、单选题 1．(24-25九上·北京燕山·期末)如图，在平面直角坐标系中，点M坐标为，点A坐标为，以点M为圆心，为半径作，与y轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，，点D是的中点，连接，当线段取得最大值时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25九上·北京顺义区·期末)《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是 （填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． 3．(24-25九上·北京昌平区·期末)精美的瓷器易碎，修补的技艺--“锔瓷”便应运而生（如图1）．非凡的锔瓷技艺，以巧夺天工般的神奇“魔法”使得瓷器“破镜重圆”的同时，也让器物所附属的那份特定情感记忆得以传承，继续陪在人们身边．如图2一件圆形瓷器破坏了一部分，测得圆形瓷器的直径为，缺口A，B之间距离为，则的长为 ．                           4．(24-25九上·北京平谷区·期末)如图，在中，是的直径，C，D，E是上的点，如果，，那么的长为 ． 5．(24-25九上·北京房山区·期末)如图，为的弦，，为圆上的两个动点，记弦所对的圆心角度数为，弦所对的圆心角度数为． 若，给出如下四个结论： ①； ②若，则； ③若为弧的中点，则； ④． 上述结论中一定正确的有 （填写所有正确结论的序号）． 6．(24-25九上·北京密云区·期末)如图，是的内接正六边形，，则该正六边形的边心距为 ． 三、解答题 7．(24-25九上·北京石景山区·期末)小慧家的圆形桌面被损坏，残留下的一部分如图所示．小慧想重新配块同样大小的圆形桌面，进行了如下操作：首先在残留桌面的圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，其次测量出，，请帮助小慧求出此圆形桌面的半径． 8．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图，P为外一点，过点P作的切线，切点为A，连接交于点B，C为上一点，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 9．(24-25九上·北京门头沟区·期末)如图，在中，是直径，是弦，于点E，，．求的半径．    10．(24-25九上·北京通州区·期末)如图，在中，，O是的中点，到点O的距离等于的所有点组成图形G，图形G与边交于点D，过点D作于点E． (1)依题意补全图形，判断直线与图形G的公共点个数并加以证明； (2)延长线交图形G于点F，如果，，求的长． 11．(24-25九上·北京房山区·期末)如图，是直径，是的一条弦，且于点E，连接和． (1)求证：； (2)若，求的半径． 12．(24-25九上·北京密云区·期末)如图，是的直径，是的弦，于E． (1)求证：； (2)若，，求的半径长． 地 城 考点02 圆心角、圆周角 一、单选题 1．(24-25九上·北京燕山·期末)如图，在中，C是的中点，点D是上一点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京昌平区·期末)如图，是上的三个点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·北京顺义区·期末)如图，在中，，为上两点，为的直径．如果，那么为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图，是的直径，，是上两点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·北京平谷区·期末)如图，点A、B、C为上三点，，，弧的长是（　　） A． B． C． D． 6．(24-25九上·北京门头沟区·期末)如图，点A，B，C在上，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·北京昌平区·期末)如图，的半径为为直径，过中点作交于点，连接，点为半圆上一动点，连接，过点作，交的延长线于点．有如下描述 ①； ②当点由点向点运动时，的长增大； ③； ④最长时为6． 以上描述正确的有（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①③④ 8．(24-25九上·北京通州区·期末)如图，已知及外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论： ①点A是的中点； ②直线，都是的切线； ③点P到点Q、点R的距离相等； ④连接，，，，，则． 对上述结论描述正确的是（    ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②③正确 D．①②③④都正确 二、填空题 9．(24-25九上·北京燕山区·期末)如图，在中，AB为定弦，C，D为圆上动点，记弦AB所对的圆心角度数是，弦CD所对的圆心角度数是．若，则 ①； ②若，则； ③若B为弧AD的中点，则； ④． 上述选项中正确的是 ．（填写所有正确选项的序号） 10．(24-25九上·北京密云区·期末)如图，是的内接四边形，，则的大小是 ．    11．(24-25九上·北京房山区·期末)下面是“过圆外一点作圆的切线”的作图过程． 已知：和外一点． 求作：过点的的切线． 作法：如图， （1）连接； （2）作线段的中点，以为圆心，以为半径作，与交于两点和； （3）作直线，． 直线和直线是的两条切线． 证明：连接，． ∵是直径，点在上， ∴ ， 又∵点在上， ∴直线是的切线( )（填推理的依据）． 同理可证直线是的切线． 三、解答题 12．(24-25九上·北京通州区·期末)如图，在中，． 求作：射线，使得． 小靖同学的作法如下： ①以点为圆心，长为半径画圆，延长交于点； ②作的角平分线交于点； ③作射线． 所以射线即为所求． 请你依据小靖同学设计的尺规作图过程，完成下列问题： (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明 证明：连接，，点在上． 是的直径，______（______）（填推理依据） 平分，．， （______）（填推理依据）． ，．（______）（填推理依据）．． 13．(24-25九上·北京石景山区·期末)下面是小石设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及外一点P． 求作：直线和直线，使得切于点A，切于点B．    作法：如图， ① 连接，作线段的垂直平分线，交于点Q ； ② 以点Q为圆心，的长为半径作圆，交于点A和点B； ③ 作直线和直线． 所以直线和就是所求作的直线． 根据小石设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． ∵是的直径， ∴ （ ）（填推理的依据）． ∴． ∵为的半径， ∴是的切线（ ）（填推理的依据）． 14．(24-25九上·北京顺义区·期末)数学课上，老师提出如下问题： 已知：如图，是的直径，射线交于点． 求作：的中点． 小华的作法： ①在射线上截取，使； ②连接，交于点． 所以点就是所求作的点． (1)按照小华的作法，补全图形； (2)补全下面的证明． 证明：连接， 是的直径， ______（   ）（填推理依据）． ， ． ______． 点为的中点． 15．(24-25九上·北京燕山区·期末)下面是圆周角定理的证明过程，选择情况或情况，补全该情况的证明过程． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 已知：在中，所对的圆周角为，圆心角为． 求证：． 证明：情况：如图，当点在的一边上时： ， ． ， ． 即． 情况：如图，当点在的内部时： 情况：如图，当点在的外部时： 地 城 考点03 点直线圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25九上·北京通州区·期末)如图，是的直径，点在的延长线上，切于点，如果，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京昌平区·期末)如图，是的内切圆，切点分别是，则的周长为（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 3．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图，是的内切圆，切点分别为，，．若，，则的周长为（    ） A．16 B．23 C．25 D．32 4．(24-25九上·北京密云区·期末)如图，的半径长为1，，分别与相切于A，B两点，，则劣弧的长度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25九上·北京密云区·期末)已知的半径是2，点P在内，则 2（填“>”或“<”）． 6．(24-25九上·北京通州区·期末)已知的直径为，如果在所在平面内有一点P且，那么点P在 ．（填内、外或上） 7．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图，在中，，，，的半径为1，P为线段上一点，过点P作的切线，切点为C，连接交于点D，连接． （1）当点P与点A重合时，的值为 ； （2）当弦CD的长最小时，的值为 ． 8．(24-25九上·北京房山区·期末)下面是“过圆外一点作圆的切线”的作图过程． 已知：和外一点． 求作：过点的的切线． 作法：如图， （1）连接； （2）作线段的中点，以为圆心，以为半径作，与交于两点和； （3）作直线，． 直线和直线是的两条切线． 证明：连接，． 是直径，点在上， °． ． 又点在上， 直线是的切线( )（填推理的依据）． 同理可证直线是的切线． 地 城 考点04 切线综合 一、单选题 1．(24-25九上·北京密云区·期末)如图，A，B是平面内两定点，C，D是平面内两动点，且满足，．下列说法中，①A，B，C，D四点一定在同一个圆上；②若，则A，B，C，D四点一定在同一个圆上；③若，则四边形的各边一定都与某一个圆相切；④存在四边形既有外接圆，又有内切圆．所有正确说法的序号是（   ）    A．①② B．②④ C．②③④ D．①②③④ 二、解答题 2．(24-25九上·北京燕山·期末)如图，是的直径，过点作的切线，点、、分别为的三等分点，连接，，，延长交于点，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的面积． 3．(24-25九上·北京门头沟区·期末)如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． (1)求证∶是的切线； (2)当，时，求的长． 4．(24-25九上·北京密云区·期末)如图，是的直径，是的弦，延长至，，过作交于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求长． 5．(24-25九上·北京昌平区·期末)如图，直径为，点为上的两个点，，过点的直线交延长线于点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接，若，求的长． 6．(24-25九上·北京顺义区·期末)如图，点为外一点，过点作的切线和，切点分别是点和点，连接，直线与交于点和点，交于点，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 7．(24-25九上·北京平谷区·期末)如图，已知中，，点D是边上一点，连接，以为直径画，与边交于点E，与边交于点F，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 8．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图，P为外一点，过点P作的切线，切点为A，连接交于点B，C为上一点，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 9．(24-25九上·北京燕山区·期末)如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结交于点G，连结． (1)求证：． (2)若，，求的长． 地 城 考点05 弧长与扇形面积 一、单选题 1．(24-25九上·北京顺义区·期末)如图，一块正方形的木板，边长为，将该木板在同一平面内沿水平线无滑动翻滚两次，则点从开始到结束所经过的路径长度为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京房山区·期末)已知圆的半径为9，那么的圆心角所对的弧长是（   ） A．4 B．8 C． D． 3．(24-25九上·北京石景山区·期末)半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25九上·北京门头沟区·期末)用一个半径为1的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ． 三、解答题 5．(24-25九上·北京昌平区·期末)如图，是边长为的正方形的外接圆． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的扇形面积． 6．(24-25九上·北京房山区·期末)中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来中国有“制扇王国”之称．如图，已知折扇的骨柄长为a，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为，求折扇的扇面面积．（用含a的代数式表示） 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆 5大高频考点概览 考点01 垂径定理 考点02 圆心角、圆周角 考点03 点直线圆的位置关系 考点04 切线综合 考点05 弧长与扇形面积 地 城 考点01 垂径定理 一、单选题 1．(24-25九上·北京燕山·期末)如图，在平面直角坐标系中，点M坐标为，点A坐标为，以点M为圆心，为半径作，与y轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，，点D是的中点，连接，当线段取得最大值时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形中位线的性质得到当为直径（过圆心M）时，最大；然后延长与圆交于点，连接；再由圆周角定理可得，然后由垂径定理得到、求解、，最后求出线段的中点坐标即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，点M坐标为，点A坐标为， ∴，， ∵点D是的中点， ∴且， ∴最大时，即当为直径（过圆心M）时，最大； 如图：延长与圆交于点，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， ∵的中点，， ∴的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理、垂径定理、三角形的中位线、勾股定理、线段的中点等知识，将求线段最大时D的坐标转换成求最大时点D的坐标是解答本题的关键． 二、填空题 2．(24-25九上·北京顺义区·期末)《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是 （填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． 【答案】②③ 【分析】本题考查了圆的认识，根据圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合解答即可． 【详解】解：由圆的定义可得，圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等且圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上， ∴能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是②③． 故答案为：②③． 3．(24-25九上·北京昌平区·期末)精美的瓷器易碎，修补的技艺--“锔瓷”便应运而生（如图1）．非凡的锔瓷技艺，以巧夺天工般的神奇“魔法”使得瓷器“破镜重圆”的同时，也让器物所附属的那份特定情感记忆得以传承，继续陪在人们身边．如图2一件圆形瓷器破坏了一部分，测得圆形瓷器的直径为，缺口A，B之间距离为，则的长为 ．                           【答案】 【分析】本题主要考查弧长计算公式，垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，设圆心为O，过点O作于点C，连接，，先求出，得出，然后求出，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：设圆心为O，连接，过点O作于点C，连接，，如图所示： ∵，O为圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 4．(24-25九上·北京平谷区·期末)如图，在中，是的直径，C，D，E是上的点，如果，，那么的长为 ． 【答案】8 【分析】此题考查了垂径定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点O作，垂足分别是H，F，由垂径定理得到，，得到，证明，又由，即可证明，则，得到． 【详解】解：过点O作，垂足分别是H，F， 则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 5．(24-25九上·北京房山区·期末)如图，为的弦，，为圆上的两个动点，记弦所对的圆心角度数为，弦所对的圆心角度数为． 若，给出如下四个结论： ①； ②若，则； ③若为弧的中点，则； ④． 上述结论中一定正确的有 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了圆的性质、弧的度数、垂径定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握知识点推理是解题的关键． 根据圆的性质、等边对等角、三角形的内角和定理，表示出，，结合，即可证明①正确；将旋转到和拼合，使得和重合，由，得出，旋转后点、、在同一直线上，，求出，根据勾股定理即可证明④正确；根据等边三角形的判定与性质，推出，得出，根据“角所对的直角边是斜边的一半”，得出，结合勾股定理即可证明②正确；根据弧的中点，得出，则，结合垂径定理，推出时，，得出只有当时，③成立，综合得出答案即可． 【详解】解：∵，弦所对的圆心角度数为，弦所对的圆心角度数为， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故①正确， 如图，将旋转到和拼合，使得和重合， ∵，若， ∴，旋转后点、、在同一直线上，， 解得：， ∴，， 故④正确， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确， ∵若为弧的中点， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴只有当时，③成立， 故③不正确， 综上所述，一定正确的有①②④， 故答案为：①②④． 6．(24-25九上·北京密云区·期末)如图，是的内接正六边形，，则该正六边形的边心距为 ． 【答案】 【分析】过点O作交于点M，连接，证明是等边三角形，得出，由垂径定理求出，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：过点O作交于点M，连接， ∵六边形为正六边形， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， 即边心距为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，正六边形的性质，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题 7．(24-25九上·北京石景山区·期末)小慧家的圆形桌面被损坏，残留下的一部分如图所示．小慧想重新配块同样大小的圆形桌面，进行了如下操作：首先在残留桌面的圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，其次测量出，，请帮助小慧求出此圆形桌面的半径． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 设圆心为，连接,，设，由得，计算即可得到答案． 【详解】解：设所在圆的圆心为，半径为 ，连接，， ∵，是的垂直平分线， ∴点在直线上． ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 解得． 答：此圆形桌面的半径为． 8．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图，P为外一点，过点P作的切线，切点为A，连接交于点B，C为上一点，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由圆周角定理得到．根据得到．由等边对等角得到．则．即可证明结论； （2）过点O作于点E，，得到．由切线的性质得到．由，得到．则．得到．则，，由勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵点A，B，C在上， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：过点O作于点E，，    ∴． ∵过点P作的切线，切点为A， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴在中， ． 【点睛】此题考查了切线的性质定理、勾股定理、解直角三角形、垂径垂径定理、等边对等角、圆周角定理等知识，熟练掌握切线的性质定理和垂径定理是解题的关键． 9．(24-25九上·北京门头沟区·期末)如图，在中，是直径，是弦，于点E，，．求的半径．    【答案】13 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，设的半径为r，则，根据垂径定理可求出，再根据勾股定理得到关于r的方程，求出即可． 【详解】解：如图，连结，    ∵是直径，， ∴ ， 设的半径为r，则， 在中，， 由勾股定理得 ， ∴ ， 解得 ， ∴的半径为13． 10．(24-25九上·北京通州区·期末)如图，在中，，O是的中点，到点O的距离等于的所有点组成图形G，图形G与边交于点D，过点D作于点E． (1)依题意补全图形，判断直线与图形G的公共点个数并加以证明； (2)延长线交图形G于点F，如果，，求的长． 【答案】(1)补全图形见解析，直线与图形G（）只有一个公共点，或直线与相切，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线证明、垂径定理、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）由题意得图形G是以点O为圆心，为半径的圆；连接，可证直线与相切； （2）过点O作于点G．可得 ，推出四边形是矩形；根据 ，即可求解； 【详解】（1）解：补全图形； 结论：直线与图形G（）只有一个公共点，或直线DE与相切 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点D在图形G（）上， ∴直线与图形G（）只有一个公共点． （2）解：过点O作于点G． ∴ ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴（舍负）， ∴． 11．(24-25九上·北京房山区·期末)如图，是直径，是的一条弦，且于点E，连接和． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和解直角三角形． （1）先利用得到，再根据圆周角定理得到，然后利用等量代换得到结论； （2）先根据垂径定理得到，再根据正切的定义计算出，设的半径为r，则，在中利用勾股定理建立方程，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， 设的半径为r，则， 在中，， 则， 解得， 即的半径为3． 12．(24-25九上·北京密云区·期末)如图，是的直径，是的弦，于E． (1)求证：； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见详解 (2)5 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，利用垂径定理可得：，从而可得，然后利用圆周角定理可得：，从而可得，即可解答； （2）利用垂径定理可得：，然后设的半径为，在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ， 设的半径为， 在中，， ， 解得：， ∴的半径长为5． 地 城 考点02 圆心角、圆周角 一、单选题 1．(24-25九上·北京燕山·期末)如图，在中，C是的中点，点D是上一点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，弧、圆心角的关系，先根据圆周角定理求出的度数，然后根据弧、圆心角的关系求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴， 故选：C． 2．(24-25九上·北京昌平区·期末)如图，是上的三个点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”求解即可． 【详解】解：，， ， 故选：B． 3．(24-25九上·北京顺义区·期末)如图，在中，，为上两点，为的直径．如果，那么为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 由，根据圆周角定理得出，再利用邻补角的性质即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图，是的直径，，是上两点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了本题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质．首先根据直径所对的圆周角是直角可知，根据圆周角定理可知，根据圆内接四边形的对角互补可以求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接， 是的直径， ， 又， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 故选： B． 5．(24-25九上·北京平谷区·期末)如图，点A、B、C为上三点，，，弧的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，以及弧长公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识．利用圆周角定理得到，再结合弧长公式求解，即可解题． 【详解】解：，， ， ， 弧的长是， 故选：A． 6．(24-25九上·北京门头沟区·期末)如图，点A，B，C在上，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接根据圆周角定理求解． 【详解】解：， ． 故选：B． 7．(24-25九上·北京昌平区·期末)如图，的半径为为直径，过中点作交于点，连接，点为半圆上一动点，连接，过点作，交的延长线于点．有如下描述 ①； ②当点由点向点运动时，的长增大； ③； ④最长时为6． 以上描述正确的有（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了直径所对的圆周角、圆内接四边形、相似三角形的性质与判定以及由特殊角三角函数值，求特殊角等知识． 根据连，根据直径所对的圆周角得到，故①正确，再由 ，半径长为，利用锐角三角函数求，再由圆周角定理求出，由圆内接四边形的知识证明得到，推出，，故③正确，进而推出判断②④错误，则问题可解． 【详解】解：连， ∵为直径， ∴，故①正确， ∵ ，半径长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意，四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，故③正确， ∴， ∴当点由点向点运动时，当过圆心O时，的长最大， 此时，，故④错误， 随着点继续向运动，的长度逐渐减小，故②错误， 故选：C 8．(24-25九上·北京通州区·期末)如图，已知及外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论： ①点A是的中点； ②直线，都是的切线； ③点P到点Q、点R的距离相等； ④连接，，，，，则． 对上述结论描述正确的是（    ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②③正确 D．①②③④都正确 【答案】C 【分析】由第一步作图痕迹可知直线是的垂直平分线，由此可判断①正确；根据直径所对的圆周角等于，可判断②正确；根据切线长定理可判断③正确；先证明，由此可得，进而可得，因此可判断④错误． 【详解】 由第一步作图痕迹可知直线是的垂直平分线，因此点A是的中点， 故①正确； ∵是的直径， ， ，， ∴直线，都是的切线， 故②正确； 直线，都是的切线，根据切线长定理，可知 ， 故③正确； ，，， ， ∴， ∴． ∵点A是的中点， ， 故④错误． 故选：C 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图法、圆周角定理、切线的判定以及切线长定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题 9．(24-25九上·北京燕山区·期末)如图，在中，AB为定弦，C，D为圆上动点，记弦AB所对的圆心角度数是，弦CD所对的圆心角度数是．若，则 ①； ②若，则； ③若B为弧AD的中点，则； ④． 上述选项中正确的是 ．（填写所有正确选项的序号） 【答案】①②④． 【分析】根据圆等弧对等角、等腰三角形的性质、勾股定理逐项判断即可． 【详解】 ①∵， ∴ ∴ 故①正确； ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ 根据特殊三角函数可得 ∴， 故②正确； ③延长CO，交圆于点E ∵B为弧AD的中点， ∴ ∵ ∴ 假设，根据等腰三角形得性质可得 ∴ 只有当才能成立， 故③不一定正确； ④延长CO，交圆于点E，连接DE ∵， ∴， ∴， ∵CE是直径 ∴ 根据勾股定理可得 ∴ 故④正确 故答案为：①②④． 【点睛】此题考查了圆的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键熟悉圆的性质并会应用． 10．(24-25九上·北京密云区·期末)如图，是的内接四边形，，则的大小是 ．    【答案】/20度 【来源】北京市密云区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的应用，等腰三角形的性质．首先根据圆内接四边形的对角互补，得．再根据圆周角定理，得，由，推出计算即可解答． 【详解】解：∵是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11．(24-25九上·北京房山区·期末)下面是“过圆外一点作圆的切线”的作图过程． 已知：和外一点． 求作：过点的的切线． 作法：如图， （1）连接； （2）作线段的中点，以为圆心，以为半径作，与交于两点和； （3）作直线，． 直线和直线是的两条切线． 证明：连接，． ∵是直径，点在上， ∴ ， 又∵点在上， ∴直线是的切线( )（填推理的依据）． 同理可证直线是的切线． 【答案】 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】本题考查了切线的判定、直径所对圆周角是直角，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 根据作图，直径所对圆周角是直角，得出，根据经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，即可得证直线是的切线，据此得出答案即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵是直径，点在上， ∴， 又∵点在上， ∴直线是的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 故答案为：；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 三、解答题 12．(24-25九上·北京通州区·期末)如图，在中，． 求作：射线，使得． 小靖同学的作法如下： ①以点为圆心，长为半径画圆，延长交于点； ②作的角平分线交于点； ③作射线． 所以射线即为所求． 请你依据小靖同学设计的尺规作图过程，完成下列问题： (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明 证明：连接，，点在上． 是的直径，______（______）（填推理依据） 平分，．， （______）（填推理依据）． ，．（______）（填推理依据）．． 【答案】(1)图见解析 (2)，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的圆心角相等，三线合一 【分析】（1）按照所给作法以及角平分线的尺规作图法补全图形即可； （2）由直径所对的圆周角是直角可得，由相等的圆周角所对的弧相等可得，由等弧所对的圆心角相等可得，由三线合一可得，然后由垂直于同一直线的两直线平行即可得出结论． 【详解】（1）解：使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）如下： （2）证明：连接，， ，点在上． 是的直径，（直径所对的圆周角是直角）（填推理依据） 平分，．， （等弧所对的圆心角相等）（填推理依据）． ，．（三线合一）（填推理依据）．． 故答案为：，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的圆心角相等，三线合一． 【点睛】本题主要考查了作角平分线（尺规作图），画出直线、射线、线段，直径所对的圆周角是直角，角平分线的有关计算，利用弧、弦、圆心角的关系求证，根据三线合一证明，垂直于同一直线的两直线平行等知识点，熟练掌握基本的尺规作图方法和技巧是解题的关键． 13．(24-25九上·北京石景山区·期末)下面是小石设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及外一点P． 求作：直线和直线，使得切于点A，切于点B．    作法：如图， ① 连接，作线段的垂直平分线，交于点Q ； ② 以点Q为圆心，的长为半径作圆，交于点A和点B； ③ 作直线和直线． 所以直线和就是所求作的直线． 根据小石设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． ∵是的直径， ∴ （ ）（填推理的依据）． ∴． ∵为的半径， ∴是的切线（ ）（填推理的依据）． 【答案】(1)见解析 (2)；直径所对的圆周角是直角； 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质、圆周角定理、切线的判定定理，解本题的关键在理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意，画出图形即可； （2）根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据垂线的定义，得出，，再根据切线的判定定理，即可得出结论． 【详解】（1）解：如下图即为所求；    （2）证明：∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角）． ∴，． ∵，是的半径， ∴，是的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 14．(24-25九上·北京顺义区·期末)数学课上，老师提出如下问题： 已知：如图，是的直径，射线交于点． 求作：的中点． 小华的作法： ①在射线上截取，使； ②连接，交于点． 所以点就是所求作的点． (1)按照小华的作法，补全图形； (2)补全下面的证明． 证明：连接， 是的直径， ______（   ）（填推理依据）． ， ． ______． 点为的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．也考查了圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）连接，根据圆周角定理的推论，再根据等腰三角形的性质得到，所以． 【详解】（1）解：如图，点为所作； （2）证明：连接， ∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角）， ∵， ∴， ∴， ∴点D为的中点． 故答案为：90°，直径所对的圆周角为直角，． 15．(24-25九上·北京燕山区·期末)下面是圆周角定理的证明过程，选择情况或情况，补全该情况的证明过程． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 已知：在中，所对的圆周角为，圆心角为． 求证：． 证明：情况：如图，当点在的一边上时： ， ． ， ． 即． 情况：如图，当点在的内部时： 情况：如图，当点在的外部时： 【答案】见解析 【来源】北京市第四中学2022~2023学年九年级下学期开学考试数学试题 【分析】情况、连接，延长交于点，根据等边对等角可知、，根据三角形外角的性质可知； 情况、连接并延长，交于点，根据等边对等角可知、，根据三角形外角的性质可知、，因为，所以可知，可证结论成立． 【详解】解：选择情况，证明过程如下： 连接，延长交于点， ， ， 又 ， ， ， ， 又 ， ， ， ； 选择情况，证明过程如下图所示， 连接并延长，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、圆的基本性质、圆周角定理，解决本题的关键是添加辅助线构造等腰三角形，根据等边对等角找到相等的角，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得到圆心角与圆周角之间的关系． 地 城 考点03 点直线圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25九上·北京通州区·期末)如图，是的直径，点在的延长线上，切于点，如果，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，连接，由切线的性质得，根据等腰三角形的性质得，通过外角性质可得，则，最后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．(24-25九上·北京昌平区·期末)如图，是的内切圆，切点分别是，则的周长为（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出，是解题的关键． 由切线长定理得，，，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：与、、分别相切于点、、，，， ，，， ， ， 的周长为10， 故选：D． 3．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图，是的内切圆，切点分别为，，．若，，则的周长为（    ） A．16 B．23 C．25 D．32 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，由切线长定理得，，，即可求解；掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：是的内切圆，切点分别为，，， ， ， ， 的周长为： ； 故选：D． 4．(24-25九上·北京密云区·期末)如图，的半径长为1，，分别与相切于A，B两点，，则劣弧的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长的计算，多边形内角与外角及切线的性质，熟知切线的性质及弧长的计算公式是解题的关键． 根据切线的性质，求出和的度数，再结合的度数，得出的度数，最后借助于弧长公式即可解决问题． 【详解】解：∵分别与相切于两点， ， 又， ， 又∵的半径长为1， ∴劣弧的长度为：． 故选：B． 二、填空题 5．(24-25九上·北京密云区·期末)已知的半径是2，点P在内，则 2（填“>”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的关系，解题关键是熟知点与圆的三种关系． 根据点与圆的三种关系即可判断得到答案． 【详解】解：∵的半径为2，点在内， ， 故答案为：． 6．(24-25九上·北京通州区·期末)已知的直径为，如果在所在平面内有一点P且，那么点P在 ．（填内、外或上） 【答案】外 【分析】本题主要考查点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据直径求出半径，即可判断出点和圆的位置关系． 【详解】解：的直径为， 的半径为， ， 故点P在外． 故答案为：外． 7．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图，在中，，，，的半径为1，P为线段上一点，过点P作的切线，切点为C，连接交于点D，连接． （1）当点P与点A重合时，的值为 ； （2）当弦CD的长最小时，的值为 ． 【答案】 /0.25 【分析】本题考查了切线的性质、三角函数的定义、勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质可得，当点P与点A重合时，，根据三角函数的定义即可求出的值； （2）连接，根据切线的性质可得，根据三角函数的定义和勾股定理分析可得当弦CD的长最小时，最小；由垂线段最短性质得，当时，有最小值，求出此时的长，即可求出的值． 【详解】解：（1）连接， 过点P作的切线，切点为C， ， ， 当点P与点A重合时，， ． 故答案为：． （2）连接， ，，， ， 过点P作的切线，切点为C， ， ， 当弦CD的长最小时，圆心角也最小， ， 当最小时，最小，即最小， 又在中，， 当最小时，最小， 当弦CD的长最小时，最小， 由垂线段最短性质得，当时，有最小值， 此时， ， 当弦CD的长最小时，的值为． 故答案为：． 8．(24-25九上·北京房山区·期末)下面是“过圆外一点作圆的切线”的作图过程． 已知：和外一点． 求作：过点的的切线． 作法：如图， （1）连接； （2）作线段的中点，以为圆心，以为半径作，与交于两点和； （3）作直线，． 直线和直线是的两条切线． 证明：连接，． 是直径，点在上， °． ． 又点在上， 直线是的切线( )（填推理的依据）． 同理可证直线是的切线． 【答案】 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】本题考查作图—复杂作图、圆周角定理、切线的判定，根据圆周角定理、切线的判定定理填空即可． 【详解】证明：连接，． 是直径，点在上， ． ． 又点在上， 直线是的切线（经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 同理可证直线是的切线． 故答案为：90；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 地 城 考点04 切线综合 一、单选题 1．(24-25九上·北京密云区·期末)如图，A，B是平面内两定点，C，D是平面内两动点，且满足，．下列说法中，①A，B，C，D四点一定在同一个圆上；②若，则A，B，C，D四点一定在同一个圆上；③若，则四边形的各边一定都与某一个圆相切；④存在四边形既有外接圆，又有内切圆．所有正确说法的序号是（   ）    A．①② B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由，证明四边形是平行四边形，可知四点不一定在同一个圆上，可判断①错误；由四边形是平行四边形，，证明四边形是矩形，则四点都在为直径的同一个圆上，可判断②正确；由四边形是平行四边形，，证明四边形是菱形，设交于点，过点分别作各边的垂线，垂足分别为点，可证明，则，同理，可知以点为圆心，以长为半径的圆与菱形的各边都相切，可判断③正确；当四边形是正方形时，该四边形既有外接圆，又有内切圆，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平行四边形的对角不一定互补， ∴四点不一定在同一个圆上，故①错误； ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴四点都在为直径的同一个圆上，故②正确； ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 如图，设交于点，过点分别作各边的垂线，垂足分别为点，     ， ， ， 同理， ， ∴以点为圆心，以长为半径的圆与菱形的各边都相切， ∴四边形的各边一定都与某一个圆相切，故③正确； ∵是平面内两定点，是平面内两动点，且四边形是平行四边形， ∴四边形可能是正方形， ∵正方形既有外接圆，又有内切圆， ∴存在四边形既有外接圆，又有内切圆，故④正确， 故选：C． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定与性质，与圆有关的位置关系等知识，正确理解平行四边形与特殊平行四边形的区别与联系是解题的关键． 二、解答题 2．(24-25九上·北京燕山·期末)如图，是的直径，过点作的切线，点、、分别为的三等分点，连接，，，延长交于点，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定、三角形的外心、圆切线的性质、平行线的判定，等边三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是直角、勾股定理、含角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点推理是解题的关键． （1）根据三等分点，得出，内接于，推出，点是的外心，得出，根据切线的性质，得出，根据“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”，即可得证； （2）连接，由（1）得，，，得出是等边三角形，，得出，计算出角度，，根据“直径所对的圆周角是直角”，得出，求出，根据“角所对的直角边是斜边的一半”，结合勾股定理，推出，，根据三角形面积公式，计算，得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵点、、为的三等分点， ∴，内接于， ∴，点是的外心， ∴点、在线段的垂直平分线上， ∴， ∵过点作的切线， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵由（1）得：，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴，， 又∵在中，， ∴，， ∴在中，． 3．(24-25九上·北京门头沟区·期末)如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． (1)求证∶是的切线； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】连结，根据圆周角定理可知，根据可知，利用等量代换可得，从而可证，所以可得是的切线； 根据相似三角形对应边成比例可得，所以可知，根据平分可证，根据直径所对的圆周角是直角可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可以求出的长度． 【详解】（1）证明∶如下图所示，连结， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解∶，， ， ， ， ， ， 如下图所示，连结， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用圆的性质找角之间的关系． 4．(24-25九上·北京密云区·期末)如图，是的直径，是的弦，延长至，，过作交于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）设交于，连接，根据三角形的内角和定理得到，根据圆周角定理得到，推出是等边三角形，得到，，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ，， 是的中位线 ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：设交于，连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，，， ， ， ，， ， ， ． 5．(24-25九上·北京昌平区·期末)如图，直径为，点为上的两个点，，过点的直线交延长线于点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：根据直径所对的圆周角是直角可得出，根据等边对等角可得出，然后结合已知可得出，最后根据切线的判定即可得证； 方法二：根据等边对等角和三角形内角和定理可得出，结合已知可得出，则，根据切线的判定即可得证； （2）方法一：连接，过点作于点．根据勾股定理可求出，根据圆周角定理并结合已知可得出，根据正切的定义可求出，即可求解； 方法二：过点作的垂线段，连接．判断，根据正切的定义可求出．证明．得出．最后在中，根据勾股定理求解即可； 方法三：连接交于点，连接．根据正切的定义可求出，根据圆周角定理，根据等边对等角可求，进而求出，根据勾股定理可求和，即可求解． 【详解】（1）证明∶方法一： 连接． 是直径， ． ． ， ． ， ． ． 是的切线． 方法二： ， ． ， ． ． ． 是的切线． （2）解：方法一： 连接，过点作于点． ． 在中，． ． ， ． ． ． 方法二： 过点作的垂线段，连接． ， ． ． 在和中， ． ． 在中，． 方法三： 连接交于点，连接． ， 又， ． ， ， 又， ，， ，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理以及推论，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键． 6．(24-25九上·北京顺义区·期末)如图，点为外一点，过点作的切线和，切点分别是点和点，连接，直线与交于点和点，交于点，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线长的性质可证，得到，由等腰三角形的定义即可求解； （2）连接，可得，由全等三角形的性质可得，则，可得，根据同弧所对圆周角相等可得，则有，设，则，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：，是的切线， ， ∴平分， ． 在和中， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：连接， 是的直径， ， ， ． ， 又， ， ，平分， ， ， ， 设，则，有， 即， 解得：（负根舍去），即． 【点睛】本题主要考查切线的性质，切线长的性质，直径对的圆周角是直角，等腰三角形的判定和性质，三角函数的计算，勾股定理等知识的综合运用，掌握切线及切线长的性质，三角函数的计算方法是解题的关键． 7．(24-25九上·北京平谷区·期末)如图，已知中，，点D是边上一点，连接，以为直径画，与边交于点E，与边交于点F，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由为的直径得，由等边对等角和等量代换得，结合可证，进而可证为的切线； （2）证明得，求出，由勾股定理得求出，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴为的切线 （2）∵为的切线 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 由勾股定理得， ∵ ∴ 由勾股定理得， 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边对等角，解直角三角形，以及勾股定理等知识，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 8．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图，P为外一点，过点P作的切线，切点为A，连接交于点B，C为上一点，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由圆周角定理得到．根据得到．由等边对等角得到．则．即可证明结论； （2）过点O作于点E，，得到．由切线的性质得到．由，得到．则．得到．则，，由勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵点A，B，C在上， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：过点O作于点E，，    ∴． ∵过点P作的切线，切点为A， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴在中， ． 【点睛】此题考查了切线的性质定理、勾股定理、解直角三角形、垂径垂径定理、等边对等角、圆周角定理等知识，熟练掌握切线的性质定理和垂径定理是解题的关键． 9．(24-25九上·北京燕山区·期末)如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结交于点G，连结． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）连结，求出直径的长，即得半径，求出，由（1）知，再求出，利用勾股定理求出，根据垂径定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连结， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵直径， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形全等的判定与性质，垂径定理，勾股定理．熟练掌握圆的基本性质、三角形全等的判定定理是解题的关键． 地 城 考点05 弧长与扇形面积 一、单选题 1．(24-25九上·北京顺义区·期末)如图，一块正方形的木板，边长为，将该木板在同一平面内沿水平线无滑动翻滚两次，则点从开始到结束所经过的路径长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算：弧长 ， （为正整数）为弧所对的圆心角的度数，为圆的半径）．也考查了正方形和旋转的性质． 由题意得到B点经过的路径有两段，其中一段以为半径，圆心角为的弧长，另一段是以为半径，圆心角为的弧长，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：点经过的路径如图， 因为正方形的边长为， ∴， 所以B点所经过的路径长． 故选：C． 2．(24-25九上·北京房山区·期末)已知圆的半径为9，那么的圆心角所对的弧长是（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查弧长的计算，掌握弧长计算公式是正确解决问题的关键． 根据弧长公式计算即可． 【详解】解∶ ， 故选∶D． 3．(24-25九上·北京石景山区·期末)半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了扇形弧长的计算，注意掌握扇形的弧长公式是解题关键． 根据题意可以利用扇形弧长公式直接计算． 【详解】解：根据题意得出：， 故选：A． 二、填空题 4．(24-25九上·北京门头沟区·期末)用一个半径为1的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查圆锥与扇形之间的关系，一元一次方程的应用，熟练掌握圆锥与扇形之间的关系是解题关键． 先求出扇形的弧长，然后根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥的底面圆的半径为r，列出方程求解即可得． 【详解】解：∵半径为1的半圆的弧长为：， ∴围成的圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为r， 则：， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 5．(24-25九上·北京昌平区·期末)如图，是边长为的正方形的外接圆． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的扇形面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）由是边长为的正方形的外接圆，则，然后用勾股定理即可求解； （）由扇形的面积公式即可求解； 本题考查了正多边形和圆，扇形的面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴， 又∵， ∴在中，， ∴，即， ∴（负值舍去）； （2）解：由（）得：，， ∴． 6．(24-25九上·北京房山区·期末)中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来中国有“制扇王国”之称．如图，已知折扇的骨柄长为a，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为，求折扇的扇面面积．（用含a的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查列代数式，扇形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据图形可知：折扇的扇面面积大扇形的面积小扇形的面积，然后代入数据计算即可． 【详解】解：由图可得，折扇的扇面面积为： ． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $