第4章 2.1 对数的运算性质-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦对数的运算性质，从对数定义出发，通过评价自测中的判一判、做一做搭建学习支架，衔接对数概念与运算应用，帮助学生掌握积、商、幂的对数运算规则及成立条件。 其亮点在于分层设计，通过概念辨析（易错式判断）、题型示例（条件等式求值、对数方程求解）培养数学思维（推理转化）和数学语言（符号运算）能力，如例2用换底公式转化条件求值，助力学生提升运算推理能力，为教师提供系统教学资源。

第四章　对数运算与 对数函数 §2　对数的运算 2.1　对数的运算性质 (教师独具内容) 课程标准：掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件． 教学重点：对数的运算性质． 教学难点：对数运算性质的应用． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 logaM＋logaN logaM－logaN blogaM 核心概念掌握 5 核心概念掌握 6 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．(　　) (2)loga(xy)＝logax·logay.(　　) (3)log2(－5)2＝2log2(－5)．(　　) √ × × 核心概念掌握 7 log35 3 4 核心概念掌握 8 核心素养形成 题型一　对数运算性质的应用 核心素养形成 10 核心素养形成 11 核心素养形成 12 核心素养形成 13 核心素养形成 14 题型二　条件等式求值 已知log189＝a，18b＝5，试用a，b表示log3645. 核心素养形成 15 【感悟提升】　条件等式求值的技巧 (1)根据题意通常要先进行指数式与对数式的互化． (2)对等式两边取对数是一种常用的技巧，一般地说，给出的等式是以指数形式出现时，常用此法，值得一提的是，在取对数时，要注意对底数的合理选取． 核心素养形成 16 核心素养形成 17 题型三　解与对数方程有关的问题 解　(1)由log5(2x＋1)＝log5(x2－2)得2x＋1＝x2－2，即x2－2x－3＝0， 解得x＝－1或x＝3. 经检验知，当x＝－1时，2x＋1<0，x2－2<0，不满足真数大于0，舍去； 当x＝3时，2x＋1>0，x2－2>0，符合题意． 故x＝3. 解下列关于x的方程： (1)log5(2x＋1)＝log5(x2－2)； (2)(lg x)2＋lg x3－10＝0； (3)10(lg x)2＋xlg x＝20. 核心素养形成 18 核心素养形成 19 【感悟提升】　 (1)解对数方程的实质是转化，通过指数式与对数式的互化、换元等方法，将对数方程转化为代数方程进行求解． (2)去掉对数符号，将原方程转化为一元二次方程后，会扩大x的取值范围，因此在解对数方程时要注意对结果进行检验． 核心素养形成 20 【跟踪训练】 3．(1)方程log2(2－x)＋log2(3－x)＝log212的解x＝____． －1 核心素养形成 21 (2)方程log2(9x－1－5)＝log2(3x－1－2)＋2的解为________． 解析：∵log2(9x－1－5)＝log2(3x－1－2)＋2，∴log2(9x－1－5)＝log2[4(3x－1－2)]，∴9x－1－5＝4(3x－1－2)．化简为(3x)2－12·3x＋27＝0，即(3x－3)(3x－9)＝0，∴3x＝3或3x＝9，解得x＝1或x＝2.经过验证，x＝1不满足条件，舍去．∴x＝2. x＝2 核心素养形成 22 随堂水平达标 随堂水平达标 1 2 3 4 5 24 2．2log510＋log50.25＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 25 随堂水平达标 1 2 3 4 5 26 lg 2 随堂水平达标 1 2 3 4 5 27 随堂水平达标 1 2 3 4 5 28 课后课时精练 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 30 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 31 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 32 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 33 5．(多选)下列等式不成立的是(　　) A．ln e＝1 B．log31＝0 C．lg (MN)＝lg M＋lg N D．log2(－5)2＝2log2(－5) 解析：根据对数式的运算，可得ln e＝1，log31＝0，故A，B成立；取M＝－2，N＝－1，发现C不成立；log2(－5)2＝log252＝2log25，故D不成立．故选CD. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 34 1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 35 0 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36 8．若m>0，n＞0，mn＝nm，且m＝2n，则n＝____． 解析：若mn＝nm，则nlg m＝mlg n，又m＝2n，∴nlg 2n＝2nlg n，∴lg 2＋lg n＝2lg n，∴n＝2. 2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 37 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 38 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 39 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 40 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 41 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 42 12．1909年一位丹麦生物化学家提出溶液pH值，亦称氢离子浓度指数、酸碱值，是溶液中氢离子活度的一种标度，其中p源自德语，意思是浓度，H代表氢离子．pH的定义式为pH＝－lg c(H＋)，c(H＋)指的是溶液中氢离子浓度．若溶液甲中氢离子浓度为31622776.60168379，溶液乙中氢离子浓度为31622.77660168.则溶液甲的pH值与溶液乙的pH值的差约为多少？ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 43 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点　对数的运算性质 若a＞0，且a≠1，M ＞0，N＞0，b∈R，则对数运算具有如下运算性质： (1)loga(M·N)＝___________________； (2)logaeq \f(M,N)＝_________________； (3)logaMb＝__________． (1)推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Nk＞0，k∈N＋)． (2)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立，注意下列式子不一定成立：loga(M·N)＝logaM·logaN，loga(M±N)＝logaM±logaN，logaeq \f(M,N)＝eq \f(logaM,logaN)，logaMn＝(logaM)n. 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)log325－log35＝______． (2)lg 8＋3lg 5＝____． (3)计算：4lg 2＋3lg 5－lg eq \f(1,5)＝_____． ①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③loga(xy)＝logax·logay；④eq \f(logax,logay)＝logaeq \f(x,y)；⑤(logax)n＝logaxn；⑥logax＝－logaeq \f(1,x)；⑦eq \f(logax,n)＝logaeq \r(n,x)；⑧logaeq \f(x－y,x＋y)＝－logaeq \f(x＋y,x－y). 其中式子成立的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析　对于①，取x＝4，y＝2，a＝2，则log24·log22＝2×1＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2，∴logax·logay＝loga(x＋y)不成立；对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，则log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2，∴logax－logay＝loga(x－y)不成立；对于③，取x＝4，y＝2，a＝2，则log2(4×2)＝log28＝3，而log24·log22＝2×1＝2≠3，∴loga(xy)＝logax·logay不成立；对于④，取x＝4，y＝2，a＝2，则eq \f(log24,log22)＝2≠log2eq \f(4,2)＝1，∴eq \f(logax,logay)＝logaeq \f(x,y)不成立；对于⑤，取x＝4，a＝2，n＝3，则(log24)3＝8≠log243＝6，∴(logax)n＝logaxn不成立；对于⑥，由于－logaeq \f(1,x)＝－logax－1＝loga(x－1)－1＝logax，所以⑥成立；对于⑦，由于logaeq \r(n,x)＝logaxeq \s\up13(\f(1,n))＝eq \f(1,n)logax，所以⑦成立；对于⑧，由于logaeq \f(x－y,x＋y)＝logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,x－y))) eq \s\up12(－1)＝－logaeq \f(x＋y,x－y)，所以⑧成立． (2)化简：①eq \f(lg \r(27)＋lg 8－3lg \r(10),lg 1.2)； ②2log32－log3eq \f(32,9)＋log38－5log53； ③log2eq \r(8＋4\r(3))＋log2eq \r(8－4\r(3)). 解 ①原式＝1,2))eq \f(lg (33)＋lg 23－3lg 10eq \s\up7(\f(1,2)),lg \f(3×22,10)) ＝eq \f(\f(3,2)（lg 3＋2lg 2－1）,lg 3＋2lg 2－1)＝eq \f(3,2). ②原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝5log32－(5log32－2)－3＝－1. ③原式＝log2(eq \r(8＋4\r(3))·eq \r(8－4\r(3)))＝log24＝2. 【感悟提升】　利用对数运算性质解决相关问题的思路 (1)利用对数的运算性质解决问题的一般思路：①把复杂的真数化简；②正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商再化简；③逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算性质，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值． (2)要注意一些常见的结论，如lg 2＋lg 5＝1，lg eq \f(1,a)＝－lg a等． 【跟踪训练】 1．计算： (1)lg 25＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2； (2)log535－2log5eq \f(7,3)＋log57－log51.8. 解：(1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (2)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5eq \f(9,5)＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2. 解　∵18b＝5，∴log185＝b. 令log3645＝x，则36x＝45，两边取以18为底的对数，得 log1836x＝log1845，变形，得 xlog1836＝log18(5×9)， ∴x＝eq \f(log185＋log189,log1818＋log182)＝eq \f(a＋b,1＋log18\f(18,9))＝eq \f(a＋b,1＋1－log189)＝eq \f(a＋b,2－a). 【跟踪训练】 2．已知lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771.求lg eq \r(45). 解：lg eq \r(45)＝eq \f(1,2)lg 45＝eq \f(1,2)lg eq \f(90,2)＝eq \f(1,2)(lg 9＋lg 10－lg 2)＝eq \f(1,2)(2lg 3＋1－lg 2)＝lg 3－ eq \f(1,2)lg 2＋eq \f(1,2)≈0.4771－0.1505＋0.5＝0.8266. (2)原方程整理得(lg x)2＋3lg x－10＝0，即(lg x＋5)(lg x－2)＝0，∴lg x＝－5或lg x＝2，解得x＝10－5或x＝102. (3)10(lg x)2＋xlg x＝20可化为(10lg x)lg x＋xlg x＝20，则xlg x＋xlg x＝20，∴xlg x＝10，两边同时取常用对数得(lg x)2＝1，∴lg x＝±1，解得x＝10或x＝eq \f(1,10). 解析：∵log2(2－x)＋log2(3－x)＝log212， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x>0，,3－x>0，,（2－x）（3－x）＝12，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<2，,x2－5x－6＝0，))解得x＝－1. 1．已知a＝lg 3，b＝lg 7，则lg eq \f(3,7)＝(　　) A．a－b B．a＋b C．eq \f(a,b) D．eq \f(b,a) 解析：由对数的运算性质可得，lg eq \f(3,7)＝lg 3－lg 7＝a－b. 3．log3eq \f(5,4)＋log3eq \f(4,5)＋log22eq \r(2)＝_____． 解析：log3eq \f(5,4)＋log3eq \f(4,5)＋log22eq \r(2)＝log3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)×\f(4,5)))＋log22＋log2eq \r(2)＝0＋1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2). eq \f(3,2) 4．若10x＝2y，则eq \f(x,y)＝________． 解析：若10x＝2y，则lg 10x＝lg 2y，xlg 10＝ylg 2，eq \f(x,y)＝lg 2. 5．(1)计算： 2(lg eq \r(2))2＋lg eq \r(2)·lg 5＋eq \r((lg \r(2))2－lg 2＋1)； (2)已知log35＝m，3n＝7，用m，n表示log3245. 解：(1)原式＝lg eq \r(2)(2lg eq \r(2)＋lg 5)＋eq \r(（lg \r(2)－1）2)＝lg eq \r(2)(lg 2＋lg 5)＋1－ lg eq \r(2)＝lg eq \r(2)＋1－lg eq \r(2)＝1. (2)由3n＝7，得log37＝n，log3245＝log3(5×49)＝log35＋log372＝log35＋2log37＝m＋2n. 一、选择题 1.eq \f(log29,log23)＝(　　) A．3 B．2 C.eq \f(3,2) D．1 解析：eq \f(log29,log23)＝eq \f(2log23,log23)＝2. 2．若2x＝5，2y＝50，则y－2x＝(　　) A．5 B．2 C．1 D.eq \f(5,2) 解析：由2x＝5，得x＝log25，由2y＝50，得y＝log250，则y－2x＝log250－2log25＝log2eq \f(50,25)＝1. 3．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg \f(a,b)))eq \s\up12(2)＝(　　) A．4 B．2 C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,4) 解析：由已知，得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝eq \f(1,2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg \f(a,b)))eq \s\up12(2)＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋ lg b)2－4lg a·lg b＝4－2＝2. 4．已知log3x＝m，log3y＝n，则log3eq \f(\r(x),\r(y·\r(3,y)))用m，n可表示为(　　) A.eq \f(1,2)m－eq \f(4,3)n B.eq \f(2,3)m－eq \f(1,2)n C.eq \r(m)－eq \r(3,n2) D.eq \f(1,2)m－eq \f(2,3)n 解析：log3eq \f(\r(x),\r(y·\r(3,y)))＝log3eq \r(x)－log3eq \r(y·\r(3,y))＝log3xeq \s\up7(\f(1,2))－log3(y·yeq \s\up7(\f(1,3)))eq \s\up7(\f(1,2))＝eq \f(1,2)log3x－eq \f(2,3)log3y＝ eq \f(1,2)m－eq \f(2,3)n. 二、填空题 6．计算：eq \f(lg 3＋2lg 2－1,lg 1.2)＝___． 解析：原式＝eq \f(lg 3＋lg 4－1,lg 1.2)＝eq \f(lg 12－lg 10,lg 1.2)＝eq \f(lg 1.2,lg 1.2)＝1. 7．若x＝log53，5y＝eq \f(1,3)，则x＋y＝____． 解析：由5y＝eq \f(1,3)，得y＝log5eq \f(1,3)，x＋y＝log53＋log5eq \f(1,3)＝log51＝0. 三、解答题 9．若a＝lg 2，b＝lg 3，用a，b表示lg eq \f(36,25)－lg eq \f(108,5). 解：解法一：lg eq \f(36,25)－lg eq \f(108,5) ＝2(lg 6－lg 5)－(lg 4＋lg 27－lg 5) ＝2(lg 2＋lg 3－1＋lg 2)－(2lg 2＋3lg 3－1＋lg 2) ＝4a＋2b－2－3a－3b＋1 ＝a－b－1. 解法二：lg eq \f(36,25)－lg eq \f(108,5)＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(36,25)×\f(5,108))) ＝lg eq \f(1,5×3)＝－(lg 5＋lg 3) ＝－(1－lg 2＋lg 3) ＝lg 2－lg 3－1 ＝a－b－1. 10．计算：(1)eq \f(lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5,lg \r(10)×lg 0.1)； (2)(log62)2＋(log63)2＋3log62·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log6\r(3,18)－\f(1,3)log62)). 解：(1)eq \f(lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5,lg \r(10)×lg 0.1) ＝1,2))eq \f(lg \f(8×125,2×5),lg 10×lg 10－1) ＝eq \f(lg 102,\f(1,2)×（－1）)＝－4. (2)(log62)2＋(log63)2＋3log62·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log6\r(3,18)－\f(1,3)log62)) ＝(log62)2＋(log63)2＋3log62·log6eq \f(\r(3,18),\r(3,2)) ＝(log62)2＋(log63)2＋3log62·log6eq \r(3,9) ＝(log62)2＋(log63)2＋2log62·log63 ＝(log62＋log63)2 ＝1. 11．设3x＝4y＝36，求eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)的值． 解：对等式3x＝4y＝36各边都取以6为底的对数，得log63x＝log64y＝log636， 即xlog63＝ylog64＝2， ∴eq \f(2,x)＝log63，eq \f(1,y)＝log62， ∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝log63＋log62＝log66＝1， 即eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝1. 解：由题意可知，溶液甲的pH值与溶液乙的pH值的差为 －lg 31622776.60168379＋lg 31622.77660168 ＝lg eq \f(31622.77660168,31622776.60168379)≈lg 10－3＝－3. $