第4章 2.1 对数的运算性质(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

第四章　对数运算与对数函数 §2　对数的运算 2．1　对数的运算性质 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 导学 对数的运算性质 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 logaM＋logaN logaM－logaN blogaM 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 学业标准 素养目标 1.会推导对数的运算性质．(难点) 2．掌握对数的运算性质，并能利用其进行对数的运算和化简．(重点) 1.通过推导对数的运算性质，发展逻辑推理等核心素养． 2．通过对数的运算，提升数学运算等核心素养． 3．通过解决实际问题提升数学建模等核心素养. 　指数的运算法则有哪些？ [提示]　am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn. 　(1)设loga2＝m，loga3＝n.如何求am＋n? (2)上题中条件若换为logaM＝m，logaN＝n，如何求am＋n呢？ (3)在问题(2)的基础上，怎么用m，n表示loga(M·N)，还能得到什么结论？ [提示]　(1)因为loga2＝m，loga3＝n， 所以am＝2，an＝3， 故am＋n＝am·an＝2×3＝6. (2)因为logaM＝m，logaN＝n， 所以am＝M，an＝N， 故am＋n＝am·an＝M·N. (3)loga(M·N)＝logaM＋logaN＝m＋n. ◎结论形成 对数的运算性质 条件 a＞0，且a≠1，M ＞0，N＞0，b∈R 性质 loga(M·N)＝__________________ logaeq \f(M,N)＝_________________ logaMb＝__________ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)lg(x＋y)＝lg x＋lg y．(　　) (2)loga(M·N)＝logaM＋logaN(a>0且a≠1，MN>0)．(　　) (3)eq \f(log28,log24)＝log2eq \f(8,4)＝1.(　　) (4)loga b2＝2loga b．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 解析　原式＝log5102＋log50.25＝log525＝2. 答案　2 2．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 12等于(　　) A．a2＋b　 B．b＋2a　　 C．a＋2b　 D．a＋b2 解析　lg 12＝lg 3＋2lg 2＝b＋2a，故选B. 答案　B 3．计算：2log510＋log50.25＝_______. 4．计算：log153－log64＋log155－2log63＝_______. 解析　原式＝log153＋log155－(log64＋log69) ＝log1515－log636＝－1. 答案　－1 题型一　对数的运算性质简单应用 　(教材例1拓展)(1)计算： ①eq \f(lg 3＋2lg 2－1,lg 1.2)＝_______. ②lg 52＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2＝_______. (2)当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，下列等式成立吗？如果不成立，请举一个反例． ①loga(M·N)＝logaM·logaN； ②logaeq \f(M,N)＝eq \f(logaM,logaN)； ③loga(M＋N)＝logaM＋logaN； ④loga(M－N)＝logaM－logaN. [解析]　(1)①eq \f(lg 3＋2lg 2－1,lg 1.2)＝eq \f(lg3×4÷10,lg 1.2)＝eq \f(lg 1.2,lg 1.2)＝1. ②原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2 ＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (2)①不成立．如M＝100，N＝10， lg(100×10)＝3≠lg 100·lg 10＝2. ②不成立．如M＝100，N＝10， lg eq \f(100,10)＝1≠eq \f(lg 100,lg 10)＝2. ③不成立．如M＝N＝1，log22＝1≠log21＋log21＝0. ④不成立．如M＝2，N＝1，log2(2－1)＝0≠log22－log21＝1. [答案]　(1)①1　②3　(2)略 eq \a\vs4\al([素养聚焦]　通过应用对数的运算性质求值，提升了数学运算核心素养.) 利用对数运算性质化简求值 (1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式逆用； (2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用； (3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简．　 [触类旁通] 1．(1)(多选)若a＞0且a≠1，b＞0，c＞0，n，m∈N＋，n＞1，则下列等式成立的是(　　) A．loga(b2－c2)＝2logab－2logac B．(loga3)2＝2loga3 C．logaeq \r(n,bm)＝eq \f(m,n)logab D．logab＝－logaeq \f(1,b) (2)log3eq \r(3)＋lg 25＋lg 4－log2(log216)的值为_____． 解析　(1)由对数的运算性质知，只有CD成立，故选CD. (2)原式＝eq \f(1,2)log33＋lg(25×4)－log24 ＝eq \f(1,2)＋lg 100－log222＝eq \f(1,2)＋2－2＝eq \f(1,2). 答案　(1)CD　(2)eq \f(1,2) 题型二　对数运算性质的综合应用 eq \a\vs4\al(题点多探 多维探究) 角度1　与方程有关的对数问题 eq \a\vs4\al(一题多变) 　(教材例2迁移)若2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则eq \f(y,x)的值为(　　) A．4　　　　　　 B．1或eq \f(1,4) C．1或4 D．eq \f(1,4) [解析]　因为2lg(x－2y)＝lg x＋lg y， 所以lg(x－2y)2＝lg xy， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＞0，,x－2y＞0，,x－2y2＝xy，)) 所以x2＋4y2－5xy＝0， 所以4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))2－5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))＋1＝0. 解得eq \f(y,x)＝eq \f(1,4)，或eq \f(y,x)＝1(舍)，所以eq \f(y,x)的值为eq \f(1,4). [答案]　D [母题变式] (变条件)将本例改为lg x＋lg y＝2lg(2x－3y)，则eq \f(y,x)的值为_______． 解析　因为lg x＋lg y＝2lg(2x－3y)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x>0，,y>0，,2x－3y>0，,xy＝2x－3y2，)) 解得eq \f(y,x)＝eq \f(4,9)或eq \f(y,x)＝1(舍去)．所以eq \f(y,x)＝eq \f(4,9). 答案　eq \f(4,9) 角度2　实际应用问题 　(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝eq \f(S－1,ln N)是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1　　　　 B．2N2＝3N1 C．Neq \o\al(2,2)＝Neq \o\al(3,1) D．Neq \o\al(3,2)＝Neq \o\al(2,1) [解析]　由题意，得eq \f(S－1,ln N1)＝2.1，eq \f(S－1,ln N2)＝3.15. 若S不变，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以Neq \o\al(2,1)＝Neq \o\al(3,2). [答案]　D 1．与对数方程有关的问题 利用对数的性质转化为普通方程，通过变形求解，得出结论后要验证方程中的对数式是否有意义． 2．与对数相关的实际问题 对数可以解决一些比较庞大的数据运算，因此在天文、物理、考古等问题中有广泛的应用，首先将实际问题利用对数表示，再利用对数、指数运算解决问题．　 [触类旁通] 2．(1)(2024·全国甲卷)已知a>1且eq \f(1,log8a)－eq \f(1,loga4)＝－eq \f(5,2)，则a＝_______. (2)通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M＝lg A－lg A0.其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级．则里氏8.0级地震的最大振幅是里氏5.0级地震最大振幅的_______倍． 解析　(1)根据题意有eq \f(1,\f(1,3)log2a)－eq \f(1,2loga2)＝－eq \f(5,2)， 即3loga2－eq \f(1,2loga2)＝－eq \f(5,2)，设t＝loga2(a>1)， 则t>0，故3t－eq \f(1,2t)＝－eq \f(5,2)， 得t＝eq \f(1,6)(t＝－1舍去)， 所以loga2＝eq \f(1,6)，所以aeq \f(1,6)＝2，所以a＝64. (2)由M＝lg A－lg A0可得， M＝lgeq \f(A,A0)，即eq \f(A,A0)＝10M，A＝A0·10M， 当M＝8时，地震的最大振幅为A8＝A0·108； 当M＝5时，地震的最大振幅为A5＝A0·105； 所以两次地震的最大振幅之比是 eq \f(A8,A5)＝eq \f(A0·108,A0·105)＝108－5＝1000. 所以8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍． 答案　(1)64　(2)1000 [缜密思维提能区] 易错辨析 因忽略对数的真数为正而致错 [典例]　解方程lg(x＋1)＋lg x＝lg 6. [错解]　∵lg(x＋1)＋lg x＝lg[x(x＋1)] ＝lg(x2＋x)， ∴lg(x2＋x)＝lg 6， ∴x2＋x＝6，解得x＝2或x＝－3. [正解]　∵lg(x＋1)＋lg x＝lg[x(x＋1)]＝lg 6， ∴x(x＋1)＝6，解得x＝2或x＝－3， 经检验x＝－3不符合题意， ∴x＝2. [纠错心得]　解对数方程时，要注意验根，以保证所得方程的根满足对数的真数为正数，底数为不等于1的正数． 知识落实 技法强化 1.对数的运算性质． 2．对数运算性质的运用． 3．利用对数的运算性质化简、求值. 1.方法归纳：转化法． 2．常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则. $$