第3章 1 指数幂的拓展-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦指数幂的拓展，系统讲解正分数、负分数及无理数指数幂的定义与性质，通过复习整数指数幂引入分数指数幂，结合平方根、立方根实例搭建从已知到未知的学习支架，衔接知识脉络。 其亮点是“核心概念-素养形成-达标精练”三级模块设计，通过定义辨析（如分数指数幂与根式互化）、例题解析（如增长率问题）培养数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理意识），用符号语言表达数量关系，助力学生夯实基础提升能力，为教师提供系统教学资源。

第三章　指数运算与指数函数 §1　指数幂的拓展 (教师独具内容) 课程标准：1.理解分数指数幂的定义，了解无理数指数幂，体会指数幂的扩充.2.理解幂的一些简单性质． 教学重点：分数指数幂的定义． 教学难点：无理数指数幂的意义． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 b a 正分数指数幂 核心概念掌握 5 核心概念掌握 6 核心概念掌握 7 核心概念掌握 8 核心概念掌握 9 核心概念掌握 10 √ × × × × 核心概念掌握 11 核心概念掌握 12 核心素养形成 题型一　分数指数幂定义的直接应用 核心素养形成 14 核心素养形成 15 【感悟提升】　对于正分数指数幂的两种表示方法，都是旧知识的“自然发展”，因此，在学习中必须注意“温故知新”；对于负分数指数幂，要转化为正分数指数幂，体现转化思想． 核心素养形成 16 核心素养形成 17 核心素养形成 18 题型二　简单根式的化简 核心素养形成 19 核心素养形成 20 核心素养形成 21 随堂水平达标 随堂水平达标 1 2 3 4 5 23 随堂水平达标 1 2 3 4 5 24 随堂水平达标 1 2 3 4 5 25 随堂水平达标 1 2 3 4 5 26 随堂水平达标 1 2 3 4 5 27 课后课时精练 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 29 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 30 3．当α≤0时，aα有意义，则a的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．R D．Q 解析：根据指数幂的简单性质可知，当α≤0时，aα有意义，则a的取值范围是(0，＋∞)．故选A. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 31 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 32 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 33 二、填空题 6．①16的立方根是________；②27的5次方根是________． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 34 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 35 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 37 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 38 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 39 12．某工厂2024年12月份的产值是这年1月份产值的k倍，求该厂在2024年度产值的月平均增长率． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 40 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　正分数指数幂的定义 给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称______为______的eq \f(m,n)次幂，记作_________．这就是_______________． b＝aeq \s\up7(\f(m,n)) [注意]　(1)所谓两个正整数m，n互素(也叫互质)指的是m，n除1之外没有其他公共正约数eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(此时，称\f(m,n)为既约分数))，例如：2和5互素，但是3和9就不互素． (2)对于aeq \s\up8(\f(m,n))，显然不能理解成eq \f(m,n)个a相乘，那么，怎么理解它的意义呢？一是根据定义：满足bn＝am的正数b就是aeq \s\up8(\f(m,n))；二是借助根式：有时也把aeq \s\up8(\f(m,n))看成根式eq \r(n,am)，可以看出，aeq \s\up8(\f(m,n))就是正数am的n次算术根．例如：2eq \s\up8(\f(3,4))＝eq \r(4,23)＝eq \r(4,8)(即8的4次算术根)． (3)当k是正整数时，aeq \s\up8(\f(m,n))＝aeq \s\up6(\f(km,kn)). (4)对于正分数指数幂，规定其底数是正数． 知识点二　负分数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义aeq \s\up8(-\f(m,n))＝_____＝_____． [注意]　(1)类比负整数指数幂的定义eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－n＝\f(1,an)))，相对照而记忆；可以看出，负分数指数幂也是“化负为正”． (2)定义了负分数指数幂之后，幂的指数就由原来的整数范围拓展到有理数范围． 6(\f(m,n))eq \f(1,a) eq \f(1,\r(n,am)) 知识点三　无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． [注意]　(1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果． (2)a－α＝eq \f(1,aα)(a>0，α是正无理数)． (3)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围拓展到实数范围． 1．指数幂的简单性质 (1)给定一个正数a，总有aα>0(α是实数)． (2)0的任意正实数指数幂都等于0. (3)0的零指数幂和任意负实数指数幂都没有意义． 2.eq \r(n,an)与(eq \r(n,a))n两个式子的意义 (1) eq \r(n,an)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制， a∈R，但此式的值受n的奇偶限制：当n为大于1的奇数时，eq \r(n,an)＝a；当n为大于1的偶数时，eq \r(n,an)＝|a|. (2)( eq \r(n,a))n是实数eq \r(n,a)的n次幂，当n为大于1的奇数时，(eq \r(n,a))n＝a，a∈R；当n为大于1的偶数时，(eq \r(n,a))n＝a，a≥0.由此知，只要(eq \r(n,a))n有意义，其值恒等于a，即(eq \r(n,a))n＝a. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)4－eq \s\up7(\f(3,2))＝8.(　　) (2)因为eq \r(4,（－3）2)＝eq \r(4,32)＝3eq \s\up8(\f(1,2))，所以(－3)eq \s\up6(\f(2,4))＝3eq \s\up8(\f(1,2)).(　　) (3)若a>0，α∈R，则aα>0.(　　) (4)若α∈R，则0α＝0.(　　) (5)eq \r(π－2＋π2－2)＝π－1－π.(　　) aeq \s\up7(\f(3,4)) abeq \s\up7(\f(2,3)) (a－b)eq \s\up7(\f(5,2)) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)①2的4次方根可表示为___________________； ②10的3次方根可表示为________________； ③5的5次方根可表示为_______________． (2)用分数指数幂表示下列各式(式子中的字母均为正数)： ①eq \r(4,a3)＝________； ②eq \r(3,a3b2)＝________； ③eq \r(（a－b）5)＝________(a>b)． ±eq \r(4,2)(或±2eq \s\up7(\f(1,4))) eq \r(3,10)(或10eq \s\up7(\f(1,3))) eq \r(5,5)(或5eq \s\up7(\f(1,5))) 2eq \s\up7(\f(m,n)) 8 eq \f(27,64) 根据条件填空： (1)若a3＝10(a>0)，则可用分数指数幂把a表示为________； (2)若a4＝35(a>0)，则可用分数指数幂把a表示为________； (3)若an＝2m(a>0，m，n∈N＋且m，n互素)，则可用分数指数幂把a表示为________； (4)16eq \s\up6(\f(3,4))＝________； (5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,9))) eq \s\up12(－\f(3,2))＝________． 10eq \s\up7(\f(1,3)) 3eq \s\up7(\f(5,4)) 解析　(1)a＝10eq \s\up7(\f(1,3)). (2)a＝3eq \s\up7(\f(5,4)). (3)a＝2eq \s\up7(\f(m,n)). (4)解法一：设b＝16eq \s\up7(\f(3,4))，则b4＝163＝4096.∵b>0，∴b＝8，即16eq \s\up7(\f(3,4))＝8. 解法二：16eq \s\up7(\f(3,4))＝eq \r(4,163)＝8. (5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,9))) eq \s\up12(－\f(3,2))＝eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,9)))\s\up12(\f(3,2)))＝eq \f(1,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,9)))\s\up12(3)))＝eq \f(1,\a\vs4\al(\f(64,27)))＝eq \f(27,64).　 【跟踪训练】 1．(1)若x5＝6，则x＝________． 解析：x＝6eq \s\up7(\f(1,5)).　 6eq \s\up7(\f(1,5)) (2)化根式为分数指数幂，则eq \r(3,（－2）2)＝_____，eq \r(3,22)＝_____． 解析：eq \r(3,（－2）2)＝eq \r(3,22)＝2eq \s\up7(\f(2,3))，eq \r(3,22)＝2eq \s\up7(\f(2,3)).　 2eq \s\up7(\f(2,3)) 2eq \s\up7(\f(2,3)) 若代数式eq \r(3x－1)＋eq \r(3－x)有意义，化简eq \r(9x2－6x＋1)＋eq \r(2026,（x－3）2026). 解　由代数式eq \r(3x－1)＋eq \r(3－x)有意义，知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－1≥0，,3－x≥0，))即eq \f(1,3)≤x≤3. 原式＝eq \r(（3x－1）2)＋eq \r(2026,（x－3）2026)＝|3x－1|＋(3－x)＝3x－1＋3－x＝2＋2x. 【感悟提升】　对于eq \r(n,an)的化简，分两种情况：①当n是正偶数时(eq \r(n,an)表示an的n次算术根)，eq \r(n,an)＝|a|；②当n是正奇数(n>1)时(eq \r(n,an)表示an的n次方根)，eq \r(n,an)＝a. 【跟踪训练】 2．计算：(1)eq \r(3,（1＋\r(2)）3)＋eq \r(4,（1－\r(2)）4)； (2)eq \r(（a－2）2)＋eq \r(3,（a－2）3). 解：(1)原式＝(1＋eq \r(2))＋|1－eq \r(2)|＝1＋eq \r(2)＋eq \r(2)－1＝2eq \r(2). (2)原式＝|a－2|＋(a－2)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－4，a≥2，,0，a<2.))　 1．已知m10＝2(m>0)，则m＝(　　) A．2eq \s\up8(\f(1,10)) B．－2eq \s\up8(\f(1,10)) C．210 D．2－10 解析：因为m10＝2，m>0，所以m＝2eq \s\up8(\f(1,10)).故选A.　 2．(多选)下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是(　　) A．－eq \r(x)＝(－x)eq \s\up7(\f(1,2))(x>0) B.eq \r(6,y2)＝yeq \s\up7(\f(1,3)) (y>0) C．x－eq \s\up7(\f(1,2))yeq \s\up7(\f(2,3))＝eq \f(\r(3,y2),\r(x))(x>0，y>0) D．x－eq \s\up7(\f(1,3))＝－eq \r(3,x)(x>0) 解析：对于A，－eq \r(x)＝－xeq \s\up7(\f(1,2))(x>0)，故A错误；对于B，eq \r(6,y2)＝yeq \s\up7(\f(1,3))(y>0)，故B正确；对于C，x－eq \s\up7(\f(1,2))yeq \s\up7(\f(2,3))＝eq \f(\r(3,y2),\r(x))(x>0，y>0)，故C正确；对于D，x－eq \s\up7(\f(1,3))＝eq \f(1,\r(3,x))(x>0)，故D错误．　 2eq \s\up7(\f(1,3)) 3．根据条件填空： (1)若a2＝23，则可用分数指数幂把a表示为________； (2)若a3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,16))) eq \s\up12(－\f(1,2))(a>0)，则可用分数指数幂把a表示为________； (3)2的3次方根用分数指数幂表示为________． 解析：(1)a＝2eq \s\up8(\f(3,2)). (2)a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))) eq \s\up12(\f(1,3)). (3)eq \r(3,2)＝2eq \s\up7(\f(1,3)).　 2eq \s\up7(\f(3,2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))) eq \s\up6(\f(1,3)) 4．计算： (1)eq \r(4,（－2）4)＋eq \r(3,（－2）3)； (2)eq \r(a2－6ab＋9b2)＋eq \r(3,（a－3b）3). 解：(1)原式＝eq \r(4,24)－eq \r(3,23)＝2－2＝0. (2)原式＝|a－3b|＋a－3b＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－6b，a≥3b，,0，a<3b.))　 5．计算：eq \f(1,2\r(3)＋3\r(2))＋eq \f(1,3\r(4)＋4\r(3))＋eq \f(1,4\r(5)＋5\r(4)). 解：原式＝eq \f(1,\r(2)×\r(3)×（\r(3)＋\r(2)）)＋eq \f(1,\r(3)×\r(4)×（\r(3)＋\r(4)）)＋ eq \f(1,\r(4)×\r(5)×（\r(5)＋\r(4)）)＝eq \f(\r(3)－\r(2),\r(2)×\r(3))＋eq \f(\r(4)－\r(3),\r(3)×\r(4))＋eq \f(\r(5)－\r(4),\r(4)×\r(5))＝eq \f(1,\r(2))－eq \f(1,\r(3))＋eq \f(1,\r(3))－eq \f(1,\r(4))＋eq \f(1,\r(4))－eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(5),5). 一、选择题 1．8eq \s\up7(\f(2,3))＝(　　) A．2 B．4 C．8 D．64 解析：8eq \s\up7(\f(2,3))＝eq \r(3,82)＝eq \r(3,64)＝4.故选B. 2．若x5＝3，则x＝(　　) A．3eq \s\up7(\f(1,5)) B．－3eq \s\up7(\f(1,5)) C．±3eq \s\up7(\f(1,5)) D．以上都不对 解析：因为x5＝3，所以x＝3eq \s\up7(\f(1,5))，故选A.　 4．化简：eq \r(3,a)·eq \r(6,64)＝(　　) A．2aeq \s\up7(\f(2,3)) B．2aeq \s\up7(\f(1,3)) C．－2aeq \s\up7(\f(1,3)) D．－2aeq \s\up7(\f(2,3)) 解析：eq \r(3,a)·eq \r(6,64)＝aeq \s\up7(\f(1,3))·eq \r(6,26)＝2aeq \s\up7(\f(1,3)).故选B.　 5．(多选)下列各式正确的是(式子中的字母均为正数)(　　) A．a－eq \s\up7(\f(3,5))＝eq \f(1,\r(5,a3)) B.eq \r(3,x2)＝xeq \s\up7(\f(2,3)) C.eq \r(n,（a2＋b2）n)＝a2＋b2(n∈N＋，且n>1) D.eq \r(10,（a－b）10)＝a－b 解析:对于A，a－eq \s\up7(\f(3,5))＝3,5))eq \f(1,a) ＝eq \f(1,\r(5,a3))，正确；对于B，eq \r(3,x2)＝xeq \s\up7(\f(2,3))，正确；对于C，∵a2＋b2≥0，∴eq \r(n,（a2＋b2）n)＝a2＋b2，正确；对于D，当a≥b时，eq \r(10,（a－b）10)＝a－b，当a<b时，eq \r(10,（a－b）10)＝b－a，错误．故选ABC.　 解析：①16的立方根是eq \r(3,16)，即16eq \s\up7(\f(1,3)).②27的5次方根是eq \r(5,27)，即27eq \s\up7(\f(1,5)).　 16 27 7．在(2x＋1) －eq \s\up7(\f(1,2))中，实数x的取值范围是___________________． 解析：由题意可知，2x＋1>0，解得x>－eq \f(1,2)，即实数x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).　 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) 8．若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝________． 解析：b－3n＝beq \s\up7(\f(1,3n))＝5m，则b3n＝5－m，所以b＝eq \r(3n,5－m)＝5－eq \s\up7(\f(m,3n)).　 5－ 三、解答题 9．化简：eq \r(n,（x－π）n)(n∈N＋，且n>1)． 解：当n为偶数时，原式＝|x－π| ＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－π，x≥π，,π－x，x<π.)) 当n为奇数时，原式＝x－π.　 10．已知集合A＝{－a，eq \r(a2)，4}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\r(3,a3)，\f(a,|a|)，2b))，且A＝B，求a＋b. 解：由元素的互异性可知，－a≠eq \r(a2)， 且a≠0， 所以a>0，此时，A＝{－a，a，4}，B＝{－a，1，2b}． 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,4＝2b，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2.))则a＋b＝3.　 11．若n∈N＋，且n>1，化简eq \r(n,an)＋(eq \r(n＋1,a))n＋1. 解：当n是偶数时，n＋1是奇数，此时a∈R. 原式＝|a|＋a＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a，a≥0，,0，a<0.)) 当n是奇数时，n＋1是偶数，此时a≥0. 原式＝a＋a＝2a.　 解：设1月份的产量为a，月平均增长率为x， 则2月份的产量为a＋ax＝a(1＋x)， 3月份的产量为a(1＋x)＋a(1＋x)x＝a(1＋x)2， …… 12月份的产量为a(1＋x)11， 依据题意，a(1＋x)11＝ka，解得x＝eq \r(11,k)－1， 即该厂在2024年度产值的月平均增长率是eq \r(11,k)－1. $