第3章 §1 指数幂的拓展（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦指数幂的拓展，涵盖分数指数幂的定义、根式与分数指数幂互化及无理数指数幂等核心内容。以薇甘菊侵害面积的实际问题导入，衔接整数指数幂知识，通过问题链引导学生探究分数指数幂的意义，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以问题驱动和实例分析（如薇甘菊情境、根式转化例题），培养学生用数学眼光发现数量关系、用数学思维推理定义内涵、用数学语言进行符号表达的核心素养。采用定义辨析结合例题讲解的教学方法，课堂小结系统梳理知识清单与方法，助力学生深化概念理解，为教师提供结构化的教学资源。

§1 指数幂的拓展 第三章　指数运算与指数函数 <<< 1.理解分数指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化. 2.了解无理数指数幂和实数指数幂的含义. 学习目标 薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一.经测算，薇甘菊的侵害面积S(单位：hm2)与年数t满足关系式S＝S0·1.057t，其中S0(单位：hm2)为侵害面积的初始值.当t是半年或6年零3个月时，即指数不为整数时，薇甘菊的侵害面积如何计算呢？让我们共同探讨指数幂拓展后的意义吧！ 导 语 一、分数指数幂 二、根式分数指数幂的计算 课时对点练 三、无理数指数幂 内容索引 分数指数幂 一 提示　，，，. 被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如，，，，a>0，是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？ 问题1 1.正分数指数幂 给定 a和 m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的 b，使得 ，则称b为a的次幂，记作b＝_____.这就是正分数指数幂.有时，也把写成的形式. 2.负分数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义______，这就是负分数指数幂. 正数 正整数 正数 bn＝am 知识梳理 在分数指数幂的概念中，要注意以下四点： (1)a，b均为正数. (2)m，n∈N＋且m，n互素. (3)bn＝am⇔b＝⇔a＝. (4). 注 意 点 <<< 8 　(1)(课本例1)把下列各式中的正数b写成正分数指数幂的形式： ①b5＝20； 例 1 b＝2. 解 ②b4＝25； b＝. 解 9 ③bn＝3m(m，n∈N＋)； b＝. 解 ④b3n＝π9m(m，n∈N＋). b＝. 解 10 (2)(课本例2)计算： ①； 设b＝，由定义，得b2＝43＝64，b＝8(b>0)，所以＝8. 解 ②2； 由负分数指数幂的定义，得2. 设b＝2，由定义，得b3＝27，b＝3，所以2. 解 11 ③. 由负分数指数幂的定义，得. 设b＝，由定义，得b2＝，即b＝(b>0)， 所以＝64. 解 12 　(1)把下列各式中的正数b写成分数指数幂的形式. ①b3＝32； 例 1 b3＝32＝25，∴b＝. 解 ②b2＝； b2＝，∴b＝. 解 13 ③b－3＝34； b－3＝34，∴b＝. 解 ④b－3m＝24n(m，n∈N＋). b－3m＝24n，∴b＝. 解 14 (2)计算： ①6； 令b＝6，∴b2＝64，∴b＝8(b>0)， ∴6＝8. 解 ②； 令b＝，∴b3＝，∴b＝， ∴. 解 15 ③； ，令b＝， ∴b3＝， ∴b＝， ∴＝9. 解 16 ④1. 1，令b＝1， ∴b2＝163＝(42)3＝(43)2， ∴b＝43＝64(b>0)，∴1. 解 17 (1)化为分数指数幂的形式时，常采用下面方法： (2)分数指数幂的运算，一般用待定系数法，把分数指数幂转化为整数指数幂，利用整数指数幂的运算性质求解分数指数幂. 反 思 感 悟 18 　(1)把下列各式中的a(a>0)写成分数指数幂的形式. ①a5＝54； 跟踪训练 1 a＝. 解 ②a3＝(－5)8； a3＝(－5)8＝58，∴a＝. 解 19 ③a－3＝104m(m∈N＋). a＝1. 解 20 (2)计算：①0.12； 0.12， 设b＝0.12，∴b3＝0.125＝， ∴b＝，∴0.12＝2. 解 21 ②. ，设b＝， ∴b2＝，∴b＝，∴. 解 22 二 根式分数指数幂的计算 　(1)用分数指数幂表示下列各式(a>0)： ①； 例 2 原式＝. 解 ②； 原式＝b2. 解 24 ③. 令b＝＝(a， ∴b2＝a，∴， ∴＝a，即＝a， ∴b4＝a3，∴b＝， 即原式＝. 解 25 (2)将下列分数指数幂化为根式： ①(a>0)； . 解 ②(m，n∈N＋)； . 解 26 ③·(x>0，y>0). . 解 27 (1)根式与分数指数幂互化的规律： ①根指数 分数指数幂的分母. ②被开方数(式)的指数 分数指数幂的分子. (2)分数指数幂与根式是同一个数的两种不同书写形式. (3)掌握两个公式：①()n＝a(n∈N＋，且n>1)；②n为奇数，＝a； n为偶数，＝|a|＝ 反 思 感 悟 28 　(1)用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)：①； 跟踪训练 2 原式＝. 解 29 ②a3·. 令b＝a3，∴， ∴＝a，即＝a，∴b2＝a7. ∴b＝，即a3·. 解 30 (2)已知a＝，b＝1，c＝12，试比较a，b，c的大小. ∵a＝， b＝1， c＝12， 而121<123<125， ∴>>， ∴a>c>b. 解 31 无理数指数幂 三 提示　可以发现，当指数x的取值范围从整数拓展到了无理数时，它是一个确定的实数，在数轴上有唯一的一个点与它对应. 阅读课本77页的分析理解，你发现了什么？ 问题2 无理数指数幂的定义：一般地，给定正数a，对于任意的正无理数α，可以定义一个实数aα，自然地，规定：a－α＝. 知识梳理 　(1)(多选)下列各式是无理数指数幂的是 A. B. C.2π D. √ 例 3 √ √ (2)1＝　　　.  35 记住无理数指数幂的形式aα，并且a－α＝. 反 思 感 悟 36 　(多选)下列各式正确的是 A.＝2 B.1－π＝1 C.＝27 D.1＝( 跟踪训练 3 √ √ 37 1.知识清单： (1)正分数指数幂和负分数指数幂. (2)根式与分数指数幂的互化. (3)无理数指数幂和实数指数幂. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：0的零指数幂和任意负实数指数幂没有意义. 课堂小结 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D A C C 1 题号 11 12 13 14 15 答案 BD BD C b－a 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)令b＝12， ∴b2＝121， ∴b＝11(b>0)， ∴12＝11. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)， 令b＝，∴b2＝， ∴b＝(b>0)， ∴. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)10 00， 令b＝10 00， ∴b4＝10 0003＝(104)3＝(103)4， ∴b＝103(b>0)， ∴10 00. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (4)，令b＝， ∴b3＝， ∴b＝(b>0)， ∴. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为＝－a－b， 所以＝－a，＝－b， 所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0， 所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式＝a－b， 因为a2－b2>0， 所以a＋b>0且a－b>0，或a＋b<0且a－b<0. 当a＋b>0且a－b>0时， 原式＝＝； 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a＋b<0且a－b<0时， 原式＝＝－＝－. 基础巩固 1.(m>0)化为分数指数幂为 A. B. C. D. √ . 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(3－2x中x的取值范围是 A.(－∞，＋∞) B.∪ C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 要使该式有意义，需3－2x>0，即x<. 解析 3.计算(的结果是 A.π B. C.－π D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.下列根式与分数指数幂的互化不正确的是 A.－＝(－x B.(y>0) C.(x>0) D.(x>0) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －＝－(x≥0)，而(－x(x≤0)，故A项错误； (y>0)，故B项正确； (x>0)，故C项正确； (x>0)，故D项正确. 解析 5.下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是 A.(－1和(－1 B.0－2和 C.和 D.和 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选项A中，(－1和(－1均不符合分数指数幂的定义，故A不满足题意； 选项B中，0的负实数指数幂没有意义，故B不满足题意； 选项D中，虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D不满足题意； 选项C中，，满足题意. 解析 6.由下面的两串有理数指数幂逐渐逼近，可以得到的数为 (1)21.7，21.73，21.732，21.732 0，21.732 05，… (2)21.8，21.74，21.733，21.732 1，21.732 06，… A.21.7 B.21.8 C. D.4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 的不足近似值为1.7，1.73，1.732，1.732 0，1.732 05，…；的过剩近似值为1.8，1.74，1.733，1.732 1，1.732 06，….故由(1)(2)两串有理数指数幂逼近得到的数为. 解析 7.若2<a<3，化简的结果是　　　.  ∵2<a<3，∴2－a<0，3－a>0， ∴＝|2－a|＋|3－a|＝a－2＋3－a＝1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 8.计算：＋3－2＝　　　.  令b＝， ∴b3＝， ∴b＝，∴原式＝＋1＋. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.计算下列各式的值： (1)12； 令b＝12， ∴b2＝121， ∴b＝11(b>0)， ∴12＝11. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)； ， 令b＝，∴b2＝， ∴b＝(b>0)， ∴. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)10 00； 10 00， 令b＝10 00， ∴b4＝10 0003＝(104)3＝(103)4， ∴b＝103(b>0)， ∴10 00. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (4). ，令b＝， ∴b3＝， ∴b＝(b>0)， ∴. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知＝－a－b，求的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为＝－a－b， 所以＝－a，＝－b， 所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0， 所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0. 解 11.(多选)下列互化不正确的是 A.＝(－x(x<0) B.(y<0) C.(x>0，y>0) D.＝－(x≠0) √ √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于B，等号右边不符合分数指数幂的定义. D中，当x<0时，不符合分数指数幂的定义； 当x>0时，.AC正确. 解析 12.(多选)已知xy≠0，且＝－3xy2，则下列结论可能正确的是 A.x>0，y>0 B.x<0，y<0 C.x>0，y<0 D.x<0，y>0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为＝3|x|·y2， 又＝－3xy2， 所以3|x|·y2＝－3xy2，故x≤0， 又xy≠0， 所以x<0，y>0或y<0. 解析 13.化简：(a－1)正确的是 A.－(a－1 B.(a－1 C.－(1－a D.(1－a 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由>0，得a<1， 则a－1<0， 所以(a－1)＝－＝－＝－(1－a. 解析 14.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所示，则化简的结果是　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 b－a 由题图可知f(－1)＝a－b＋0.1<0， ∴a－b<0.∴＝|a－b|＝－(a－b)＝b－a. 解析 15.已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个实数根，且a>b>0，则 ＝　　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个实数根， 所以 所以. 因为a>b>0，所以>>0， 所以. 解析 16.若a2－b2>0，试化简a－b. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式＝a－b， 因为a2－b2>0， 所以a＋b>0且a－b>0，或a＋b<0且a－b<0. 当a＋b>0且a－b>0时， 原式＝＝； 当a＋b<0且a－b<0时， 原式＝＝－＝－. 解 第三章　指数运算与指数函数 <<< $