3.1&3.2指数幂的拓展运算与指数幂的运算性质（3知识点+5题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第一册）

3.1指数幂的拓展运算3.2指数幂的运算性质 课程标准 学习目标 1.通过指数幂有关概念的学习 主要发展数学抽象等核心素养 2.通过指数幂的运算主要提升 数学运算等核心素养. 1.通过对有理数指数幂 (>0，且 ≠1，m，n为整数，且m，n互素)，实数指数幂(>0，且≠1，∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程. 2.掌握指数幂的运算性质. 知识点01 正分数指数幂 给定正数和正 整 数m，n(n>1，且 m，n 互素)，若存在唯m-的 正 数b,使得,则称b为a的次幂,记作 .这就是正分数指数幂. 【即学即练1】（23-24高一上·四川宜宾·期中）将写成根式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】（2022高二下·广西·学业考试）（   ） A．1 B． C． D． 知识点02负分数指数幂 给定正数和正整数 m，n(n>1，且m，n互素)，定义.这就是负分数指数幂 【即学即练3】（24-25高一上·全国·随堂练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】（2023高一·全国·专题练习）在中，实数a的取值范围是 . 知识点03 实数指数幂的运算性质 一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数.因此，当a>0，t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义. ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 【即学即练5】（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练6】（21-22高一上·全国·课后作业） 中x的取值范围是 ． 难点：多重根号问题 示例1：（23-24高一下·辽宁·期末）人们发现，可以通过公式来求方程（均为正实数）的正实数根.例如，方程的正实数根为，我们知道是的唯一正实数根，所以，这里规定.根据以上材料可得（    ） A．3 B．6 C．9 D．4 【题型1：根式的概念】 例1．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 变式1．（2023高三上·广西·学业考试）（    ） A．0 B． C．1 D．2 变式2．（23-24高一上·浙江·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式3．（21-22高一·全国·课后作业）若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是（  ） A． B． C． D． 变式4．（24-25高一上·上海·随堂练习） ． 变式5．（23-24高一上·广东河源·期中）求值： . 变式6．（23-24高一·上海·课堂例题）求的5次方根． 变式7．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各根式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式8．（23-24高一·上海·课堂例题）（1）求的立方根； （2）求256的4次方根． 【题型2：根式与分数指数幂互化】 例2．（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）若，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．2 变式2．（22-23高二下·河南省直辖县级单位·阶段练习）代数式化简的结果是（    ） A． B． C． D． 变式3．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4．(多选)（23-24高一上·山西太原·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．16的4次方根是 B． C． D． 变式5．（23-24高一上·上海长宁·期末）根式的指数幂形式为 . 变式6．（24-25高一上·上海·随堂练习）用有理数指数幂的形式表示： ． 变式7．（25-26高一上·全国·课前预习）被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如，，，，，是否可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？ 变式8.（23-24高一·上海·课堂例题）用根式的形式表示下列各式（其中）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【方法技巧与总结】根式与分数指数幂互化依据: （1）在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：＝和＝＝ ，其中字母a要使式子有意义． （2）将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂. 口诀：内子外母 【题型3：根式化简求值】 例3．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高一上·上海·开学考试）化简：= . 变式2．（2021高一上·江苏淮安·学业考试）已知，则= 变式3．（23-24高一上·天津·期中）（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 变式4．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）计算：. 变式5．（24-25高一上·全国·课堂例题）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 变式6．（24-25高一上·全国·课堂例题）计算：. 变式7．（23-24高一·上海·课堂例题）化简（其中）. 变式8．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列各式： (1)（其中）； (2)（其中，）． 【方法技巧与总结】根式化简求值解题思路 解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行解答. 指数幂的一般运算步骤： 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算． 负指数幂化为正指数幂的倒数． 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数 底数(较大的整数分解质因数)化成指数幂 然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 【题型4：条件等式求值】 例4．（24-25高一上·广东佛山·开学考试）已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式1．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 变式2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则 ． 变式3．（24-25高一上·广西玉林·开学考试）已知，则的值为 . 变式4．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 . 变式5．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 变式6．（23-24高一·上海·课堂例题）设，且．求的值． 变式7．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，.求及的值. 变式8.（23-24高一下·西藏山南·期中）若，求的值． 【方法技巧与总结】对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值． 但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值． 【题型5：多重根式的化简】 例5．（2021高一上·江苏·专题练习）化简（    ） A． B． C．2 D． 变式1．（2022高一下·江苏南京·竞赛），求 ． 变式2．（2023高一上·全国·专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 变式3．（2022高一·全国·专题练习） . 变式4．（2022高一·全国·专题练习）若满足关系 +=+，则的值为 ． 变式5．（2022高一·全国·专题练习）如果，，那么的值是 . 变式6．（2022高一·全国·专题练习）若，则 ． 变式7．（2022高一上·全国·专题练习）化简 . 变式8．（20-21高一·全国·课后作业）已知，化简： ． 变式9．（20-21高一·全国·课后作业）已知，，且，则 ． 变式10．（2023高一·全国·课后作业）化简. 【方法技巧与总结】 形如 (m>0，n>0)的双重根式，一般是将其转化为的形式后再化简． 由于(±)2＝a＋b±2，因此转化的方法就是寻找a，b，使得即a，b是方程x2－mx＋n＝0的两个根． 如化简，首先化为的形式，即，解方程x2－4x＋3＝0，得x＝3或x＝1，则4－2＝(－1)2， 所以＝＝＝＝. 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列运算结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东茂名·期末）若，则（    ） A．1 B． C． D． 4．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则的值(    ) A． B． C． D． 5．（23-24高一上·四川·阶段练习） （    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期中）下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·甘肃天水·开学考试）若是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·湖南·开学考试）估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 二、多选题 9．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知，则的值可以为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 10．（23-24高一上·河南漯河·阶段练习）已知，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（21-22高一上·云南文山·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·全国·课后作业）化简： . 13．（25-26高一上·上海·单元测试）若， ，，则 ． 14．（25-26高一上·上海·单元测试）已知，化简 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 16．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 17．（24-25高一·上海·课堂例题）用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 18．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：（a＞0，b＞0）； （2）求值：. 19．（23-24高一上·江西抚州·期中）已知，，化简：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1指数幂的拓展运算3.2指数幂的运算性质 课程标准 学习目标 1.通过指数幂有关概念的学习 主要发展数学抽象等核心素养 2.通过指数幂的运算主要提升 数学运算等核心素养. 1.通过对有理数指数幂 (>0，且 ≠1，m，n为整数，且m，n互素)，实数指数幂(>0，且≠1，∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程. 2.掌握指数幂的运算性质. 知识点01 正分数指数幂 给定正数和正 整 数m，n(n>1，且 m，n 互素)，若存在唯m-的 正 数b,使得,则称b为a的次幂,记作 .这就是正分数指数幂. 【即学即练1】（23-24高一上·四川宜宾·期中）将写成根式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分数指数幂与根式的互化，即可解题. 【详解】. 故选：D 【即学即练2】（2022高二下·广西·学业考试）（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由分数指数幂的运算求解即可. 【详解】. 故选：B. 知识点02负分数指数幂 给定正数和正整数 m，n(n>1，且m，n互素)，定义.这就是负分数指数幂 【即学即练3】（24-25高一上·全国·随堂练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合指数幂运算求解. 【详解】因为. 故选：D. 【即学即练4】（2023高一·全国·专题练习）在中，实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由负分数指数幂化为根式，根据偶次根式有意义求出参数的范围. 【详解】，故， 解得，故实数a的取值范围是. 故答案为： 知识点03 实数指数幂的运算性质 一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数.因此，当a>0，t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义. ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 【即学即练5】（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算即可求解． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：D． 【即学即练6】（21-22高一上·全国·课后作业） 中x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将原式化为，根据根式、分式的性质求范围即可. 【详解】由题设， 要使该式有意义，只需，解得， 所以x的取值范围是. 故答案为：. 难点：多重根号问题 示例1：（23-24高一下·辽宁·期末）人们发现，可以通过公式来求方程（均为正实数）的正实数根.例如，方程的正实数根为，我们知道是的唯一正实数根，所以，这里规定.根据以上材料可得（    ） A．3 B．6 C．9 D．4 【答案】B 【分析】在公式中令求解即可. 【详解】设， 令 解得则即方程的正实数根. 由， 可得. 因为方程的实数根为负数， 所以，即， 故. 故选：B. 【题型1：根式的概念】 例1．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由得，对于A，由和即可判断；对于BD，由时无意义即可判断；对于C，由得得解. 【详解】由可知， 对于A，，，故A错误； 对于B，时，，而无意义，故B错误； 对于C，，，且，故C正确； 对于D，时，，而无意义，故D错误； 故选：C. 变式1．（2023高三上·广西·学业考试）（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据指数幂运算计算即可. 【详解】. 故选：D. 变式2．（23-24高一上·浙江·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】直接由必要条件、充分条件的定义以及分数指数幂的运算化简即可判断. 【详解】由题意，即， 而“”是“”的必要而不充分条件，所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 变式3．（21-22高一·全国·课后作业）若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式的性质，负数无偶次方根判断. 【详解】A. 式子对于有意义； B.式子对于有意义； C. 式子对于有意义； D. 式子对于无意义； 故选：D 变式4．（24-25高一上·上海·随堂练习） ． 【答案】 【分析】由根式的运算求解即可. 【详解】由根式的运算可知，. 故答案为： 变式5．（23-24高一上·广东河源·期中）求值： . 【答案】8 【分析】根据根式的运算可得解. 【详解】. 故答案为：8. 变式6．（23-24高一·上海·课堂例题）求的5次方根． 【答案】 【分析】利用5次方根的定义求解即可. 【详解】的5次方根为 . 变式7．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各根式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)3 【分析】（1）（2）（3）（4）利用根式的运算性质求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3） （4）. 变式8．（23-24高一·上海·课堂例题）（1）求的立方根； （2）求256的4次方根． 【答案】（1），（2） 【分析】（1）根据立方根的定义求解； （2）根据4次方根的定义求解. 【详解】的立方根为； 256的4次方根为. 【题型2：根式与分数指数幂互化】 例2．（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分数指数幂的运算法则求解. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 变式1．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）若，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用分数指数幂的性质即可得解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B. 变式2．（22-23高二下·河南省直辖县级单位·阶段练习）代数式化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的运算性质化简即可. 【详解】， 故选：A 变式3．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据分数指数幂与根式的互化公式逐个分析判断即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：BD． 变式4．(多选)（23-24高一上·山西太原·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．16的4次方根是 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用根式的定义即可求解. 【详解】对于A，令，解得，即16的4次方根是，故A正确； 对于B，负数的立方根是负数，所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，是非负数，所以，故D正确. 故选：ACD. 变式5．（23-24高一上·上海长宁·期末）根式的指数幂形式为 . 【答案】 【分析】根据有理数指数幂的运算性质求解． 【详解】， ． 故答案为：． 变式6．（24-25高一上·上海·随堂练习）用有理数指数幂的形式表示： ． 【答案】 【分析】根据根式与分数指数幂转化，后用指数幂性质即可. 【详解】原式 故答案为：． 变式7．（25-26高一上·全国·课前预习）被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如，，，，，是否可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？ 【答案】可以，，，， 【分析】根据分数指数幂与根式的互化进行变形即可. 【详解】 变式8.（23-24高一·上海·课堂例题）用根式的形式表示下列各式（其中）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据分数指数幂与根式的互化公式求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 【方法技巧与总结】根式与分数指数幂互化依据: （1）在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：＝和＝＝ ，其中字母a要使式子有意义． （2）将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂. 口诀：内子外母 【题型3：根式化简求值】 例3．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将根式转化为指数式，化简可得解. 【详解】， 故选：B. 变式1．（24-25高一上·上海·开学考试）化简：= . 【答案】1 【分析】根据指数幂的运算法则计算即可. 【详解】解:由题意可知， 所以. 故答案为：1 变式2．（2021高一上·江苏淮安·学业考试）已知，则= 【答案】 【分析】借助指数运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 变式3．（23-24高一上·天津·期中）（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】将根式化为分数指数幂，根据分数指数幂的运算法则进行计算； 【详解】（1） ； （2） ； （3）. 变式4．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）计算：. 【答案】 【分析】根据题意，结合指数幂和绝对值的运算性质，即可求解. 【详解】由实数指数幂和绝对值的运算性质，可得. 变式5．（24-25高一上·全国·课堂例题）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)4608 (2)1 (3) 【分析】（1）将根式化简为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算化简； （2）利用分数指数幂的运算化简； （3）将根式化简为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算化简； 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 变式6．（24-25高一上·全国·课堂例题）计算：. 【答案】2 【分析】根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】原式. 变式7．（23-24高一·上海·课堂例题）化简（其中）. 【答案】 【分析】分子分母同时乘以，利用平方差公式化简. 【详解】 由于，则， 故 变式8．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列各式： (1)（其中）； (2)（其中，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据分数指数幂的运算性质化简求解即可. 【详解】（1）（其中） ； （2）（其中，） 【方法技巧与总结】根式化简求值解题思路 解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行解答. 指数幂的一般运算步骤： 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算． 负指数幂化为正指数幂的倒数． 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数 底数(较大的整数分解质因数)化成指数幂 然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 【题型4：条件等式求值】 例4．（24-25高一上·广东佛山·开学考试）已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用幂的运算，将已知等式进行变形，根据等式的性质可得，即可求出． 【详解】因为， 所以， 所以， 则，即，则. 故选：A. 变式1．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合指数幂运算求解. 【详解】因为，，所以. 故选：B. 变式2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】11 【分析】变形得到，两边平方得. 【详解】因为，所以，， 两边平方得， 故. 故答案为：11 变式3．（24-25高一上·广西玉林·开学考试）已知，则的值为 . 【答案】1或 【分析】根据题意，先求，即可得解. 【详解】根据题意，， 所以， 则或. 故答案为：1或. 变式4．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】先根据指数运算求出，代入中，再利用基本不等式可得最小值. 【详解】，可得，又，所以， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为： 变式5．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 【答案】12 【分析】根据指数幂的运算，即可得答案. 【详解】由题意得， 故答案为：12 变式6．（23-24高一·上海·课堂例题）设，且．求的值． 【答案】 【分析】先利用立方和公式化简后，再代值计算即可. 【详解】因为，且， 所以 . 变式7．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，.求及的值. 【答案】12；. 【分析】根据指数运算律计算求解. 【详解】因为，所以. . 变式8.（23-24高一下·西藏山南·期中）若，求的值． 【答案】5 【分析】两边平方得. 【详解】， 则． 【方法技巧与总结】对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值． 但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值． 【题型5：多重根式的化简】 例5．（2021高一上·江苏·专题练习）化简（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用配方法将被开方数配凑成完全平方形式即可求解. 【详解】解：， 故选：D． 变式1．（2022高一下·江苏南京·竞赛），求 ． 【答案】 【分析】通过根式的化简与运算即可得出结论. 【详解】法一：因为，，所以. 法二：. 故答案为： 变式2．（2023高一上·全国·专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由成立，即可得出，解得即可. 【详解】， 要使成立， 需解得， 即实数a的取值范围是， 故答案为：. 变式3．（2022高一·全国·专题练习） . 【答案】 【分析】利用分母有理化化简即得解. 【详解】解：原式 = . 故答案为：. 变式4．（2022高一·全国·专题练习）若满足关系 +=+，则的值为 ． 【答案】21 【分析】根据已知分析出x＋y＝19，得到＋＝0，再利用非负数的性质求解. 【详解】解：由题意得：， 则，∴x＋y＝19， ∴＋＝0， 则3x＋5y−2−m＝0①，2x＋3y−m＝0②， ①−②得：x＋2y−2＝0，∵x＝19－y，∴y＝−17，∴x＝36， ∴，∴m＝21． 故答案为：21． 变式5．（2022高一·全国·专题练习）如果，，那么的值是 . 【答案】 【分析】根据平方差公式即可求解. 【详解】由知：为非负数， ∵， ∴ 故答案为： 变式6．（2022高一·全国·专题练习）若，则 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行求解即可. 【详解】因为 所以 ，此时 ， 所以， 故答案为： 变式7．（2022高一上·全国·专题练习）化简 . 【答案】6 【分析】根据根式的运算性质可求出结果. 【详解】 . 故答案为：. 变式8．（20-21高一·全国·课后作业）已知，化简： ． 【答案】 【分析】由已知得，，，，进而将各个根式化为最简根式，再求它们的代数和． 【详解】 ， 故答案为： 变式9．（20-21高一·全国·课后作业）已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】由已知求出的值，然后将分母有理化即可求解. 【详解】解：由题意，， 所以， 故答案为：. 变式10．（2023高一·全国·课后作业）化简. 【答案】 【分析】根据给定的式子，有理化分母并求和作答. 【详解】， 原式. 【方法技巧与总结】 形如 (m>0，n>0)的双重根式，一般是将其转化为的形式后再化简． 由于(±)2＝a＋b±2，因此转化的方法就是寻找a，b，使得即a，b是方程x2－mx＋n＝0的两个根． 如化简，首先化为的形式，即，解方程x2－4x＋3＝0，得x＝3或x＝1，则4－2＝(－1)2， 所以＝＝＝＝. 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列运算结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数的运算性质即可逐一判断. 【详解】对于A, ，故A正确， 对于B，，故B错误， 对于C，当时，才有，故C错误， 对于D，，故D错误， 故选：A 2．（24-25高一上·全国·课后作业）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数运算律计算即可. 【详解】原式. 故选：. 3．（23-24高一上·广东茂名·期末）若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用根式与分数指数幂的互化与运算法则即可得解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 4．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则的值(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数的运算性质即可求得. 【详解】因为，所以 . 故选：D. 5．（23-24高一上·四川·阶段练习） （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数运算，可得答案. 【详解】因为，所以，， 所以. 故选：B. 6．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期中）下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数的运算性质得到. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，所以，从而，故D正确. 故选：D 7．（24-25高一上·甘肃天水·开学考试）若是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，化简得到，结合指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由题意知，正实数，且满足， 可得，即，所以. 故选：A. 8．（24-25高一上·湖南·开学考试）估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】化简，将代入即可. 【详解】因为， 且， 所以. 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知，则的值可以为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】CD 【分析】先由等式得到，再应用基本不等式求得的范围，结合选项判断即可. 【详解】由得：，解得，即， 由于，，当且仅当（即）时取得等号. 故选：CD. 10．（23-24高一上·河南漯河·阶段练习）已知，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】利用完全平方，立方和展开式，指数运算计算得出结果. 【详解】A：，故A正确； B：，故B正确； C：，故C正确； D：，故D正确； 故选：ABCD. 11．（21-22高一上·云南文山·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】直接根据指数幂的运算法则依次计算即可. 【详解】对选项A：，故，错误； 对选项B：，正确； 对选项C：，错误； 对选项D：，正确； 故选：BD 三、填空题 12．（24-25高一上·全国·课后作业）化简： . 【答案】1 【分析】先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】 . 故答案为：1 13．（25-26高一上·上海·单元测试）若， ，，则 ． 【答案】 【分析】由指数运算法则可得证. 【详解】， ， ， 所以，原式， 故答案为： 14．（25-26高一上·上海·单元测试）已知，化简 ． 【答案】 【分析】根据已知条件化简求得解. 【详解】. 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式平方后可得，再配方后可得，故可求原式的值； （2）结合（1）中的结果配方可得，故可求原式的值. 【详解】（1）因为，故， 故，而，故， 故. （2）由（1）可得，故， 故，故. 16．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用根式及指数运算计算即得. （2）利用指数运算法则化简即得. （3）利用分数指数幂的运算计算即得. 【详解】（1）. （2）. （3）由，得，， 所以. 17．（24-25高一·上海·课堂例题）用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】结合根式化指数幂和指数的基本运算化简即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 18．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：（a＞0，b＞0）； （2）求值：. 【答案】（1）；（2） 【分析】运用指数幂的性质计算即可. 【详解】（1） . （2） . 19．（23-24高一上·江西抚州·期中）已知，，化简：． 【答案】 【分析】根据指数运算可得. 【详解】因为，所以， ． 因为，所以 所以 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$