精品解析：安徽省亳州市涡阳县蔚华中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

2025-2026学年蔚华中学高二上学期第一次月考 数学试题 命题人：王君峰 审题人：马永振 用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. 90 D. 不存在 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3. 两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（ ） A. B. C. D. 4. 已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（ ）. A. 4 B. C. D. 5. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 6. 已知三棱柱中，是的中点，则（ ） A. B. 2 C. D. 2 7. 已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与直线为异面直线 C. 直线与直线所成的角为 D. 平面 10. 已知直线，则（ ） A. 若，则的一个方向向量为 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若不经过第二象限，则 11. 如图，在四棱锥中，底面，底面为边长为2的菱形，，为对角线的交点，为的中点．则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的外接球的半径为 C. 当异面直线和所成的角为时， D. 点F到平面与到平面的距离相等 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间四边形中，，，，，则______． 13. 经过，两点的直线的方向向量为，则m的值为______. 14. 如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点（不包含边界），且满足平面．设直线MN与直线所成的角为，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知直线经过点，斜率为2. （1）求直线的截距式方程. （2）若直线与垂直，且，在y轴上的截距相等，求的截距式方程. 16. 已知直线和直线，问：m为何值时，直线与平行？m为何值时，直线与垂直？ 17. 已知直线：和直线：. （1）求直线恒过的定点，及该定点到直线的距离； （2）若，求两直线与间的距离. 18. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 19. 如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面，且，. （1）若平面与平面的交线为，求证：； （2）求证：； （3）是否存在球O，使得四棱锥的顶点均在此球面上?若存在，求与平面所成角的正切值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年蔚华中学高二上学期第一次月考 数学试题 命题人：王君峰 审题人：马永振 用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. 90 D. 不存在 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定直线的特征确定其斜率情况. 【详解】直线垂直于垂直，所以直线的斜率不存在. 故选：D 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再直接求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 令该直线倾斜角为，则有， 而，于是， 所以直线的倾斜角为. 故选：C 3. 两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的截距式方程，可得直线的横、纵截距分别为a，-b，直线的横、纵截距分别为b，-a，逐项根据截距的正负判断即可. 【详解】由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为a，-b，直线的横、纵截距分别为b，-a， 选项A，由的图象可得，可得直线的截距均为正数，故正确； 选项B，由的图象可得，可得直线的截距均为正数，由图象不对应，故错误； 选项C，由的图象可得，可得直线的横截距均为负数，纵截距为正数，由图象不对应，故错误； 选项D，由的图象可得，可得直线的横截距为正数，纵截距为负数，由图象不对应，故错误. 故选：A. 4. 已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（ ）. A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离的向量求法计算可得结果. 【详解】，故， 所以， 设直线与直线所成角为， 则，可得， 因此点到直线的距离为． 故选：B. 5. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】因为四点共面， 所以由共面定理可得，，即， 所以， 因为， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以， 故选：C. 6. 已知三棱柱中，是的中点，则（ ） A. B. 2 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形将用基底线性表示，再由模长公式计算即得. 【详解】由于， 所以 ， 故选：C 7. 已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线恒过的定点，根据斜率公式即可求解. 【详解】由直线， 变形可得，由，解得， 可得直线恒过定点， 则， 又直线的斜率为， 若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为. 故选：A. 8. 在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，,所在直线为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，通过对称光线的对称关系找到点关于，的对称点，，则即为的长. 【详解】解析：以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 所以直线的方程为. 设，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为， 易得，. 易知直线就是所在的直线. 所以直线的方程为. 设的重心为，则， 所以，即，所以（舍去）或， 所以，. 结合对称关系可知，， 所以的周长即线段的长度为： . 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与直线为异面直线 C. 直线与直线所成的角为 D. 平面 【答案】AD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定即可判断A；根据即可判断BC，建立合适的空间直角坐标系，证明，最后结合线面垂直的判定即可. 【详解】对A，连接，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对BC，由A知，则两直线共面，则直线与直线不是异面直线，且直线与直线所成的角不是故BC错误； 对D，以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 则， 则， 则， 则，又因为平面，所以平面. 故选：AD. 10. 已知直线，则（ ） A. 若，则的一个方向向量为 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若不经过第二象限，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C，将化简得，结合一次函数的性质即可判断D. 【详解】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为，故A正确； 对B，若，当时，显然不合题意，则，则直线的斜率， 直线的斜率，则有，即，解得或， 当时，此时直线，显然两条直线重合，故B错误； 对C，若，当时，显然不合题意，则，则， 即，解得，故C正确； 对D，若不经过第二象限，，化简得，则，解得，故D正确； 故选：ACD. 11. 如图，在四棱锥中，底面，底面为边长为2的菱形，，为对角线的交点，为的中点．则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的外接球的半径为 C. 当异面直线和所成的角为时， D. 点F到平面与到平面的距离相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】在菱形中，过点作直线，以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间向量求出线线角判断AC；求出点到平面距离判断D；分析棱锥外接球球心并求出球半径判断B. 【详解】在菱形中，过点作直线，由底面，得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，而， 则， 由，得，则， 对于A，，， 则，于是，A正确； 对于B，由，得三棱锥的外接球截平面所得截面圆圆心为， 则球心在过垂直于平面的直线上，直线，显然球心在线段的中垂面上， 因此，三棱锥的外接球，B错误； 对于C，，由异面直线和所成的角为， 得，整理得， 而，解得，C正确； 对于D，， 设平面与平面的法向量分别为， ，令，得， ，令，得， 而，则点F到平面的距离， 点F到平面的距离，显然，D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间四边形中，，，，，则______． 【答案】22 【解析】 【分析】由，可得，化简可得，然后结合可得答案. 【详解】因，则， ， 则， 整理得，因此． . 故答案为：22 13. 经过，两点的直线的方向向量为，则m的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的斜率公式和方向向量的概念求解即可. 【详解】因为直线的方向向量为，故， 因为经过，两点的直线的方向向量为， 所以，解得. 故答案为： 14. 如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点（不包含边界），且满足平面．设直线MN与直线所成的角为，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面，过点构造平行平面，找到动点的轨迹为两个平面交线，再建系求解余弦最值，最后转化为正切最值即可. 【详解】分别取线段的中点Q，P，连接MQ，MP，PQ，如图所示． 连接，易知，所以． 因为 平面平面，所以平面， 同理可得平面， 又平面MPQ，故平面平面， 故点在线段PQ上，且不与P，Q重合． 以点为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系． 令正方体棱长为2，设，则，， 所以． 当时，取得最大值，为，此时取得最小值，故的最小值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知直线经过点，斜率为2. （1）求直线的截距式方程. （2）若直线与垂直，且，在y轴上的截距相等，求的截距式方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再化成直线的截距式方程即得. （2）求出直线的斜率及方程，再化成直线的截距式方程即可. 【小问1详解】 依题意，直线的方程为：，即， 所以直线的截距式方程为. 【小问2详解】 由直线与垂直，得直线的斜率为，由（1）知，直线在y轴上的截距为， 于是直线的方程为，即， 所以直线的截距式方程为. 16. 已知直线和直线，问：m为何值时，直线与平行？m为何值时，直线与垂直？ 【答案】时，直线与平行；当时，直线与垂直 【解析】 【分析】分类讨论，结合两直线平行与垂直的判定求解即可． 【详解】当时，直线：，直线：，直线与垂直； 当时，直线的方程可化为， ①若直线与垂直，则无解，故时，不存在直线与垂直； ②若直线与平行， 则，得， 当时，，两直线重合，不合题意舍去； 当时，，符合题意； 故当时，直线与平行； 当时，直线与垂直． 17. 已知直线：和直线：. （1）求直线恒过的定点，及该定点到直线的距离； （2）若，求两直线与间的距离. 【答案】（1）定点，距离为 （2） 【解析】 【分析】先求出直线的定点，再利用点到直线的距离公式求解即可； （2）利用两条直线平行的条件求出，再利用平行线之间的距离公式即可得到答案. 【小问1详解】 直线：恒过定点， 定点到直线的距离为. 【小问2详解】 由，则，即， 此时：，即，：，满足， 则两直线与间的距离为. 18. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得； （2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 19. 如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面，且，. （1）若平面与平面的交线为，求证：； （2）求证：； （3）是否存在球O，使得四棱锥的顶点均在此球面上?若存在，求与平面所成角的正切值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在球O， 【解析】 【分析】（1）首先证明平面，结合线面平行的性质即可证明； （2）首先证明平面，从而证明平面，利用线面垂直的性质即可证明； （3）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出球心的坐标，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式即可求解. 【小问1详解】 因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面与平面的交线为， 则平面，平面， 所以 【小问2详解】 因为平面，所以， 因为底面为正方形，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以 【小问3详解】 根据题意以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设四棱锥的外接球的球心，半径为， 所以，解得：， 所以，则， 设平面的法向量为，，， 则，即，取，则，， 所以平面的法向量为 设与平面所成角为，则， 因为与平面所成角，则 所以与平面所成角的正切值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $