精品解析：江苏省南通市海安市十三校2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025～2026学年度第一学期第一次联合测试 初二数学试题 （考试时间120分钟，总分150分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A.不是中心对称图形，不符合题意； B.是中心对称图形，符合题意； C.不是中心对称图形，不符合题意； D.不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 在直角坐标系中，点关于y轴的对称点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，直接利用关于y轴对称点的性质得出答案． 【详解】解：点关于y轴的对称点为， 故点关于y轴的对称点在第二象限． 故选：B． 3. 如图，已知∠BAD＝∠CAE，AC＝AE，下列添加的条件中不能证明 是（ ） A. DE＝BC B. AB＝AD C. ∠C＝∠E D. ∠B＝∠D 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC与△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， 在△ABC与△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）， 在△ABC与△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（AAS）， 故B、C、D选项正确符合题意，A选项不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 4. 如图，在等腰中，已知，则下列不能说明的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，根据三角形的三线合一以及全等三角形的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、 ∵，，∴，故该选项不符合题意； B、 ∵，∴，不能说明，故该选项符合题意； C、∵， ，∴，故该选项不符合题意； D、∵ ，∴，故该选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，已知，，，则（ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是关键．根据全等三角形的性质得到，，再利用三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴ 故选：C 6. 如图，在中，，，以为圆心、大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，过M，N作直线与相交于点D，则的周长为（ ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线性质，根据题意可知为的垂直平分线，继而可得，后即可求出本题答案． 【详解】解：∵以为圆心、大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，过M，N作直线与相交于点D， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长：， 故选：D． 7. 如图，在中，，的平分线交于点，为上一动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：作于H，如图， ∵的平分线交于点，，， ∴， ∵Q为上一动点， ∴的最小值为的长，即的最小值为2． 故选：． 8. 平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】解：构造等腰三角形， ①分别以A，B为圆心，以AB的长为半径作圆； ②作AB的中垂线． 如图，一共有5个C点， 注意，与B重合及与AB共线的点要排除． 故选A. 9. 如图，在中，，D为直线上异于B，C的一点．若是等腰三角形，则的度数不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角和三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出，再分，和三种情况，讨论求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴； 如图所示，当时，则， ∴； 如图所示，当时，则， ∵， ∴ 如图所示，当时，则； 综上所述，的度数为或或， 故选：C． 10. 如图， ，， ，则下列结论中：① ；② ；③ ；④ ；正确的是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ②④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】延长 交 于点，延长 交 于点，根据全等三角形和等腰直角三角形的性质可证明和可判断出①②正确，根据，，可判断③不正确，利用，，，可得④正确，从而可得答案． 【详解】解：延长 交 于点，延长 交 于点 ， ， ， ， ，故③不正确； 由，可知 、 均为等腰三角形 ， ， ， ， ，故①正确； ， ，故②正确； ，故④正确； 故选：B 【点睛】此题考查全等三角形的性质，同时涉及等腰直角三角形知识点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二．填空题（共6小题，第11-12题每小题3分，第13-16题每小题4分，共22分） 11. 命题“如果，那么”的逆命题是_______命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．注意，判定一个命题是假命题，需举反例．先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据有理数的平方判断即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么，是假命题， 例如：当时，， 故答案为：假． 12. 若等腰三角形两边的长分别为和，则周长是__________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，构成三角形的条件；分两种情况考虑：腰长为的等腰三角形；腰长为的等腰三角形，结合构成三角形的条件即可求解． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为时，则另一腰长为，底边为， 故周长为； 当等腰三角形的腰长为时，则另一腰长为，底边为，但， 此时三线段不构成三角形； 综上，三角形的周长为， 故答案为：17． 13. 如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=________度． 【答案】52 【解析】 【分析】设，然后根据，，表示出和的度数，最后根据三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】解：， ，， 设， ， ， ， 在中， ， ， 解得：． 故答案为：52． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等． 14. 如图，在中，的垂直平分线、相交于点O，若，则_____． 【答案】10° 【解析】 【分析】连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】连接， 的垂直平分线交于点O， ， 故答案为：10°． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 15. 如图，的平分线与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质． 根据已知条件，、分别平分、，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：2． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，O是的中点，点A的坐标是，则点C的坐标为_________，点B的坐标为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．过点C作轴于点D，过点A作轴于点E，过点C作x轴的平行线交的延长线于点F，证明，由全等三角形的性质得出，即可求出点C的坐标；证明，由全等三角形的性质得出，求出，则可得出点B的坐标． 【详解】解：过点C作轴于点D，过点A作轴于点E，过点C作x轴的平行线交的延长线于点F， ∵点A的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 三．解答题（共9小题，共98分） 17. 如图，点C是的中点，，且．求证． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵点C是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，证明是关键．证明，则，根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】略 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）在图中画出关于x轴对称的图形； （2）求的面积； （3）在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是_______，此时点关于这条直线的对称点的坐标为_______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） （3）y轴； 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称， （1）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，进而在坐标系中描出，再顺次连接即可； （2）根据长方形的面积减去三个三角形的面积，即可求解． （3）根据B与横坐标互为相反数，纵坐标相同可知二者关于y轴对称，据此求出的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 解：∵图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是y轴，此时点关于这条直线的对称点的坐标为， 故答案为：y轴；． 19. 如图，中，，点E，F在边上，，点D在的延长线上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）要证明，由题意可得 从而可以证明结论成立； （2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ， ， 答：的度数为． 20. 如图，已知，，． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①在边上求作一点P，使； ②在上求作一点M，使得平分． （2）在（1）的条件下求的大小． 【答案】（1）①如图，下图中点 P 即为所求； ②点 M 即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图-画已知角，角平分线尺规作图，角平分线性质，三角形内角和定理等． （1）①利用画已知角图方法画图即可；②利用角平分线进行尺规作图即可； （2）根据题意利用三角形内角和求出，后利用角平分线求得，再利用内角和即可求出本题答案． 【小问1详解】 解：①以点为圆心，任意长为半径画弧，再以同样长为半径，以点为圆心画弧，再以点为圆心画弧的两点长为半径，以为圆心画弧，两弧交于点，连接交于， ②以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交两边于两点，再分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点，连接与两弧交点，交于， 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 21. 如图，在中，的平分线与的中垂线交于点E，过点E作边的垂线，垂足N，过点E作延长线的垂线，垂足为M． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，， 是的垂直平分线， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ； （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，，由题意易得，，进而可证，然后问题得解； （2）由（1）得：，进而可证，则有，然后根据线段的和差关系可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得：， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定定理、线段垂直平分线的性质定理及角平分线的性质定理，熟练掌握直角三角形全等的判定定理、线段垂直平分线的性质定理及角平分线的性质定理是解题的关键． 22. 小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形”并给出了如下证明． 已知：如图，在中，平分 求证：是等腰三角形． 证明：…… （1）请完成证明过程； （2）小明继续研究，将猜想中的“高线”换成_______，发现命题的结论也正确，请完成填空，并对小明继续研究得到的结论给予证明． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ = 90°． 在和中， ∴； ∴，是等腰三角形． （2） 解：中线． 方法1： 如图1，过点D作于点E，于点F． ∵ 平分， ∴，． ∵ D是中点， ∴ ． ∴； ∴ ， ∴是等腰三角形． 方法2： 如图2，延长至点E，使，连接． ∵ D是中点， ∴ ． 在和中， ∴； ∴ ． ∵ 平分， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了关于等腰三角形“三线合一”性质的证明，利用全等三角形进行证明是解题关键． （1）证即可； （2）可过点D作于点E，于点F．证；也可延长至点E，使，连接．证； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在△ABC中，高线AD，BE，相交于点O，AE=BE，BD=2，DC=2BD． （1）证明：△AEO≌△BEC； （2）求OA的长； （3）F是直线AC上的一点，且CF=BO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发，沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，则是否存在t值，使得以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵AD，BE是的高， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ (ASA)； （2）OA的长为6 （3）存在，当s或s时，以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等 【解析】 【分析】（1）根据三角形的高得，根据角之间的关系得，用ASA即可证明； （2）根据边之间的关系得，即可得求出BC的长度，根据全等三角形的性质得，即可得； （3）由题意得，，，根据等边对等叫得，分情况讨论：时，OP=CQ，得，进行计算即可得，时，OP=CQ，得，进行计算即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：6． 【小问3详解】 存在，理由如下： 解：由题意得，，， ∵， ∴， 如图所示， 当时，OP=CQ， ∴， 解得：； 如图所示， 当时，OP=CQ， ∴， 解得：， 综上所述，存在，当秒或2秒时，以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，适当的添加辅助线． 24. 如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90゜，D为CB延长线上一点，AE=AD，且AE⊥AD,BE与AC的延长线交于点P. (1)求证：BP=PE; (2)若AC=4PC,求的值. 【答案】 （1）证明：作EM⊥AP于M，如图所示： ∵∠ACB=90°， ∴∠M=∠ACD， ∵AD⊥AE， ∴∠DAE=90°， ∴∠EAM+∠AEM=90°，∠EAM+∠DAC=90°， ∴∠DAC=∠AEM， 在△ADC和△EAM中 ， ∴△ADC≌△EAM（AAS）， ∴AC=EM， ∵AC=BC， ∴BC=EM， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCP=∠M， 在△BCP和△EMP中 ， ∴△BCP≌△EMP（AAS）， ∴BP=PE； （2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）作EM⊥AP于M，证△BCP≌△EMP，求出BC=AC=EM，证△ADC≌△EAM，推出即可； （2）根据全等三角形性质得出CP=PM，DC=AM，设PC=PM=x，AC=BC=3x，AM=DC=5x，求出BD=2x，即可求出答案． 试题解析： (1)略 （2）∵△BCP≌△EMP，△ADC≌△EAM， ∴CP=PM，AM=DC， 设PC=PM=x，AC=BC=4x，AM=DC=6x， ∴BD=2x， ∴． 25. 如图1和2，在四边形中，，，平分． （1）如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； （2）问题解决：如图2，求证：； （3）问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】（1）角平分线上的点到角的两边距离相等 （2） 证明：如图，作于E，于F． ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 证明：如图，在上截取，连接． ∵在等腰中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的性质定理解答； （2）作于E，于F，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （3）在上截取，连接，可得，可证明，结合图形证明，从而得到，进而得到，即可求证． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∵平分， ∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）． 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期第一次联合测试 初二数学试题 （考试时间120分钟，总分150分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在直角坐标系中，点关于y轴的对称点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，已知∠BAD＝∠CAE，AC＝AE，下列添加的条件中不能证明 是（ ） A. DE＝BC B. AB＝AD C. ∠C＝∠E D. ∠B＝∠D 4. 如图，在等腰中，已知，则下列不能说明的是( ) A. B. C. D. 5. 如图，已知，，，则（ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 6. 如图，在中，，，以为圆心、大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，过M，N作直线与相交于点D，则的周长为（ ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 14 7. 如图，在中，，的平分线交于点，为上一动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 2.5 8. 平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 如图，在中，，D为直线上异于B，C的一点．若是等腰三角形，则的度数不可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图， ，， ，则下列结论中：① ；② ；③ ；④ ；正确的是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ②④ D. ②③④ 二．填空题（共6小题，第11-12题每小题3分，第13-16题每小题4分，共22分） 11. 命题“如果，那么”的逆命题是_______命题（填“真”或“假”）． 12. 若等腰三角形两边的长分别为和，则周长是__________． 13. 如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=________度． 14. 如图，在中，的垂直平分线、相交于点O，若，则_____． 15. 如图，的平分线与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，O是的中点，点A的坐标是，则点C的坐标为_________，点B的坐标为_________． 三．解答题（共9小题，共98分） 17. 如图，点C是的中点，，且．求证． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）在图中画出关于x轴对称的图形； （2）求的面积； （3）在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是_______，此时点关于这条直线的对称点的坐标为_______． 19. 如图，中，，点E，F在边上，，点D在的延长线上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 如图，已知，，． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①在边上求作一点P，使； ②在上求作一点M，使得平分． （2）在（1）的条件下求的大小． 21. 如图，在中，的平分线与的中垂线交于点E，过点E作边的垂线，垂足N，过点E作延长线的垂线，垂足为M． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形”并给出了如下证明． 已知：如图，在中，平分 求证：是等腰三角形． 证明：…… （1）请完成证明过程； （2）小明继续研究，将猜想中的“高线”换成_______，发现命题的结论也正确，请完成填空，并对小明继续研究得到的结论给予证明． 23. 如图，在△ABC中，高线AD，BE，相交于点O，AE=BE，BD=2，DC=2BD． （1）证明：△AEO≌△BEC； （2）求OA的长； （3）F是直线AC上的一点，且CF=BO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发，沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，则是否存在t值，使得以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值，若不存在，请说明理由． 24. 如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90゜，D为CB延长线上一点，AE=AD，且AE⊥AD,BE与AC的延长线交于点P. (1)求证：BP=PE; (2)若AC=4PC,求的值. 25. 如图1和2，在四边形中，，，平分． （1）如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； （2）问题解决：如图2，求证：； （3）问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $