精品解析：陕西省商洛市2025-2026学年高三上学期第一次模拟考试数学试题

2026届高三第一次模拟考试 高三数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 已知复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 已知集合，则集合A的真子集个数是（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 3. 已知a、b都是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 6. 已知定义在上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分． 9. 已知平面向量，， ，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则 ； D. 若，则在方向上的投影向量的坐标为. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的解析式可以为 B. 将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C. 的对称中心为 D. 若，则 11. 平面直角坐标系 中，曲线上任一点，满足到点的距离的倒数和为定值，即，则下列说法正确的是（ ） A. 对于不同的值，曲线总是关于轴对称 B. 当时，曲线经过原点 C. 当时，的取值范围为 D. 当时，轴上存在4个不同的点在曲线上 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 已知幂函数的图象过点，则 ____________ 13. 的内角、、所对边长分别为，面积为，且，则角______. 14. 已知函数，若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前 项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若数列是公比为3的等比数列，且，求的前 项和． 16. 如图，在三棱柱中，，平面 平面. （1）证明：. （2）若， ， ，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 某平台为了研究用户日均观看短视频的时长，随机抽取了200名用户进行调查，得到数据如下表： 日均时长（分钟） [40，50] 频数 30 50 80 30 10 （1）估计这200名用户日均观看时长的第70百分位数； （2）若平台规定“日均观看时长不少于30分钟的用户为潜在高粘性用户”，现从样本中有放回地抽取次，每次抽取1人，记抽到潜在高粘性用户的人数为. （i）当 时，求的分布列和数学期望； （ii）若平台希望至少抽到1名潜在高粘性用户的概率不低于，至少需抽取多少次？（参考数据： ） 18. 已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，且，直线过点与交于 两点. （1）求的方程； （2）若，求的方程； （3）若直线过点与交于两点，且的斜率乘积为分别是线段的中点，求面积的最大值. 19. 已知. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意，恒有 . （i）求的取值范围; （ii）证明: 对任意的正整数 ，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三第一次模拟考试 高三数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 已知复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数的运算法则求出，再根据模长公式计算即可. 【详解】由， 所以. 故选：D 2. 已知集合，则集合A的真子集个数是（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】求解一元二次不等式得出，判断其真子集个数即可. 【详解】由可得，故 ， 则集合的真子集个数是. 故选：C. 3. 已知a、b都是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】若，则， 当时，， ，则，即成立，满足充分性. 当时，，但不成立，所以，不能推出，不满足必要性. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助指数函数与对数函数的单调性可得、、范围，即可得解. 【详解】由，，即， ，故. 故选：A. 5. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 6. 已知定义在上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，根据的奇偶性和周期性得到. 【详解】，故，， 定义在上的偶函数的最小正周期为2， 故. 故选：B 7. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解. 【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为， 则， 所以， 又， 则， 所以， 所以甲圆锥的高， 乙圆锥的高， 所以. 故选：C. 8. 已知函数，若对，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用定义法证明为奇函数，根据导数和基本不等式的应用证明在上单调递增，由函数的奇偶性和单调性解不等式并分离参数可得，结合导数求出即可. 【详解】因为，，所以为奇函数. 又， 当且仅当即时等号成立，所以在上单调递增. 由，所以，所以. 对任意，由，得，所以只需即可. 令，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以. 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分． 9. 已知平面向量，， ，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则 ； D. 若，则在方向上的投影向量的坐标为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，结合 ，求得的值，可判定A正确；根据向量模的计算公式，可得判定B错误；由，结合共线向量的坐标表示，列出方程，求得的值，可判定C正确；根据在方向上的投影向量的计算方法，可判定D正确． 【详解】对于A中，由，可得，解得，所以A正确； 对于B中，当时，，可得，所以B错误； 对于C中，由，因为，可得，解得 ，所以C正确； 对于D中，当时，， 此时在方向上的投影向量的坐标为，所以D正确． 故选：ACD． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的解析式可以为 B. 将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C. 的对称中心为 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由正弦函数图象求正弦函数解析式的方法可判断；利用三角函数的图象变换可判断；根据正弦函数的对称中心的求法可判断；利用换元法，结合三角函数的性质可判断. 【详解】对于：由图知，，所以， 过点，所以， 可取，则，故正确； 对于：由知， 将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，可得， 再向左平移个单位，得到的图象， 则， , 二者不相等，故错误； 对于：由知，所以， 解得，所以的对称中心为，故错误； 对于：，令， 则，因为， 则，，所以 ， 即，即， 所以，故正确. 故选： . 11. 平面直角坐标系中，曲线上任一点，满足到点的距离的倒数和为定值，即，则下列说法正确的是（ ） A. 对于不同的 值，曲线总是关于轴对称 B. 当时，曲线经过原点 C. 当时，的取值范围为 D. 当时，轴上存在4个不同的点在曲线上 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，设关于轴的对称点为，通过分析得到，由此可判断；对于B，当时，通过检验是否成立可判断；对于C，当时，结合题设得及，令，得，利用函数单调性求得即可判断C；对于D，当时，设曲线在轴上的点为，由题设得，通过分类讨论结合曲线的对称性求得的值，可判断D. 【详解】对于A，因为，可知为线段的中点， 又动点满足，设动点关于轴对称的点为， 则，，可得，所以曲线关于轴对称，故A正确； 对于B，当时，将原点代入，得，故B错误； 对于C，当时，，可得． 因为，即，解得，， 令，则，由对勾函数可知在内单调递减，在内单调递增，且，，可得， 所以，故C正确； 对于D，当时，设曲线在轴上的点为，由题意得， 因为曲线图象关于轴对称，不妨考虑的情形， 当 时，方程化为，解得， 当时，方程化为，解得， 故时，轴上有2个点，所以轴上存在4个不同的点在曲线上，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 已知幂函数的图象过点，则 ____________ 【答案】3 【解析】 【分析】设出函数解析式，由已知点求得参数值得解析式，然后代入计算． 【详解】设，则，，即， ∴． 故答案为：3. 13. 的内角、、所对边长分别为，面积为，且，则角______. 【答案】## 【解析】 【分析】将的面积，及，代入条件计算即可. 【详解】的面积，因为，所以， 所以，又，所以. 故答案为： 14. 已知函数，若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先分析分段函数的单调性，然后画图，将“存在实数使得函数恰有3个零点”问题转化为函数与直线 有三个交点的问题，结合图象即可求得的取值范围. 【详解】当时，，求导得， 所以在上单调递增，最大值为. 当时，. 当时，；当 时，， 画出的图象如下： 因为存在实数使得函数恰有3个零点，这个问题可以转化为函数与直线 有三个交点的问题. 由图可知时，存在实数使得函数与直线 最多有2个交点，不合题意. 当 时，存在实数使得函数与直线 最多有2个交点，不合题意. 当时，由图可以知道，存在实数使得函数与直线 恰有3个交点，符合题意. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若数列是公比为3的等比数列，且，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的基本量结合题设求出，进而求解即可； （2）由题意易得，进而利用分组求和法求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为 ， 由题意，得，解得， 则. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为数列是公比为3的等比数列，其首项为， 则，则， 所以. 16. 如图，在三棱柱中，，平面 平面. （1）证明：. （2）若， ， ，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） ∵，平面 平面，平面 平面， 平面， ∴ 平面. ∵ 平面，∴. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直得到线面垂直，利用线面垂直可证明结论. （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可求得线面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得 平面，∵平面，∴， ∵， ，∴. 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，， ，， ∴，，. 设平面的法向量为，则， 令，则 ，故. 设直线与平面所成的角为，则， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 17. 某平台为了研究用户日均观看短视频的时长，随机抽取了200名用户进行调查，得到数据如下表： 日均时长（分钟） [40，50] 频数 30 50 80 30 10 （1）估计这200名用户日均观看时长的第70百分位数； （2）若平台规定“日均观看时长不少于30分钟的用户为潜在高粘性用户”，现从样本中有放回地抽取次，每次抽取1人，记抽到潜在高粘性用户的人数为. （i）当 时，求的分布列和数学期望； （ii）若平台希望至少抽到1名潜在高粘性用户的概率不低于，至少需抽取多少次？（参考数据： ） 【答案】（1） （2）（i）的分布列为 0 1 2 3 ；（ii）11次 【解析】 【分析】（1）第70百分位数为累计频数 ，第70百分位数落在区间 ，利用比例求解即可； （2）（i），列出Y的所有可能取值和对应概率，得到分布列，并利用二项分布求期望公式计算出数学期望； （ii）利用对立事件计算出抽到潜在高粘性用户的概率，解不等式得到答案 【小问1详解】 将数据按时长升序排列，第70百分位数位置为 ， 前两组累计频数 ，前3组累计频数 ， 故第70百分位数落在区间 ， 则第70百分位数约为 ； 【小问2详解】 （i）潜在高粘性用户的频率为，. 易得 的可能取值有0，1，2，3， 则， ，. 故的分布列为 0 1 2 3 ； （ii）设至少需抽取次，则 ，即 ，. 即 ， 故至少需抽取11次. 18. 已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，且，直线过点与交于两点. （1）求的方程； （2）若，求的方程； （3）若直线过点与交于两点，且的斜率乘积为分别是线段的中点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2），或； （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆焦距公式。椭圆离心率公式，结合椭圆标准方程中的关系进行求解即可； （2）根据直线的斜率是否为零，结合椭圆弦长公式分类讨论进行求解即可 （3）根据一元二次方程根与系数关系，结合中点坐标公式、三角形的特点、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 又因为该椭圆的离心率为，所以， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率为零时，此时方程为，此时， 显然此时，不符合题意， 故设直线的方程为，与椭圆方程联立，得 ， 因为， 所以设，则有， 由 ， 所以直线的方程为，或； 【小问3详解】 由（2）可知：，所以 因此的坐标为， 设故设直线的方程为，与椭圆方程联立，得 ， 因为， 所以设，则有， ， 所以的坐标为， 因为的斜率乘积为， 所以，因此的坐标为， 显然边与横轴平行， 因此， 即 即时，取等号，即当时取等号， 所以面积的最大值. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出的坐标，再根据直线斜率的关系，把两个点的坐标统一一个变量，最后利用基本不等式进行求解. 19. 已知. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意，恒有 . （i）求的取值范围; （ii）证明: 对任意的正整数，. 【答案】（1）； （2）（i）； （ii）由（i）得当时，， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数在 上单调递减，，函数在 上单调递减， 因此 ，当时，，当时，， 于是， 所以. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）（i）等价变形不等式并构造函数，求出导数，按分类探讨即可；（ii）由（i）的结论可得，再利用导数证明不等式，取，利用放缩法及裂项相消法求和得证. 【小问1详解】 当时，函数，求导得， 则，而，切线方程为， 所以曲线在处的切线方程. 【小问2详解】 （i）对任意，不等式， 设函数，求导得 当时，，函数在上单调递增，，因此； 当时，令，求导得，， 则，使得，当时，，函数 在上递增， 当时， ，即，因此， 此时，不符合题意； 当 时，，不符合题意， 所以的取值范围是. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $