精品解析：宁夏固原市西吉中学2025-2026学年高三上学期第一次模拟考试数学试题

西吉中学2025~2026学年高三年级第一次模拟考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是（ ） A. 超过的大学生更爱使用购物类APP B. 超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要 C. 使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是 D. APP使用目的中6个占比数字的分位数是 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 对于任意实数，，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第一次抽到的可能性为a，第二次被抽到的可能性为b，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 甲乙等6名数学竞赛国家集训队队员站成一排合影，若甲乙两名同学中间恰有1人，则不同的站法数为（ ） A. 144 B. 192 C. 360 D. 480 7. 已知某工厂生产的某批产品的质量指标服从正态分布，质量指标大于或等于20的产品为优等品，且优等品出现的概率为，现从该批产品中随机抽取6件，用X表示这6件产品的质量指标不在区间内的产品件数，则（ ） A. B. C. D. 8. 若存在，使得成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，是三个随机事件，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，相互独立，则 C. 若，则，对立 D. 若，，则 10. 对于狄利克雷函数，下列命题中真命题的有（ ） A. 对于任意，都有 B. 对于任意，都有 C. 存在x是无理数，使得 D. 若，，则有 11. 设随机变量X的分布列为，，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若，则____________． 13. 若一组样本数据的平均数为10，另一组样本数据的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是__________. 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在甲手中的概率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 15. 为了解学生中午的用餐方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了下面的频率分布表（不完整），并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为（同一组数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）. 学生与最近食堂间的距离 合计 在食堂就餐 0.15 0.10 0.00 0.50 点外卖 0.20 0.00 0.50 合计 0.20 0.15 0.00 1.00 （1）求出的值并补全频率分布表； （2）根据频率分布表补全样本容量为的列联表（如下表），并根据小概率值的独立性检验，能否认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过时，认为较近，否则认为较远）； 根据频率分布表列出如下的列联表： 学生距最近食堂较近 学生距最近食堂较远 合计 在食堂就餐 点外卖 合计 附：，其中. 0.10 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 16. 已知，；  （1）写出的否定，并求当的否定为真命题时，实数的取值范围 （2）若，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 17. 某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费（单位：万元）和增加收益（单位：万元）的数据如下表： 4 6 8 10 12 27 42 55 56 60 为了进一步了解技术革新投入经费对增加收益的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①，②． （1）根据以上数据，计算模型①中与的相关系数（结果精确到0.01）； （2）若，则选择模型①；否则选择模型②．根据（1）的结果，试建立增加收益关于技术革新投入经费的回归模型，并预测时的值（结果精确到0.01）． 附：i）回归直线的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：，， ii）参考数据：设，，，，，． 18. 甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往的训练数据可知，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响．现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球记1分，不投进记分． （1）求甲在一个轮次投篮结束后的得分不大于0的概率； （2）记甲、乙每轮次投篮得分之和为X． ①求； ②若，则称该轮次为一个“成功轮次”．在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”的数量为Y，当n为何值时，的值最大？ 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西吉中学2025~2026学年高三年级第一次模拟考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是（ ） A. 超过的大学生更爱使用购物类APP B. 超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要 C. 使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是 D. APP使用目的中6个占比数字的分位数是 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，，A错误；B选项，，B错误；C选项，利用极差定义得到C正确；D选项，由百分位数的定义进行判断. 【详解】A选项，更爱使用购物类APP的大学生比例为，A错误； B选项，为了学习与生活需要使用APP的大学生比例为，B错误； C选项，使用APP偏好情况中7个占比中，数字极差为，C正确； D选项，，故从小到大，选取第3个作为分位数，即，D错误. 故选：C 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出不等式的解集，再利用交集的运算法则求解. 【详解】由已知得，， 即 故选：. 3. 对于任意实数，，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】赋值法可知“”是“”的不充分条件，由，所以，从而可得，可得结论. 【详解】当时，满足成立，但不满足成立， 所以“”是“”的不充分条件， 因为，所以，又，所以， 所以“”是“”的必要条件, 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】赋值法求系数和. 【详解】令，则①， 令，则②， 则（①-②）再除以2可得， 故选：B. 5. 某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第一次抽到的可能性为a，第二次被抽到的可能性为b，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合简单随机抽样的特征即可确定实数a，b的值. 【详解】由简单随机抽样的定义知，每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到， 故五班在每次抽样中被抽到的可能性都是，所以， 故选：D. 6. 甲乙等6名数学竞赛国家集训队队员站成一排合影，若甲乙两名同学中间恰有1人，则不同的站法数为（ ） A. 144 B. 192 C. 360 D. 480 【答案】B 【解析】 【分析】分2步进行分析：①在其他4人中，选出1人，安排在甲乙之间；②将3人看成一个整体，与其余3人全排列，由分步计数原理计算即可． 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①在其他4人中，选出1人，安排在甲乙之间，有种情况； ②将3人看成一个整体，与其余3人全排列，有种排法； 则有种不同的站法． 故选：B 7. 已知某工厂生产的某批产品的质量指标服从正态分布，质量指标大于或等于20的产品为优等品，且优等品出现的概率为，现从该批产品中随机抽取6件，用X表示这6件产品的质量指标不在区间内的产品件数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求出质量指标不在区间的概率，结合条件可得随机变量服从二项分布，根据二项分布的方差公式求解即可. 【详解】由正态分布的性质得质量指标在区间的概率为， 则1件产品的质量指标不在区间的概率为， 所以，故. 故选：C. 8. 若存在，使得成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对求导，根据的单调性，结合可得，进而构造函数，利用导数求解函数单调性，即可求解最值得解. 【详解】由，则，对求导，所以， 当时，，，所以，在上单调递减． 当时，，当时，，所以的值域是． 又,,，所以，那么． 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，则的最大值为． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，是三个随机事件，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，相互独立，则 C. 若，则，对立 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据概率的性质，相互独立事件概念，对立事件概念，条件概率，逐个判断得到答案. 【详解】对于选项A：显然，故A正确； 对于选项B：若，相互独立，则，也相互独立，则，故B正确； 对于选项C：若抛一枚股子，出现奇数点向上概率为事件，向上点数不超过3为事件 显然事件，不对立，所以C错误； 对于选项D：因为，所以， 又因为，，所以， 所以，所以D正确. 故选：ABD 10. 对于狄利克雷函数，下列命题中真命题的有（ ） A. 对于任意，都有 B. 对于任意，都有 C. 存在x是无理数，使得 D. 若，，则有 【答案】AD 【解析】 【分析】对于AD：可知的值域为，结合值域分析判断即可；对于B：举反例说明即可；对于C：若x是无理数，则是无理数，结合函数解析式分析判断即可. 【详解】因为， 对于选项A：因为的值域为，即为有理数， 所以对于任意，都有，故A正确； 对于选项B：例如，则，即均为有理数， 则，故B错误； 对于选项C：若x是无理数，则是无理数，则， 所以不存在x是无理数，使得，故C错误； 对于选项D：因为的值域为，且，， 则，， 所以，故D正确； 故选：AD. 11. 设随机变量X的分布列为，，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用分布列的性质可得概率之和为1，得出，利用概率的性质可判断A选项，再利用均值方差定义公式以及其性质逐项判断BCD即可. 【详解】因为随机变量的分布列为，由分布列的性质可知，，解得， 对于A，，故A不正确； 对于B，， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D不正确. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用指数和对数的运算求得答案. 【详解】由，可得， 即，也即， 且，， 两边取对数得：，解得. 故答案为：. 13. 若一组样本数据的平均数为10，另一组样本数据的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是__________. 【答案】54 【解析】 【分析】计算出、的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的方差. 【详解】由题意可知，数据的平均数为10， 所以，则， 所以数据的平均数为， 方差为，所以， 将两组数据合并后，得到新数据， 则其平均数为， 方差为 ， 故答案为：54. . 故答案为：. 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在甲手中的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设次传球后球在甲手中的概率为，则第次传球到乙、丙手中的概率为，可得与的关系，然后构造等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】设第次传球后球在甲手中的概率为，则第次传球给乙、丙的概率为：， 故，则， 即数列为等比数列，其首项为，公比为， 则，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 15. 为了解学生中午的用餐方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了下面的频率分布表（不完整），并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为（同一组数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）. 学生与最近食堂间的距离 合计 在食堂就餐 0.15 0.10 0.00 0.50 点外卖 0.20 0.00 0.50 合计 0.20 0.15 0.00 1.00 （1）求出的值并补全频率分布表； （2）根据频率分布表补全样本容量为的列联表（如下表），并根据小概率值的独立性检验，能否认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过时，认为较近，否则认为较远）； 根据频率分布表列出如下的列联表： 学生距最近食堂较近 学生距最近食堂较远 合计 在食堂就餐 点外卖 合计 附：，其中. 0.10 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1），频率分布表如下： 学生与最近食堂间的距离 合计 在食堂就餐 0.15 0.20 0.10 0.05 0.00 0.50 点外卖 0.05 0.20 0.15 0.10 0.00 0.50 合计 0.20 0.40 0.25 0.15 0.00 1.00 学生距最近食堂较近 学生距最近食堂较远 合计 在食堂就餐 700 300 1000 点外卖 500 500 1000 合计 1200 800 2000 （2）列联表如下：能【解析】 【分析】(1) 利用频率分布表估算平均数的方法列式计算即得值，再补全频率分布表. (2) 由(1)完善列联表，计算的观测值，比对并回答结论. 【小问1详解】 组的频率为， 估计学生与最近食堂间的平均距离， 解得， 所以补全频率分布表如下： 学生与最近食堂间的距离 合计 在食堂就餐 0.15 0.20 0.10 0.05 0.00 0.50 点外卖 0.05 0.20 0.15 0.10 0.00 0.50 合计 0.20 0.40 0.25 0.15 0.00 1.00 【小问2详解】由（1）知，名学生中，距最近食堂较近的学生有名，在食堂就餐的有名， 距最近食堂较远的学生中，在食堂就餐的有名， 因此列联表如下： 学生距最近食堂较近 学生距最近食堂较远 合计 在食堂就餐 700 300 1000 点外卖 500 500 1000 合计 1200 800 2000 零假设：学生中午的用餐情况与学生距最近食堂的远近无关， 于是， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即可以认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关. 16. 已知，；  （1）写出的否定，并求当的否定为真命题时，实数的取值范围 （2）若，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据特称命题的否定为全称命题可写出否定，并转化为对任意恒成立即可求解； （2）命题为真，则，命题为真，则，利用、有且只有一个为真时，求解的取值范围. 【小问1详解】 由题意，的否定为， 若的否定为真命题，则对任意恒成立， 所以只需，解得； 【小问2详解】 由（1）可得，当的否定为真命题时，，所以当为真命题时，. 若为真命题，则对于任意的，恒成立， 因此只需，解得. 因为，中有且只有一个为真命题，所以可分为两种情况： 若为真命题，为假命题，则有或，解得； 若为假命题，为真命题，则有，解得. 综上可知，实数的取值范围是或. 17. 某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费（单位：万元）和增加收益（单位：万元）的数据如下表： 4 6 8 10 12 27 42 55 56 60 为了进一步了解技术革新投入经费对增加收益的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①，②． （1）根据以上数据，计算模型①中与的相关系数（结果精确到0.01）； （2）若，则选择模型①；否则选择模型②．根据（1）的结果，试建立增加收益关于技术革新投入经费的回归模型，并预测时的值（结果精确到0.01）． 附：i）回归直线的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：，， ii）参考数据：设，，，，，． 【答案】（1） （2），约为万元 【解析】 【分析】（1）根据所给数据求出，，，，，即可求出相关系数； （2）根据（1）的结论，可判断选择模型②，令，求出关于的线性回归方程，即可求出关于的经验方程，再代入计算可得. 【小问1详解】 因为， ， 所以， ， ， 模型①中，相关系数， 【小问2详解】 因为，所以选择模型②， 令，先建立关于的线性回归方程， 由于， ， 所以关于的线性回归方程为， 即， 当时，（万元）， 所以若投入经费万元，收益约为万元. 18. 甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往的训练数据可知，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响．现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球记1分，不投进记分． （1）求甲在一个轮次投篮结束后的得分不大于0的概率； （2）记甲、乙每轮次投篮得分之和为X． ①求； ②若，则称该轮次为一个“成功轮次”．在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”的数量为Y，当n为何值时，的值最大？ 【答案】（1）； （2）①；②或或． 【解析】 【分析】（1）将问题转化成甲在一轮投篮中至多命中一次，再利用对立事件和相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解； （2）①由条件可得，再结合独立重复试验概率公式及互斥事件概率加法公式求结论； ②根据条件，得到，再由为不等式组的解，即可求. 【小问1详解】 甲在一轮投篮结束后的得分不大于，即甲在一轮投篮中至多命中一次， 所以甲在一轮投篮结束后的得分不大于的概率为. 【小问2详解】 ①． ②由①知，由题知， 所以， 由， 得到且， 整理得到，即， 得到，所以， 由题有，所以，得到，又， 所以或或. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，. （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程； （2）求出函数的导函数，分，，三种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （3）结合（2）分、、三种情况说明在上的单调性，再由，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，则，， 所以，则切点为，切线的斜率， 所以切线方程为； 【小问2详解】 函数的定义域为，又， 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时（当且仅当时取等号）， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 综上可得： 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，. 【小问3详解】 由（2）可知，当时在上单调递增，， 所以当，恒成立，符合题意； 当时， 若，即时在上单调递增，， 所以当，恒成立，符合题意； 若，即时在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，不符合题意； 综上，当时，对任意的，恒成立，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $