精品解析：江苏省南通市如皋市如皋初级中学2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试题

2025~2026学年第一学期练习一 八年级数学试题 （总分：150分 考试时间：120分钟 ） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，再添加一个条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ） A. B. C. D. 5. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 6. 如图，平分是上一点，于点，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 7. 如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，中，，，是的中线，点在边上，，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知点是等边三角形的边上的一点，若，则在以线段，，为边围成的三角形中，所对的角的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，11~12每小题3分，13~16每小题4分，共22分.不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标为_____________． 12. 如图，.若，，则中边的长是__________. 13. 如图，在直角平面坐标系中，，，，，则点C的坐标是______． 14. 如图，中，，，于H，若，则__________． 15. 如图，△ABC中，AB＝10，AC＝4，点O在边BC上，OD垂直平分BC，AD平分∠BAC，过点D作DM⊥AB于点M，则BM＝_____． 16. 如图，在中，，为线段上一动点（不与点、重合），连接，作，且，连接. （1）如图，当时，若，则______； （2）如图，设（），在点运动过程中，当时，______．（用含的式子表示） 三.解答题（本大题共9小题，共98分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、，且. 求证：． 18. 已知，如图，点、分别在、上，，、相交于点，，求证： （1）； （2）． 19. 如图，在中，． （1）请用无刻度直尺和圆规作的平分线，与边交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的作图下，若的面积是24，，求的长． 20. 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 21. 如图，在中，，D为边上一点，过D作，分别与相交于点E和点F． （1）求证：； （2）若，求证：． 22. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题： （1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标，即（______，______） （2）求出的面积为______． （3）在轴上存在一点使得最小，在图中画出点的位置，则点的坐标为（　　，　　）． 23. 一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 根据以上步骤，求证命题：全等三角形对应边上的中线相等． 24. 在边长为的等边三角形中，点是上一点，点是上一动点，以每秒的速度从点向点移动，设运动时间为秒． （1）如图1，若，，则的值为_____； （2）如图2，若点从点向点运动，同时点以每秒的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形． （3）如图3，将“边长为的等边三角形”变换为“，为腰，为底的等腰三角形，且，”，点在从向运动过程中，点，同时分别在，上运动，点以每秒的速度从点向运动，同时点以每秒的速度从点向运动（各点均不再返回），当以、、三点构成的三角形与全等时，求的值． 25. 问题情境 如图1，和都是等边三角形，连接，，求证：. 迁移应用 如图2，和都是等边三角形，，，三点在同一条直线上，是的中点，是的中点，在上，是等边三角形，判断与之间数量关系并证明. 拓展创新 如图3，是线段的中点，，在的下方作等边（，，三点按逆时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，.当的值最小时，直接写出等边边长的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期练习一 八年级数学试题 （总分：150分 考试时间：120分钟 ） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 2. 已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形对应角相等即可求出结果． 【详解】解：∵两个三角形全等，在第一个三角形中，为，两边的夹角度数， 在第二个三角形中，为，两边的夹角， ∴． 故选：A． 3. 如图，已知，再添加一个条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，分别判断各个选项中的条件能否使得 即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、添加，不能证明，原选项符合题意； 故选：． 4. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定条件判断即可． 【详解】解：由题意可知 在中 ∴(SSS) ∴ ∴就是的平分线 故选：D 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键． 5. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用； 游戏公平需要凳子到三顶点距离相等，此点为三角形外心，即三边垂直平分线的交点． 【详解】解：∵凳子到A、B、C距离相等， ∴凳子应放于的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 6. 如图，平分是上一点，于点，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理， 根据角平分线的性质可知点P到的距离为10，进而得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴点P到的距离为10， ∴点P与射线上某点连线的长度大于等于10，可以是11． 故选：D． 7. 如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为腰时，当为底时，分别画出图形，即可得出答案，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形， 当为底时，为等腰三角形， 满足条件的点共有个， 故选：D． 8. 如图，中，，，是的中线，点在边上，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一性质，等边对等角、三角形内角和定理等知识，由等腰三角形三线合一性质得，，又，则有，然后通过角度和差即可求解，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，是的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边等知识，由角平分线定义可得，又，则，可得，所以，同理得， 然后通过线段和差即可求解，熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴ ， 故选：． 10. 如图，已知点是等边三角形的边上的一点，若，则在以线段，，为边围成的三角形中，所对的角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，将绕点顺时针旋转得到，则，，，，所以为等边三角形，得，，故以，，为边围成的三角形，即，所对的角为，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴以，，为边围成的三角形，即， ∴所对的角为， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，11~12每小题3分，13~16每小题4分，共22分.不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于坐标轴对称的点的坐标规律求解． 【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 12. 如图，.若，，则中边的长是__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在直角平面坐标系中，，，，，则点C的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，过点C作轴于E，可证明，得到，再由点A和点B的坐标得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作轴于E， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，中，，，于H，若，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质可得和的度数，再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得和的长，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，△ABC中，AB＝10，AC＝4，点O在边BC上，OD垂直平分BC，AD平分∠BAC，过点D作DM⊥AB于点M，则BM＝_____． 【答案】3 【解析】 【分析】连接BD，CD，过点D作DG⊥AC，由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ADM≌△ADG，Rt△BDM≌Rt△CDG可得AM＝AG，DM＝DG，BM＝CG，即可求BM的长． 【详解】如图，连接BD，CD，过点D作DG⊥AC，交AC的延长线于G， ∵OD垂直平分BC， ∴BD＝CD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAM＝∠DAG，且AD＝AD，∠AMD＝∠AGD， ∴△ADM≌△ADG（AAS） ∴AM＝AG，MD＝DG，且BD＝CD， ∴Rt△BDM≌Rt△CDG（HL） ∴BM＝CG， ∵AB＝AM+BM＝AG+BM＝AC+CG+BM＝AC+2BM ∴10＝4+2BM ∴BM＝3， 故答案为3 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 16. 如图，在中，，为线段上一动点（不与点、重合），连接，作，且，连接. （1）如图，当时，若，则______； （2）如图，设（），在点运动过程中，当时，______．（用含的式子表示） 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，平行线的性质，掌握知识点并应用是解题的关键． （）由可得，证明，所以，根据平行线性质可得，则有，故有，证得是等边三角形，得，然后通过角度和差即可求解； （）由，，得，又，则，通过等边对等角得，所以，最后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三.解答题（本大题共9小题，共98分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、，且. 求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，中点定义，垂线定义，由垂直定义可得，又是的中点，所以，然后通过“”证明全等即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 18. 已知，如图，点、分别在、上，，、相交于点，，求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接利用“”证明即可； （）由，则，故有，利用“”证明，然后通过全等三角形的性质即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，． （1）请用无刻度直尺和圆规作的平分线，与边交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的作图下，若的面积是24，，求的长． 【答案】（1） 由题意，作图如下： （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质，等积法求出线段的长，熟练掌握角平分线的性质，是解题的关键： （1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）根据角平分线的性质，得到到的距离等于的长，分割法求三角形的面积，进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平分，， ∴点到的距离相等，均为的长， ∵，， ∴. 20. 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）13 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）等边对等角，结合等角的余角相等，对顶角相等，得到即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，证明为等边三角形，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，为等边三角形， ∴， ∴． 21. 如图，在中，，D为边上一点，过D作，分别与相交于点E和点F． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴； （2） 证明：由（1）知：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴. 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质： （1）根据三角形的内角和定理和平角的定义，即可得出结论； （2）证明，即可得证； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题： （1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标，即（______，______） （2）求出的面积为______． （3）在轴上存在一点使得最小，在图中画出点的位置，则点的坐标为（　　，　　）． 【答案】（1） 如图所示：， （2） （3） 如图所示，作A关于y轴的对称点， 0，2 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称图形等知识点，根据提示作出正确的图形是解题关键． （1）确定各顶点关于x轴的对称点即可求解； （2）利用“割补法”即可求解； （3）作A关于y轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，据此即可求解； 【小问1详解】 解：故答案为：； 【小问2详解】 解：的面积为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：连接交轴于点，此时的值最小，则点的坐标为， 故答案为：0，2． 23. 一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 根据以上步骤，求证命题：全等三角形对应边上的中线相等． 【答案】 解：已知：如图，，线段，分别是边，上的中线．求证：； 证明：∵， ∴，，， ∵，分别是边，上的中线， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，写出一个命题的已知、求证及证明过程，三角形中线性质，根据题意写出已知和求证即可，由，可得，，，根据中线性质可得，证明，然后由全等三角形性质即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 24. 在边长为的等边三角形中，点是上一点，点是上一动点，以每秒的速度从点向点移动，设运动时间为秒． （1）如图1，若，，则的值为_____； （2）如图2，若点从点向点运动，同时点以每秒的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形． （3）如图3，将“边长为的等边三角形”变换为“，为腰，为底的等腰三角形，且，”，点在从向运动过程中，点，同时分别在，上运动，点以每秒的速度从点向运动，同时点以每秒的速度从点向运动（各点均不再返回），当以、、三点构成的三角形与全等时，求的值． 【答案】（1）3 （2）6 （3）a的值为或 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形、等腰三角形、以及全等三角形的综合运用，以动点问题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解．能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键． （1）由平行线的性质得，从而得出是等边三角形，列方程求解即可； （2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可； （3）由，全等可得或两种情况，再根据不同的情况分别得到等量关系，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形，， ∴， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由题意可知：，则， ∴， 解得：， ∴当t的值为3时，； 【小问2详解】 解：如图，①当点Q在边上时， 此时不可能为等边三角形； ②当点Q在边上时， 若为等边三角形，则， 由题意可知，，， ∴， 即：， 解得：， ∴当时，为等边三角形； 【小问3详解】 解：由题意可知：，，， ∴， 若， 则，， ∴，， 解得：，， 若， 则，， ∴，， 解得：，， 综上所述：当，全等时，a的值为或． 25. 问题情境 如图1，和都是等边三角形，连接，，求证：. 迁移应用 如图2，和都是等边三角形，，，三点在同一条直线上，是的中点，是的中点，在上，是等边三角形，判断与之间数量关系并证明. 拓展创新 如图3，是线段的中点，，在的下方作等边（，，三点按逆时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，.当的值最小时，直接写出等边边长的最小值. 【答案】 问题情境：证明：∵和都是等边三角形， ∴． ∴， ∴． 在和中， ， ∴； 迁移应用：证明：在上取点K，使得，连接， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵M为的中点，点N为的中点， ∴， 设，，则，， ∴，， ∴， ∴； 拓展创新：边长的最小值为 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． （1）证出．根据证明； （2）在上取点K，使得，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论； （3）作，使，连接，，，证明，由全等三角形的性质得出，则，当点H在线段上时，的值最小．由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】问题情境：略 迁移应用：略 拓展创新：作，使，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点H在线段上时，的值最小． 此时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即当的值最小时，边长的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $