专题03 一元二次方程的解法（知识技巧点拨+10种高频考察题型 共30题）期中培优讲练-2025-2026学年北师大版数学九年级上册考前冲刺

专题03 一元二次方程的解法 （知识技巧点拨+10种高频考察题型 共30题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：直接开方法解一元二次方程 1 知识点梳理02：配方法解一元二次方程 2 知识点梳理03：配方法的应用 2 知识点梳理04：公式法解一元二次方程 3 知识点梳理05：一元二次方程根的判别式 3 知识点梳理06：因式分解法 4 知识点梳理07：根与系数的关系 4 优选题型 考点讲练 6 题型1 解一元二次方程—直接开平方法 6 题型2 解一元二次方程一配方法 7 题型3 配方法的应用 8 题型4 根据判别式判断一元二次方程根的情况 10 题型5 根据一元二次方程根的情况求参数 11 题型6 公式法解一元二次方程 12 题型7 因式分解法解一元二次方程 14 题型8 换元法解一元二次方程 15 题型9 解分式方程（化为一元二次方程) 16 题型10 一元二次方程的根与系数的关系 17 知识点梳理01：直接开方法解一元二次方程 (1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是. 要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 知识点梳理02：配方法解一元二次方程 (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点梳理03：配方法的应用 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 知识点梳理04：公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根. 知识点梳理05：一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即； （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 知识点梳理06：因式分解法 1. 因式分解法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解. 这种解一元二次方程的方法称为因式分解法. 2. 用因式分解法求解一元二次方程的理论依据 若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0，即若ab= 0，则a=0 或b=0. 3. 用因式分解法求解一元二次方程的基本思想 通过因式分解实现“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程. 4. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 知识点梳理07：根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 题型1 解一元二次方程—直接开平方法 1．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（配方法）． 2．（25-26九年级上·全国·周测）用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 3．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）定义新运算：，例如：，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 题型2 解一元二次方程一配方法 4．（25-26九年级上·陕西·阶段练习）用配方法解方程时，配方后得到，则 ． 5．（25-26九年级上·山东·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 6．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 ［初步尝试］ （1）如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．求证：； ［类比探究］ （2）如图，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请你利用的结论证明：； ［拓展延伸］ （3）运用 解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图，在四边形中，，，，是上一点，且，，，求四边形的面积． 题型3 配方法的应用 7．（25-26九年级上·贵州·阶段练习）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ， ， 当时，的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式的最小值； (2)【举一反三】若代数式：当__________时，有最__________值（填“大”或“小”），这个值是__________； (3)【拓展应用】如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且长方形与长方形面积比为，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 8．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ． ∵， ∴． ∴当时，有最小值，最小值是-5． 再例如：求代数式的最大值． ． ∵， ∴． ∴． ∴当时，有最大值，最大值是-1． (1)【直接应用】若，试求的最小值； (2)【知识迁移】如图，学校打算用长的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 9．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求代数式的最小值． 例如：求代数式的最小值时可以用如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的最小值是．∴． ∴当时，的最小值是． ∴的最小值是． 根据示例求代数式的最小值是_______． 题型4 根据判别式判断一元二次方程根的情况 10．（25-26九年级上·河南平顶山·阶段练习）已知关于x的方程． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是该方程的一个根，求代数式的值． 11．（25-26九年级上·天津·阶段练习）方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等实根 B．有两个相等实根 C．无实根 D．以上三种情况都有可能 12．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，四边形为矩形，，．若点Q从点A出发沿以的速度向终点D运动，点P从点B出发沿以的速度向终点A运动，如果P，Q同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也同时停止，设运动的时间为t秒． (1)_______，_______（用含有t的代数式表示） (2)当t为何值时，的面积为？ (3)是否存在t使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型5 根据一元二次方程根的情况求参数 13．（25-26九年级上·江苏·期中）关于x的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A． B． C．，且 D．，且 14．（25-26九年级上·广东·阶段练习）已知关于的方程，为常数． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)小明认为该方程的根不会为0，他的观点正确吗？请说明理由． 15．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）若a使得关于x的分式方程有整数解，且使得关于y的一元二次方程有实数根，那么满足条件的所有整数a的和为 ． 题型6 公式法解一元二次方程 16．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）解方程： (1)（配方法）； (2)； 17．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知：关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根都是整数，求整数的值． 18．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）已知是等腰直角三角形，，． (1)当时． ①如图①，将直角的顶点放至的中点处，分别交、于点、，请说明为等腰直角三角形； ②如图②，将直角顶点放至边的某处，与另两边的交点分别为点、，若为等腰直角三角形且，求的长． (2)若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，则当等腰直角的直角边长为2时，的最大值为_____． 题型7 因式分解法解一元二次方程 19．（25-26九年级上·山东·阶段练习）用适当的方法解方程 (1) (2) (3) 20．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）解方程： (1)（直接开平方法） (2)；（配方法） (3) （公式法） (4)（因式分解法） 21．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两根是，，则称方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ①； ②． (2)已知关于x的一元二次方程 (m是常数) 是“邻根方程”，求m的值． (3)关于x的一元二次方程（a，b是常数，且）是“邻根方程”，令，请化简． 题型8 换元法解一元二次方程 22．（25-26九年级上·山东·阶段练习）【阅读材料】解方程：． 解∶设，则原方程变为， 解得，． 当时，，解得． 当，解得． 所以，原方程的解为． 【问题解决】 (1)利用上述方法，解方程：； (2)利用上述方法，解方程：． 23．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： (1)解方程，则______； (2)若，求______． 24．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）阅读下面的材料： 解方程．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法如下： 设，则． 原方程可转化为，解得． 当时，； 当时，． 综上，原方程的解为． 以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解答下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数a，b满足，试求的值． 题型9 解分式方程（化为一元二次方程) 25．（2025八年级上·全国·专题练习）设，则方程可变形为（   ） A． B． C． D． 26．（25-26九年级上·河南·阶段练习）阅读以下材料： 能用换元法求解的分式方程中一般分母比较复杂且各部分有相同的形式，这时可采用换元法，达到简化运算的目的． 例如：用换元法解方程． 解：设，则原方程可变形为， 整理，得．解得． ，即．解得． 经检验，是原方程的根．原方程的根为． (1)用上述方法解方程时，如果设，则原方程可化为_____； (2)请你按上述方法补全解方程的步骤． 27．（2025·陕西·模拟预测）解方程： 题型10 一元二次方程的根与系数的关系 28．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（    ） ①方程是倍根方程； ②是倍根方程，则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； A．①②③ B．② C．③ D．②③ 29．（25-26九年级上·山西·阶段练习）阅读材料，解答问题： 材料1： 为了解方程如果我们把看成一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，，，，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2： 已知实数，满足，．且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：方程的解为_________ (2)利用上述方法求下列方程中的值： (3)拓展应用：已知实数，满足，且直接写出的值______． 30．（25-26九年级上·广东·阶段练习）阅读材料： 材料1：一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，若实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如若实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、，且，满足、，则的值为___________； (2)若关于的方程有两个实数根，，若满足，求的值； (3)已知实数、、满足、，且，求的最大值． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程的解法 （知识技巧点拨+10种高频考察题型 共30题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：直接开方法解一元二次方程 1 知识点梳理02：配方法解一元二次方程 2 知识点梳理03：配方法的应用 2 知识点梳理04：公式法解一元二次方程 3 知识点梳理05：一元二次方程根的判别式 3 知识点梳理06：因式分解法 4 知识点梳理07：根与系数的关系 4 优选题型 考点讲练 6 题型1 解一元二次方程—直接开平方法 6 题型2 解一元二次方程一配方法 8 题型3 配方法的应用 12 题型4 根据判别式判断一元二次方程根的情况 15 题型5 根据一元二次方程根的情况求参数 18 题型6 公式法解一元二次方程 20 题型7 因式分解法解一元二次方程 25 题型8 换元法解一元二次方程 29 题型9 解分式方程（化为一元二次方程) 31 题型10 一元二次方程的根与系数的关系 34 知识点梳理01：直接开方法解一元二次方程 (1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是. 要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 知识点梳理02：配方法解一元二次方程 (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点梳理03：配方法的应用 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 知识点梳理04：公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根. 知识点梳理05：一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即； （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 知识点梳理06：因式分解法 1. 因式分解法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解. 这种解一元二次方程的方法称为因式分解法. 2. 用因式分解法求解一元二次方程的理论依据 若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0，即若ab= 0，则a=0 或b=0. 3. 用因式分解法求解一元二次方程的基本思想 通过因式分解实现“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程. 4. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 知识点梳理07：根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 题型1 解一元二次方程—直接开平方法 1．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（配方法）． 【答案】(1) (2) (3)， 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键． （1）根据直接开平方法步骤计算可得； （2）将常数项移到右边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得； （3）将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得． 【规范解答】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， 2．（25-26九年级上·全国·周测）用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）先移项，然后利用直接开方的方法进行求解即可； （2）先移项，然后利用直接开方的方法进行求解即可． 【规范解答】（1）解： 整理，得， ， 解得． （2）解： 整理，得， ， 解得． 3．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）定义新运算：，例如：，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义． 根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【规范解答】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得，， 综上所述，x的值是或． 故选：D． 题型2 解一元二次方程一配方法 4．（25-26九年级上·陕西·阶段练习）用配方法解方程时，配方后得到，则 ． 【答案】12 【思路引导】本题主要考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键． 先对配方，然后与对比求得a、b的值，最后代入求值即可． 【规范解答】解：， ， ， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·山东·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题考查一元二次方程的解法，解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据方程的特点选择合适方法； （1）用直接开平方法解一元二次方程，将原方程化为，直接开平方即可； （2）用配方法来解一元二次方程，将原方程化为，然后配方求解即可． 【规范解答】（1）解： 原方程化为： 开平方得： 解得，． （2）解： 原方程化为： 配方得： 开平方得： 解得，． 6．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 ［初步尝试］ （1）如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．求证：； ［类比探究］ （2）如图，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请你利用的结论证明：； ［拓展延伸］ （3）运用 解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图，在四边形中，，，，是上一点，且，，，求四边形的面积． 【答案】证明见解析； 证明见解析； ． 【思路引导】根据正方形的性质可得，，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 延长到使，连接，由可知，可得，，，根据可证，根据全等三角形对应边相等可证结论成立； 过点作垂足为点，可证四边形是正方形，根据、中的结论可知，设正方形的边长为，利用勾股定理列方程求出，再利用梯形的面积公求出四边形的面积． 【规范解答】证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ； 证明：如下图所示，延长到使，连接， 由可知， ，， 四边形是正方形， ， 又， ， ， 在和中， ， ； 解：如下图所示，过点作垂足为点， ，，， 四边形是正方形， 由可知， ，， ， 设正方形的边长为， 在中，， ， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，(舍去)， ，， ． 【考点剖析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质证明结论成立． 题型3 配方法的应用 7．（25-26九年级上·贵州·阶段练习）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ， ， 当时，的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式的最小值； (2)【举一反三】若代数式：当__________时，有最__________值（填“大”或“小”），这个值是__________； (3)【拓展应用】如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且长方形与长方形面积比为，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)3 (2)，大，1 (3)当时，长方形养殖场的总面积最大，最大值为 【思路引导】本题考查了配方法求代数式最大值中的应用，不等式的性质，实际应用题中几何关系的建模．正确的配方是解题的关键． （1）将原式配方，根据，再根据不等式的性质求解即可； （2）对代数式进行配方，，结合，再根据不等式的性质求解即可； （3）设，由长方形与长方形面积比为，得到，再根据栅栏总长度表示出的长度，由面积公式建立方程，通过配方，利用不等式的性质求最大值，注意的取值范围． 【规范解答】（1）解： ， ， 时，取最小值，且最小值为3； （2）解： ， ， 时，取最大值，且最大值为1， 故答案为：，大，1； （3）解：设， ∵长方形与长方形面积比为， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，长方形的面积最大，最大值为48， 即当时，长方形养殖场的总面积最大，最大值为． 8．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ． ∵， ∴． ∴当时，有最小值，最小值是-5． 再例如：求代数式的最大值． ． ∵， ∴． ∴． ∴当时，有最大值，最大值是-1． (1)【直接应用】若，试求的最小值； (2)【知识迁移】如图，学校打算用长的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1)2020 (2) 【思路引导】本题考查了配方法的应用； （1）根据已知得出，即可求解； （2）设垂直于墙的一边长为，则另一边长为，得出，即可求解． 【规范解答】（1）解：（1）． ∵，， ∴． ∴的最小值是. （2）设垂直于墙的一边长为，则另一边长为， 根据题意，得． ∵，∴．∴． ∴当时，有最大值，最大值是． ∴围成的菜地的最大面积是． 9．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求代数式的最小值． 例如：求代数式的最小值时可以用如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的最小值是．∴． ∴当时，的最小值是． ∴的最小值是． 根据示例求代数式的最小值是_______． 【答案】 【思路引导】本题考查配方法的应用、非负数的性质，依据题意将化为，又对于任意的，都有，，进而得解．熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． 【规范解答】解：∵ ， 又∵对于任意的，都有，， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 题型4 根据判别式判断一元二次方程根的情况 10．（25-26九年级上·河南平顶山·阶段练习）已知关于x的方程． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是该方程的一个根，求代数式的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及代数式求值，解答本题的关键是掌握根的判别式与根个数的关系以及整体代入思想方法． （1）求出的值，进而作出判断； （2）把代入方程列出m的一元二次方程，再整体代入求值即可． 【规范解答】（1）解：在中，， ∴ ， ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵是该方程的一个根， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ． 11．（25-26九年级上·天津·阶段练习）方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等实根 B．有两个相等实根 C．无实根 D．以上三种情况都有可能 【答案】C 【思路引导】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴方程没有实数根， 故选：． 12．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，四边形为矩形，，．若点Q从点A出发沿以的速度向终点D运动，点P从点B出发沿以的速度向终点A运动，如果P，Q同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也同时停止，设运动的时间为t秒． (1)_______，_______（用含有t的代数式表示） (2)当t为何值时，的面积为？ (3)是否存在t使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不存在；理由见解析 【思路引导】（1）设运动的时间为t秒，根据各自的运动速度，用表示出与； （2）先根据矩形的性质分别表示出与，再列出关于t的方程求解即可； （3）先用t表示出，，，根据为钝角三角形，且为等腰三角形，得到关于t的方程求解，根据方程解的情况作出判断即可． 【规范解答】（1）解：设运动的时间为t秒， ∵点Q从点A出发沿以的速度向终点D运动，， ， ∵点P从点B出发沿以的速度向终点A运动，， ， 故答案为：，； （2）∵四边形为矩形，，， ，， ， ，解得：或． ∵， ∴不符合题意， ∴当时，的面积为； （3）不存在使为等腰三角形． 理由：由题意可得，，， ， 为钝角三角形，且为等腰三角形， ， ， ， ， ∴方程无解， ∴不存在使为等腰三角形． 【考点剖析】本题考查了列代数式，等腰三角形的性质和判定，用勾股定理解三角形，根据矩形的性质求线段长，与图形有关的问题，一元二次方程的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 题型5 根据一元二次方程根的情况求参数 13．（25-26九年级上·江苏·期中）关于x的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A． B． C．，且 D．，且 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的判别式可得且，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得，且， 解得且， 故选：． 14．（25-26九年级上·广东·阶段练习）已知关于的方程，为常数． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)小明认为该方程的根不会为0，他的观点正确吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)正确，理由见解析 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义及解法等知识． （1）根据题意得到，即可求出； （2）假设，代入得 ，再利用判别式进行判定方程是否有解即可． 【规范解答】（1）解：方程有两个不相等的实数根， ， ； （2）解：假设，则 ， ， 方程没有实数根， 小明的观点正确 ． 15．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）若a使得关于x的分式方程有整数解，且使得关于y的一元二次方程有实数根，那么满足条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，一元二次方程根的判别式，先解分式方程，可得，根据分式方程有整数解可得或或或或或，即可得到或或或或或，再根据分式方程有意义可得，最后再根据一元二次方程有实数根及定义可得且，进而得到满足条件的所有整数，进而即可求解，根据分式方程和一元二次方程求出满足条件的所有整数的值是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵分式方程有整数解， ∴或或或或或， 即或或或或或， 又∵， ∴， ∴， ∴或或或或， 又∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且， ∴或或， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 题型6 公式法解一元二次方程 16．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）解方程： (1)（配方法）； (2)； 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【规范解答】（1）解： 解得 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 17．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知：关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根都是整数，求整数的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【思路引导】（1）根据根的判别式及题中所给的即可得证； （2）利用公式法解一元二次方程得出两个根，由方程的两个实数根都是整数即可得到整数的值． 【规范解答】（1）解：依题得：， ， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：， ， ， 方程的两个实数根都是整数， 是整数， 又， 或． 【考点剖析】本题考查的知识点是一元二次方程的根的判别式、公式法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握如何利用一元二次方程的根的判别式得出方程根的情况． 18．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）已知是等腰直角三角形，，． (1)当时． ①如图①，将直角的顶点放至的中点处，分别交、于点、，请说明为等腰直角三角形； ②如图②，将直角顶点放至边的某处，与另两边的交点分别为点、，若为等腰直角三角形且，求的长． (2)若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，则当等腰直角的直角边长为2时，的最大值为_____． 【答案】(1)①见解析；②或 (2) 【思路引导】（1）①过点D作于G，于 H， 连接．是等腰直角三角形，点是的中点，可得， ，，， 由“”可证，可得，即可求解； ②过点 作于 ．由“”可证，可得，设， 则．根据勾股定理得再列出方程即可求解； （2）当点在上时，当、、共线时， 最长，当在直角边上，过点E分别作于点E，于H．设．则 即可求解． 【规范解答】（1）① 如图， 过点作于，于，连接． 是等腰直角三角形，，点是的中点， ，，， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 是等腰直角三角形； ② 如图，过点作于． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴． ∵为等腰直角三角形且， ∴ 设， 则． 或 ∴或， ∴或 （2）设等腰的直角顶点为， 若D在上， 如图3． 取的中点， 连接， 则 ∵是直角边长为的等腰直角三角形()． ∴当、、共线时，最长，则 ∴在等腰中，当时，的长最大．最大为． 若在直角边上，如图4，过点分别作于点，于． 由（1）知 设． 则 ， 解得 ∴的最大值为． 综上，的最大值为． 故答案为：． 【考点剖析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型7 因式分解法解一元二次方程 19．（25-26九年级上·山东·阶段练习）用适当的方法解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)，. 【思路引导】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法是解题的关键. （1）先求解，再利用公式法求解即可. （2）将原方程变形为，再利用因式分解法，即可解得答案． （3）利用直接开平方法求解即可. 【规范解答】（1）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：，. （3）解：∵， ∴或， 解得：，. 20．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）解方程： (1)（直接开平方法） (2)；（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【思路引导】本题考查了解一元二次方程的几种常用方法，需要熟练掌握． （1）利用直接开平方法即可解答； （2）利用配方法即可解答； （3）利用公式法即可解答； （4）利用因式分解法即可解答． 【规范解答】（1）解：方程两边开平方，得 ， 解得，； （2）解： 移项，得 配方，得 ， 开平方，得 解得，； （3）解：， ，，， ， 解得，； （4）解：， ， ， 解得 21．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两根是，，则称方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ①； ②． (2)已知关于x的一元二次方程 (m是常数) 是“邻根方程”，求m的值． (3)关于x的一元二次方程（a，b是常数，且）是“邻根方程”，令，请化简． 【答案】(1)①不是“邻根方程”；②是“邻根方程” (2)或 (3) 【思路引导】本题是一元二次方程的解法与新定义“邻根方程”的综合题，运用一元二次方程的解法，结合新定义便可解答． （1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出m的方程，注意有两种情况； （3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出a与b的关系式，再由，得t与a的关系，化简即可． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴， ∴，， ∵， ∴不是“邻根方程”； ②， ， ∴，， ∵， ∴是“邻根方程”； （2）解：解方程得：， ，， ∵方程（m是常数）是“邻根方程”， 或， 或； （3）解：解方程得：，， ∵关于x的方程（a、b是常数，）是“邻根方程”， ∴， ∴， ∴， 等号两边平方得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型8 换元法解一元二次方程 22．（25-26九年级上·山东·阶段练习）【阅读材料】解方程：． 解∶设，则原方程变为， 解得，． 当时，，解得． 当，解得． 所以，原方程的解为． 【问题解决】 (1)利用上述方法，解方程：； (2)利用上述方法，解方程：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键： （1）利用换元法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可． 【规范解答】（1）解：设，则原方程化为， 解得， 当当时，，解得． 当时，，解得． 所以，原方程的解为． （2）， ， 设，则原方程化为， 解得， 当当时，，解得． 当时，，此方程无实数根． 所以，原方程的解为． 23．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： (1)解方程，则______； (2)若，求______． 【答案】(1)5或 (2)5 【思路引导】此题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． （1）仿照例题，将看作整体，因式分解后得出，再求解即可． （2）仿照例题，将看作整体，因式分解后得出，再求解即可． 【规范解答】（1）解：， ∴， ∴或， ∴， 故答案为：5或； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，， ∵不论a、b为何值，，即， ， 故答案为：5． 24．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）阅读下面的材料： 解方程．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法如下： 设，则． 原方程可转化为，解得． 当时，； 当时，． 综上，原方程的解为． 以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解答下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数a，b满足，试求的值． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查了换元法解高次方程． （1）仿照题干求解即可； （2）仿照题干求解即可． 【规范解答】（1）设， 原方程可转化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，原方程的解为； （2）设， 原方程可转化为， 解得． ∵， ∴舍去， ∴． 题型9 解分式方程（化为一元二次方程) 25．（2025八年级上·全国·专题练习）设，则方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了分式化简，解分式方程，换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，进行等量代换．将原方程中的换成，再去分母化简即可． 【规范解答】解：根据题意，得， 两边同乘，消去分母：， 移项整理得：． 故选：C． 26．（25-26九年级上·河南·阶段练习）阅读以下材料： 能用换元法求解的分式方程中一般分母比较复杂且各部分有相同的形式，这时可采用换元法，达到简化运算的目的． 例如：用换元法解方程． 解：设，则原方程可变形为， 整理，得．解得． ，即．解得． 经检验，是原方程的根．原方程的根为． (1)用上述方法解方程时，如果设，则原方程可化为_____； (2)请你按上述方法补全解方程的步骤． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了解分式方程，换元法解分式解方程， （1）根据换元法思想，令，则，即可得到关于的方程； （2）利用换元法，把原方程转化为，解该分式方程求出的值，再解关于的分式方程即可得到原方程的解． 【规范解答】（1）解：如果设，则原方程可化为， 故答案为：； （2）解：由（1）得，原方程可变形为， 整理，得.解得，． 当时，方程可整理为． ， 方程无解． 当时，方程可整理为， 解得．经检验，是原方程的根． 原方程的根为． 27．（2025·陕西·模拟预测）解方程： 【答案】 【思路引导】本题考查了解分式方程，运用公式法解方程，先整理得，再化为整式方程，得，结合公式法解方程，得，最后验根，即可作答． 【规范解答】解：， 整理得， ∴， 去分母得， ∴， 则， ， 则， ∴． 经检验：都是原分式方程的解． ∴该分式方程的解为． 题型10 一元二次方程的根与系数的关系 28．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（    ） ①方程是倍根方程； ②是倍根方程，则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； A．①②③ B．② C．③ D．②③ 【答案】D 【思路引导】本题属于新定义题，掌握解一元二次方程的方法、理解新定义是解题的关键． ①是求出方程的两个根，根据倍根方程的定义进行判断即可，求出②中方程的两个根，根据倍根方程的定义，分两种情况求出m和n的关系，代入后面的式子即可判断，③根据，得出，解方程即可判断对错． 【规范解答】解：①方程的解为，，此方程不是倍根方程，此结论错误； ②∵是倍根方程，且， ∴或， ∴或， ∴，此结论正确． ③关于x的一元二次方程是“倍根方程”，理由如下： ∵， ∴方程可变为：方程， 解方程得：， ∴，此结论正确； 故选D． 29．（25-26九年级上·山西·阶段练习）阅读材料，解答问题： 材料1： 为了解方程如果我们把看成一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，，，，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2： 已知实数，满足，．且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：方程的解为_________ (2)利用上述方法求下列方程中的值： (3)拓展应用：已知实数，满足，且直接写出的值______． 【答案】(1)，，， (2)5 (3) 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数关系，阅读材料正确进行换元是解决问题的关键． （1）类比材料中方法，将换元为解方程即可； （2）令，将原方程换元后解方程即可； （3）令，，换元可推出m，n是方程的两个不相等的实数根，然后利用一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【规范解答】（1）解：令，则原方程可化为， ∴， ∴，， ∴或3， ∴，，，； 故答案为：，，，； （2）解：令，则原方程可化为， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 令，， 则，， ∴m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； 故答案为：． 30．（25-26九年级上·广东·阶段练习）阅读材料： 材料1：一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，若实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如若实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、，且，满足、，则的值为___________； (2)若关于的方程有两个实数根，，若满足，求的值； (3)已知实数、、满足、，且，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为1 【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据实数、是一元二次方程的两根，再根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可； （2）先将，代入求出，再由一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （3）将、看作是方程的两实数根，再由一元二次方程根的判别式得不等式，结合即可求解． 【规范解答】（1）解：实数、，且，满足、， 实数、（）是一元二次方程的两根， ， 故答案为：； （2）解：方程两个实数根，，若满足， ，无解或， ， ， ，， ． （3）解：，， 将、看作是方程的两实数根； ， 而， ， ， 即， 的最大值为1． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $