精品解析：广西壮族自治区柳州市等4地2025-2026学年高二上学期10月联考数学试题

广西2025—2026学年高二年级10月阶段检测 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.考查范围：必修第一册、必修第二册占，选择性必修第一册第一章至第二章第三节占． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为200，则中卷录取人数为（ ） A. 150 B. 110 C. 70 D. 20 3. 若直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（ ） A. B. C. D. 5. 在空间直角坐标系中，若点在平面内，则（ ） A. B. C. D. 10 6. 已知是幂函数，若，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任意一条直线的倾斜角都存在 B. 倾斜角为钝角的直线必过第三象限 C. 两条平行的直线一定有相等的斜率 D. 若直线l的斜率为负数，则其倾斜角为钝角 10. 下列说法正确是（ ） A. 若，，则 B. 若=，则 C. 已知，，若，则 D. 若G是重心，则 11. 在空间直角坐标系中，经过点，且一个法向量为的平面的方程为．若平面的方程为，平面的方程为，则（ ） A. 对任意不平行 B. 存在，使得垂直 C. 当夹角的余弦值为时， D. 不存在，使得的夹角在区间内 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 13. 若经过点直线在轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为______． 14. 如图，在正三棱锥中，以BC的中点E为原点，直线EC，ED分别为x，y轴，过点E与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系．若，则二面角的正切值为______，三棱锥的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，角所对的边分别为，其中. （1）求的值； （2）若的面积为，周长为6，求的值. 16. 已知直线经过点，． （1）若斜率为2，且，求； （2）若点为直线外一点，面积为2，求． 17. 如图，四棱柱的所有棱长均为1，点满足，设． （1）用表示； （2）若，求与的值． 18. 如图，在长方体中，点为中点． （1）若，证明：； （2）若以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，其中，． （ⅰ）求点的坐标； （ⅱ）求点到平面的距离． 19. 已知直线与x轴交于点A，把绕点A顺时针旋转得直线，与y轴交于点B. （1）求a的值； （2）若点A，B在直线的两侧，求b的取值范围； （3）若直线，关于直线l对称，求l的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西2025—2026学年高二年级10月阶段检测 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.考查范围：必修第一册、必修第二册占，选择性必修第一册第一章至第二章第三节占． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则z的虚部为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出，进而求出z的虚部. 【详解】依题意，， 所以z的虚部为. 故选：A 2. 中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为200，则中卷录取人数为（ ） A. 150 B. 110 C. 70 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的性质和抽样比计算即可. 【详解】由于分层抽样比为，则200个人中，中卷录取人数为. 故选：D. 3. 若直线的倾斜角为，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系列式求值. 【详解】因为直线的倾斜角为，且斜率为， 所以，解得． 故选：D 4. 下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中不重合的三点共线的条件，逐一考查所给的选项是否正确即可. 【详解】对于空间中的任意向量，都有 ，说法A错误； 若，则，而，据此可知，即两点重合，选项B错误； ，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项C错误； ，则A、B、C三点共线，选项D正确； 故选：D. 5. 在空间直角坐标系中，若点在平面内，则（ ） A. B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面内点的特征列方程求得，然后利用空间距离公式求解即可. 【详解】因为点在平面内，所以，即， 所以． 故选：B. 6. 已知是幂函数，若，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 分析】根据幂函数解析式可得，代入a解方程即可. 【详解】因为是幂函数， 则，解得，即， 若，解得. 故选：C. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排除法可得结论. 【详解】由，解得，所以函数的定义域为， 记，可得， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B； 由，可得，所以函数与x轴有两交点，排除CD；A符合. 故选：A. 8. 若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，设在基底下的坐标为，化简，列出方程组，即可求解. 【详解】因为向量在基底下的坐标为，所以， 设在基底下的坐标为， 则， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任意一条直线的倾斜角都存在 B. 倾斜角为钝角的直线必过第三象限 C. 两条平行的直线一定有相等的斜率 D. 若直线l的斜率为负数，则其倾斜角为钝角 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】根据倾斜角的定义可知易得A正确， 由于斜率与倾斜角满足，，故时，，D正确； 直线，斜率为负，故倾斜角为钝角，该直线经过二、四象限，不过第三象限，故B错误； 当两条直线不重合，且均与轴垂直，此时这两条直线平行，但它们没有斜率，故C错误. 故选:AD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若=，则 C. 已知，，若，则 D. 若G是的重心，则 【答案】BD 【解析】 【分析】当时，可判断A；由相等向量的概念可判断B；由向量的数量积的定义可判断C；延长交于，利用向量的平行四边形法则与重心的性质可得，判断D. 【详解】对于A，若时，与的方向可能既不相同也不相反，即与不共线，故A错误； 对于B，若=，则，故B正确； 对于C，，，若，则， 又，所以，故C错误； 对于D，若G是的重心，延长交于， ，由平行四边法则可知， 由重心的性质可知，所以，故D正确. 故选：BD. 11. 在空间直角坐标系中，经过点，且一个法向量为的平面的方程为．若平面的方程为，平面的方程为，则（ ） A. 对任意不平行 B. 存在，使得垂直 C. 当夹角的余弦值为时， D. 不存在，使得的夹角在区间内 【答案】ABD 【解析】 【分析】平面平行即法向量共线，利用向量共线坐标公式列式计算判断A；平面垂直即法向量垂直，利用向量垂直坐标公式列式计算判断B；利用向量夹角余弦值列式求解判断C；先利用向量夹角余弦值列式，然后利用基本不等式求解最值，最后利用余弦函数性质求解角的范围判断D. 【详解】由题意平面的一个法向量，的一个法向量， 因为，所以不平行，不平行，故A正确； ，当时，，故B正确； 设的夹角为，当时，平方化简得， 解得或，故C错误； 当时，，所以， 当时， ， 因为函数在上单调递减，所以，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式得，然后利用两角和的正弦公式化简求值即可. 【详解】 ． 故答案为： 13. 若经过点的直线在轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，设出直线的截距式方程，进而求出该直线方程，再求出直线与坐标轴围成三角形面积. 【详解】依题意，直线不过原点，设的方程为， 由直线过点，得，解得，直线的方程为， 则在轴上的截距分别为4，2，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4. 故答案为：4 14. 如图，在正三棱锥中，以BC的中点E为原点，直线EC，ED分别为x，y轴，过点E与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系．若，则二面角的正切值为______，三棱锥的体积为______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正三棱锥的性质，结合二面角及锥体体积求解. 【详解】在正三棱锥中，连接，过点作平面的垂线，垂足为， 则在上，且，则，，，，， 二面角大小等于二面角的平面角， ，由，得， 所以三棱锥的体积为. 故答案为：3； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，角所对的边分别为，其中. （1）求的值； （2）若的面积为，周长为6，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，从而求出的值； （2）根据三角形的面积公式、余弦定理即可求出的值. 【小问1详解】 由正弦定理得， 因为，故可得，则， 因为，故. 【小问2详解】 由题意，故. 由余弦定理得， 解得. 16. 已知直线经过点，． （1）若斜率为2，且，求； （2）若点为直线外一点，的面积为2，求． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）先根据两点求出斜率，再利用平行得出斜率相等计算求参； （2）先应用两点间距离公式得出，再应用点到直线距离得出，再结合面积值计算求参. 【小问1详解】 因为直线经过点，， 所以直线的斜率为， 因为的斜率为2，且，所以，解得． 【小问2详解】 由，可得，直线的方程为， 则点到直线的距离为， 则， 解得或． 17. 如图，四棱柱所有棱长均为1，点满足，设． （1）用表示； （2）若，求与的值． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算法则，化简得到，再由，求得，进而化简得到． （2）根据题意，分别求得和， 再由，求得，结合向量数量积的运算律，即可求解. 【小问1详解】 解：根据空间向量的线性运算法则，可得． 因为，所以， 所以． 【小问2详解】 解：因为，所以， 可得，解得， 同理可得， 因为，可得， 所以， 则 ． 18. 如图，在长方体中，点为的中点． （1）若，证明：； （2）若以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，其中，． （ⅰ）求点的坐标； （ⅱ）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别证得和，利用线面垂直判定定理，证得平面， 进而证得； （2）（ⅰ）设，由和，列出方程，求得的值，即可求解；（ⅱ）根据题意，求得平面的法向量和向量，结合向量的距离公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：因为，所以， 在长方体中，由平面，且平面， 所以， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以． 【小问2详解】 解：（ⅰ）设，则， 所以，可得， 所以，， 由，可得，所以. （ⅱ）设平面的法向量，则， 取，可得，则， 又因为， 所以点到平面的距离为． 19. 已知直线与x轴交于点A，把绕点A顺时针旋转得直线，与y轴交于点B. （1）求a的值； （2）若点A，B在直线的两侧，求b的取值范围； （3）若直线，关于直线l对称，求l的斜率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据直线，倾斜角的关系，利用两角和的正切公式列式求解即可. （2）先求出直线经过点和B时，b的值，然后利用点A，B在直线两侧列不等式求解即可. （3）求出的交点，设关于的对称点为，然后列方程求解即可. 【小问1详解】 设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角与的终边相同， 因为直线的斜率为，所以， ， 所以，所以． 【小问2详解】 由已知可得， 当直线经过点时，，即， 当直线经过点时，，即， 所以当点在直线的两侧时，． 【小问3详解】 直线关于直线对称，则的交点在上， 由已知可知，直线的斜率存在，设为，则的方程为， 因为在上，关于的对称点在上，设， 由得，即， 由的中点在上，得，即， 代入得，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $