17 平面向量，三角函数，解三角形跟踪训练-《中学生数理化》高考数学2025年10月刊

中学生款理化离整数学热心鼻清月 “平面向量、三角函数、解三角形”跟踪训练 ■广东省汕头市澄海凤翔中学 徐春生 一、单选题 △ABC,若DF=2,sin∠BAD= 3√ 1.纸折扇是我国古代传统的工艺制品， 4,则 它是以细长的竹片制成众多的扇骨，然后将 BD=( 扇骨叠起，其下端头部以钉铰固定，其余则展 A.3 B.2 C.√3 D.√2 开为扇形，上裱糊以纸，作扇面，并在扇面上 题诗作画。如图1所示， 上弧长L 6.若a∈(o,2）8∈(o,）且am月 已知折扇两端的扇骨长均 扇面 tan &+ 1,则 cos a )。 为18cm且夹角为 6,扇 /o A.2a+月= B2a-月= 面（裱糊以纸的部分）上下 的弧长L与1之比为3： 图1 C. D28-a=受 1,则扇面的面积为( )。 7.已知函数f(x)=sin(x+2θ)十 A.135元cm B.120πcm C.108πcm2 D.96πcm cos(x+48),8∈ o,)是偶函数，则g(x) 2.已知M为△ABC所在平面内的点， =sin xcos(x十40)的最大值为( )。 且BA+号B元=2BM。若CM=mA店+ 3 A.3 31 42 + nBC,则”=( )。 c.-1 D. A号 B号 c多 D 8.在△ABC中，内角A,B,C所对的边 3.若将函数f(x)=sin2.x十√3cos2x 分别为a,b,c,已知a十b=8,且tan之 的图像向右平移器个单位长度后，得到函数 sin B 2-cosB,若Sac=4,则tanC=（ )。 gx)的图像，则g(） =( )。 1 A.2 B.2 c. n A复 B.5 C.1 D.2 二、多选题 9.已知O为坐标原点，点P1(一sina, 4.已知向量a=(1,2),b=(x,一2)，则 -cos a),P2 (sin B,cos B),P:(sin (a+B), “(a十b)⊥b”是“x=-1”的( )。 c0s(a十3)，A(0,2),则()。 A.充分不必要条件 A.IOP=OP,I=OP=1 B.必要不充分条件 C.充要条件 B.IP1P,I的最大值为√2 D.既不充分也不必要条件 C.1AP1的取值范围是[1,3] 5.我国汉代数学家赵爽 D.∠P,AP,的取值范围是[0，] 为了证明勾股定理，创造了 10.在平面四边形ABCD中，AB=2, “勾股圆方图”，后人称其为 BC=1,AD=CD,AD⊥CD,M为边BC的 “赵爽弦图”。类比“赵爽弦 中点，则以下命题正确的是( )。 图”，用3个全等的小三角形 图2 拼成了如图2所示的等边 A.若A,B,C,D四点共圆，则AD= 2 44 尚产尊模秀滴育中学生凝理化 B.当cos∠BAD= 六时，A,B,C,D四 (2)求边AD的长。 16.已知函数f(x)=sin wx一√3 cos wx 点共圆 (其中w>0,x∈R)的最小正周期为2π。 C.若∠ABC=120,则S△Am= 4 4)若tana=25,求fa）、的值； D.当∠ABC变化时，DM长度的最大值 f(e+) 为√2十1 11.已知函数f(x) (2)已知f(0)=号，0∈(o,),求sim0 的值。 Asin(wx+9)（A>0,w>0, 17.记△ABC的内角A,B,C的对边分 9<空)的部分图像如图3 别为a,b,c,且满足b=√2c一a。 所示，则( 1若A=平，求C, A.f(受）=-E 图3 (2)若c=1,cosC= 5,求△ABC的 B.将f(x)的图像向右平移答个单位长 面积。 18.如图5，已知△ABC 度，得到y=2sin(2x-牙）的图像 满足AB1=AC|=2,AB· C直线x一晋为了(x)图像的一条对称轴 AC=2,P、P2、…、P。（n N“)是线段BC上的分点，且 BP,…P.G D.直线y=3与∫(x)的图像相交，存在 满足BP=PP=PP=… 图5 两个交点的横坐标1使得一：=君 =P1P,=PC。 (1)判断△ABC的形状； 三、填空题 (2)当n=2时，求|AB+AP+AP,+ 12.已知△ABC的内角A,B,C的对边 AC1的值； 分别为a,b,c,若bsin A+√3 acos B=0, (3)当n=3时，若P为线段AP上的动 b=3ac,则千 点，求PA·P亡的最小值，并指出当PA, PC取最小值时点P的位置。 13.已知角日的终边上有一点P(2,3), 19.在平面直角坐标系xOy中，对于非 则an(20-)-— 零向量a=(x1,y1),b=（x2,y2),定义这两 14.已知点A,B在单位圆O上，OA、OB 个向量的“相离度”为d(a,b)= 是两个给定夹角为120°的向量，P为单位圆 iy:-2y1 ，容易知道a,b平行的 上的动点，C为线段OA上靠近A的三等分 Wx+yi·√x+y 点，D为线段OB上靠近B的四等分点，设 充要条件为d(a,b)=0。 OP=3xOC+4yOD(x,y∈R),则4x+6y (1)已知a=(1,2),b=(4,-2),求 的最大值为。 d(a,b)。 四、解答题 (2)①已知a,b的夹角为日1，c,d的夹角 15.如图4，在△ABC 为日，，证明：d(a,b)=d(c,d)的充要条件是 中，角A=60°，D为△ABC sin 0=sin 0,; 边AC上一点，且BC=31, ②在△ABC中，AB=2,AC=4,角A的 BD=21,CD=20。 图4 平分线AD与BC交于点D,且AD=号，若 (1)求sin∠CDB的值； PA+PB+PC=0,求d(PA,PB)。 45 中学生款理化离整贺学核心黄年滴桥月 参考答案及提示 一、单选题 f(）=2sim(x+)=-2sim--5,故 1.B提示：因为折扇两端的扇骨长均为 A正确：将f(x)的图像向右平移受个单位长 18cm且夹角为石，扇面的上下弧长上与1 度，可得(x-)=2sim[2(x-)+] 之比为3：1，所以大扇形的半径为18cm,小 扇形的半径为6cm,所以下弧长1=6×否 =2sim(2x一号)的图像，故B正确：因为 5元(cm),上弧长L=18×5x=15x(cm),故扇 ( ）=2n(2×+） =0,不是函数 6 面的面积为15π+5r×(18一6)=120(cm'). )的最大值或最小值，所以直线x-晉不 2 2.D3.C4.B5.A6.C7.A 是f(x)图像的一条对称轴，故C错误：因为 C sin C 直线y=√与f(x)的图像相交，所以 8.C提示：因为tan之=1十cosC sin B sin(2x+)= 2 2,由正弦函数的性质，可知 2-cosB,所以2sinC=sinB+sin Beos C +cos Bsin C。因为sin Bcos C十cos Bsin C 2x+号-2kx+吾(k∈D或2x+号-2kx+ 3 3 =sin(B+C)=sinA,所以2sinC=sinB+ 2 3(k∈Z),解得x=kπ(k∈Z)或x=kπ十石 sinA,结合正弦定理得2c=a十b。因为a十 b=8,所以c=4。因为△ABC的面积为4， (k∈Z),所以存在两个交点的横坐标t1,t2, 所以2 absin C=4,即absin C=8。由余弦 使得t1一t,= ，放D正确， 定理得c2=a2+b2-2 abcos C=(a+b)2 三、填空题 2ab(1+cosC),所以16=64-2ab(1+ 2. 2 13.33 13 cosC),即ab1+cosC)=24,所以0o9C sin C 14.4 提示：建立如图 6所示的平面直角坐标系， 1 C 2tan 2 =tan之，故tanC 则A(1,0),B(cos120°， 1-tan 2 m120),即B(-9）。 2× 1 图6 3 设∠AOP=0(0≤0≤2π)， 1-( 4 则P(cos0,sin日)。因为 二、多选题 O=3x0心+40i=3x×号o+4y× 9.ACD 10.AC oi=20+36i,所以(e0s0,sim0) 11.ABD 提示：由题意得A=2,子-音 (2x-3≥，35y),即 os9=2.x-3, 21 一登-年，即T=元-，所以。=2。因为当 22 解得 sin 0=313y 2 受时，了)取得最大值2，所以2×音 2x=sin 0 +cos 0, 9=2k元+(k∈Z),结合g<受，取k=0, 所以4.x+6y=2sin0+ 2sin 0 √3 3y 得p= 受，所以f(x)=2sin(2x+）,所以 3 46 尚产擦尊核秀流育中学生表理化 2cos 0+4sin =23 sin 0+2cos 0= 2√5-√3√5 √3 1+√3×2√37 4sin(0+若)。因为0≤0≤2元，所以石≤0+ 6 (2)由(1)得f(0)=2sin(0-）=专， 晋<1所以当9+晋-受，即0-晋时， 所以m0一）)-号 4x十6y取最大值为4。 四、解答题 因为9∈(0，)，所以0-爱∈（-否， 15.(1)在△BCD中，由余弦定理得 BD+CD2-BC_21+202-31 ),故co(0-）-√1-sim(a-)- cos∠CDB= 2BD×CD 2×21×20 √2I 由0°<∠CDB<180°得sin∠CDB= 所以simg=sin[g-)+】 -cos'∠CDB=43 7。 名nlo）+誓o0》-282 (2)因为∠CDB=∠ABD+∠A,所以 17.(1)由b=√2c一a及正弦定理得 ∠ABD=∠CDB-∠A。因为∠A=60°，所 sinB=√2sinC-sinA。① 以sin∠ABD=sin(∠CDB-∠A)= sin(∠CDB-60)=sin∠CDBcos60°- 因为A=军，所以B=元一（王十C),故 c0s∠Dn60=5×是-(-）× sinB=sim[x-(保+c]=sin(斧+c),代 V5_5√3 2 149 人①式得sin(于+C)=2sinc-,整理 2 在△ABD中，由正弦定理 AD in∠ABD 号snC-号ac-号，即n(c-) DA得AD=BDsin ZABD sin A 2 因为C∈(o,3),所以C-平∈ 15. 16.(1)f (x)=sin wx -3 cos wx= (于，）所以C-至-平放C=受 2(sin-0）=2sn(ar-） (2)因为c=1,所以a十b=√2，由余弦定 由T=2红=2元，解得u=1,所以f(x) 理得aC-a。1-,整理得a十6) 2ab 1 12ab,解得ab=2° 5 2sin () 5 因为cosC三，C∈(0，，所以sinQ 所以 f(a) 2sin(a-） 2√6 f(e+) 2sin(a+2-） =V√-cos'c= 5 2sin(。-】 所以△ABC的面积为S= 2 absin C= tan a-3 2cos-) 1+√3tana 名×音×2 512 47 中学生款理化离普贺学校心黄座演修月 18.(1)因为1AB1=1AC1=2,AB.AC xx号+yiy+x+xyi=1,且d(a,b)≥ 1 (x十y)(x十y) =2,所以cos∠BAC= AB·AC 1AB1AC=之。 0,〈a,b)∈[0，x],所以d(a,b)=1 因为∠BAC∈(O,),所以∠BAC- cos2(a,b〉=sin2〈a,b〉，所以d(a,b)= sin(a,b)。 吾，所以△ABC为等边三角形. 若d(a,b)=d(c,d),等价于sin〈a, (2)当n=2时，P1、Pg b〉=sin〈c,d〉，即sina1=sina2,所以d 为边BC的三等分点，如图7， (a,b)=d(c,d)的充要条件是sin0:= 设O为BC的中点，则|A高 sin8g。 ②因为角A的平分线AD与BC交于点 =√3。 P.O P 因为AB+AC+AP+ 图7 D,所以B咒-A2-专，即CD=2BD. AP,=4AO,所以1AB+AP 因为A市-A店+B市-A+号(AC +AP,+AC1=4Ad1=43。 (3)设AB=a,AC=b,则|a|=1b1=2, A-兰A花+号A,所以A市-善A应+ a·b=2。 当n=3时，P1、P2、P,为边BC的四等 A心+告店，定，即号-9+5+ 分点，如图8，所以AP?=AB 合A·AC,解得A.Ad=一4 +B配=A破+是武=A+ 因为PA+P方+P元=0，所以点P为 是(C-A)=a+b. 3 △ABC的重心，即A立=号A店+号AC,所以 设A户=tAP,其中0≤ 图8 PA=-}A店-}AC,P成=Pi+A- 1,则P所=-子a-华， 号A店-子Ad,P,P成-(-吉店 p元=Pi+aC--a+(1-￥)b 放pi.P元-(-a华)儿-a+ 号C)(号a-号4AC)=-号A店+号A心 号Ai.AC-专，P-号A+号A衣+ (1-￥)b]-后[a+(6-40a·b+3(8r 号A,AC-专，P啦-台A+号AC 4)b]=6[41+2(6t-40+3(3-4)×4幻- 子13r-14,当且仅当：=名即A= 号苏花-9 所以cos2〈PA,Pi》= (PA.PB)' AP时，P·心取最小值 1PA12×1PB 52 16 19.(1)因为a=(1,2),b=(4,-2),所 9 1 11×(-2)-2×4| 4 以d(a,b)= √'+2×√4+(-2)7 10 所以d(PA,PB)=sin〈PA,PB〉= =1。 √5×2√5 √1-osPi,Pi- (2)①因为cos2〈a,b)+d(a,b)= （x1x2+y1y2)2 （x1y2-x2y1)2 (责任编辑王福华) (+yx计y+(x+y)+y5 48