“解析几何”跟踪训练-《中学生数理化》高考数学2025年12月刊

中学生数理化 演练篇核心考点演练 高三数学2025年12月 “解析几何” 的 ■湖南省郴州市第 一、单选题 1.若双曲线的一条渐近线为y=x,则该 双曲线的离心率为( )。 A.3 B.√2C.5 D.2√2 2.已知抛物线x2=4y的焦点为F,点 A(2√2，a)在抛物线上，则|AF|=()。 A.1 B.4C.2 D.3 3已知椭圆C:4十3=1的左，右焦点 分别为F1、F2,直线l过点F1且与C交于 A、B两点，则△ABF2的周长为()。 A.4 B.6C.8 D.10 4.已知双曲线x2一4y2一64=0上一点 P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P 与另外一个焦点的距离等于( )。 A.13 B.17 C.15 D.16 5.如图1，已知 线段PD的中点M 的镜迹是精圆号十 y2=1,且PD⊥x 轴，D为垂足，则点 P的轨迹长度是 图1 )。 A.3π B.元 C.2π D.4元 a面图io面念a商mamw图ama高ama面金金高m图a面店 (1)解析几何小题为压轴小题或半压轴 小题成为一种常态，高考题中的小题很少考 查二级结论性的问题，可适当补充二级结论， 不宜以二级结论为主。 (2)直线与圆的位置关系的基础性小题 的地位逐渐提高，圆的切线是命题热点。 (3)椭圆和双曲线一般考查的是曲线的 定义和性质的综合，以平面几何关系为解题 的主线，以方程、函数、解三角形、不等式为解 题的工具，很少用解析法联立解小题。 (4)由于抛物线自身较简单，难以构建复 44 跟踪训练 二中学 颜胸晖 6.已知抛物线y2=2x,过点P(2,0)的 直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两 点，则y十y:的最小值是()。 A.4 B.6C.8 D.10 7.设动点P到点A(一1,0)和B(1,0)的 距离分别为d1和d2,∠APB=20,且存在常 数入(0<入<1)，使得d1d2(1-cos28)=2入， 则|d1一d2|=()。 A.2√1-入 B.√I-x C.√2-入 D.2√2-入 8若点P在椭圆C:十y1上 A(√3,0)，将AP逆时针旋转90°得到A (若向量a=(m,n)绕其起点逆时针旋转90 得到b,则b=(一n,m),点R在椭圆C2: 2+苦=(>0)上，且满足A=A, 则椭圆C,的长轴长的取值范围是( )。 A.[2√2,6√2] B.[2√2,6√] C.[25,6√2] D.[2√5,6√3] 二、多选题 9.已知双曲线C:x二号=1，则下列对 双曲线C判断正确的是( )。 A.焦点在y轴上 yag念念ffff会阁am面 杂的平面关系，所以抛物线的问题易出基础 题，难题多以直线与抛物线的位置关系为主， 考查解析法，巧解的较少，这和双曲线或椭圆 在方法上有区别，复习中要注意总结。 (5)高考解析几何题一般不给图形，以考 查同学们的建模能力。 选择题和填空题体现基础性、综合性、应用 性的考查，需要同学们在掌握概念、公式、定理的 基础上，灵活运用所学知识解决问题。以定义 和性质为基础，综合平面几何关系与解三角形 是常用方法和策略。 (责任编辑王福华) B.实轴长为2 C.焦距为4 D两条渐近线的夹角是爱 10.如图2，取一条定 长为2a的细绳，两端分 别固定在图板的F,F, 两点，且|F1F2|=2c,当 a>c时，套上铅笔，拉紧 图2 绳子移动笔尖形成椭圆 C,则下列说法正确的是( A.笔尖到F1,F,的距离之和恒为定值 B.若椭圆C上存在点P,使得|PF|= FF:,则C的离心率的范围是[合) C.若椭圆C上存在点Q,使得△QFF, 为等腰直角三角形，则C的离心率为 2 D.若椭圆C上任意一点M到F1,F2的 距离的平方和的最小值为2，则C的长轴长 为2 11.已知圆C:(x十2)2十y2=3,抛物线 E:y2=2px(p>0),且抛物线E的准线与圆 C截得的弦长为√3，设T是圆C上的动点， 抛物线E上四点A,B,M,N满足TA= 2TM,TB=2TN,AB的中点为D,则下列说 法正确的是()。 A.线段OT的最大值为2√2+√ B.抛物线E的方程为y=2x C.直线TD的斜率为定值 D.△TAB的面积的最大值为48 三、填空题 12.抛物线x2一2y的准线与坐标轴的交 点是一。 13已知双曲线号-若=1(6>0)的左、 右焦点分别为F1,F2,过F,的直线交双曲线 的右支于A,B两点，若△ABF,是正三角 形，则△ABF1的面积为一。 14.已知椭圆和双曲线有共同的焦点F、 F2,它们的一个交点为M,且sin∠F1MF2= 2√2 3 ,记椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2, 离产尊核肉酒昏中学生教理化 则工的最大值为一。 'e1e2 四、解答题 15.已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点 P(1,2)。 (1)求抛物线C的方程及准线方程； (2)过焦点F且斜率为1的直线l与抛 物线交于A,B两点，求弦长|AB|。 16,已知椭圆C导+芳-1a>6>0) 的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的 中心与C,的顶点重合。过F且与x轴垂直 的直线交C1于A,B两点，交C:于C,D两 点且CD=专AB. (1)求C1的离心率； (2)若C1的四个顶点到C,的准线的距 离之和为18，求C1与C,的方程。 17.已知P(一2,1)为焦点在x轴上的等 轴双曲线上的一点。 (1)求双曲线的方程； (2)已知直线l⊥PO且l交双曲线的右 支于M,N两点，直线PM,PN分别交该双 曲线斜率为正的渐近线于E,F两点，设四边 形EFNM和△PEF的面积分别为S,和 S,求二的取值范围 18.如图3，在平面直 角坐标系xOy中，圆A的 方程为(x十2)十y2=4, 点B的坐标为(2,0)，P 为圆A上的动点，线段 BP的中垂线与直线AP 图3 相交于点Q。 (1)求交点Q的轨迹C的方程。 (2)若过点E(0,1)的直线与轨迹C相交 于M,N两点，求OM·ON的取值范围。 (3)若Q为轨迹C在第一象限内的任意 一点，D(一1,0)，试问：是否存在常数入（入≥ 0),使得∠QBD=入∠QDB恒成立？若存 在，求出入的值；若不存在，请说明理由。 19.如图4，已知椭圆E:十=1(a> 45 中学生数理化高数学核202年12月 演练篇核心考点演练 b>0)的离心率为 ,过左 焦点F(一√5,0)且斜率为 k的直线交椭圆E于A,B 两点，线段AB的中点为 图4 M,直线l:x十4ky=0交 椭圆E于C,D两点。 (1)求椭圆E的方程。 (2)求证：点M在直线L上。 (3)试问：是否存在实数k,使得S△DM= 3S△Aw？若存在，求出k的值：若不存在，请 说明理由。 参考答案及提示 一、选择题 1.B2.D3.C4.B5.D6.C 7.A 8.D提示：设点P(5cos0,sin日)，其 中日∈(0，x)U(元，2x),R(xR,yR),则AP= (√3cos0-√5，sin0),AR=(xR-√5，yR), 由已知条件得 |xR-√3=-sin0, 则R( yR=3cos0-√3， 一sin0,√3cos0一√3)。因为点R在椭圆Cg 上，则(5-sin9)'+5cos9-8)=, 3 化简整理得产=5-4sin(0+)∈[1,9]，即 t∈[1,3]，则椭圆C,的长轴长2√t的取值 范围是[2√3,6√3]。 二、多选题 9.BCD 10.ABD 11.BCD提示：由题意知，|OT|mx= |OC|十r=2十√3，故A错误。因为抛物线 E的准线x=一 与圆C截得的弦长为尽， 则点(-多，号)在圆c上，所以(+2) 大3 4 =3,解得p=1,所以抛物线E的方程为 y2=2x,故B正确。设T(x,yo),A(x1y1), B(x2,y2),因为TA=2TM,所以M是AT的 中点，则M的坐标为（色，””）因 46 为M、A都在抛物线E上，所以 (y。+y1) 2 =x,+x1'则yi-2y1+4x一 y1=2x1, y=0,同理y一2y0y2+4x。一y=0,所以 y1,y2是关于y的一元二次方程y2一2yoy十 4x。一y=0的两个不等实根，因此y1十y2= 2yo,y1y2=4x。-y8。因为D是AB的中 点，所以yn=十=y。,故直线TD的斜 2 率为定值，且定值为0，故C正确。|y1一y|= √(y1+y2)-4y1y2=W/4y6-4(4x。-y6) =√8y-16x0=2√2·√y6-2x0,xD= -(+)=[(十) 2 2y]=子[48-2(4x。-]=号8 2则1TD=n-,=是-8，：放 sw-专TD11-=8Y2(8 2x0)·√y-2x。。又T(xo,yo)在圆C上， 所以y8=3-(x。十2)2，且x。∈[-2-5， -2十√3]，设t=y8一2x。,则t=一(x。+3)2 +8∈[4-2,8]，所以Saw=3, t派≤ 48,当且仅当t=8,x。=一3时等号成立，故 △TAB的面积的最大值为48，故D正确。 三、填空题 12.(0,-2)13.165 14.3② 4 提示：不妨设M为第一象限 的点，F1、F2分别为左、右焦点，设椭圆的长 半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,则 IMF1|+|MF2|=2a1,|MF1|-|MF2|= 2a2,所以|MF1|=a1+a2,|MF2|=a1-a2。 在△FMF,中，sin∠FMF2= 2,则 |F1F2|=2c,则4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2 黄产草核心*普中学生教理化 (a1十a:)(a1-a,),化简整理得3c2= 2 (2)由(1)知a=2c,b=√3c,p=2c,所以 +2a,则3=十e≥21.2」 C:4+1,C,y=4cx故C,的四个 顶点坐标分别为(2c,0),(一2c,0),(0,√3c), √e心，解得】s3 2 3,当且仅当 12 2 e (0,一√3c),C,的准线为x=一c。 由已知得3c+c+c十c=18,即c=3,所以 即e,=6 2时等号成立。 3,e= CG与CG的方程分别为需+若-1y=12 y 四、解答题 15.(1)根据抛物线C:y2=2px(p>0) 7.)设双曲线的方程为名一y 过点P(1,2)可得4=2p,则p=2,故抛物线 C的方程为y2=4x,准线方程为x=一1。 a>0代人P(-21)得2=1，则a=3. (2)由(1)得抛物线C的焦点为F(1,0), 所以双曲线的方程为3一专=1 则直线l的方程为y=x一1。 设点A(x1,y1),B（x2,y2),联立 (2)易知koP=一 2,所以，=2。 y=x-1, y2=4x, 消去y整理得x2一6x十1=0，由 如图5，设直线l:y= 2x十m,M(x1,y1),N(x2, 韦达定理得x1十x2=6,x1x2=1。 故弦长|AB|=√2|x1一x2|=√2× y),联立 3 3=1 消去 √(x1十x2)2-4x1x2=√2×√36-4=8。 y=2x十m, 16.(1)不妨设A,C在x轴上方，B,D y整理得3x2+4mx+ 图5 在x轴下方，因为F为椭圆C1的右焦点，且 △=16m2-12(m2+3)>0, AB垂直x轴，所以F(c,0),将x=c代入C m2+3=0,所以x1十x,= Am 3 >0, 的方程得A(会)，B(。,2),则AB= x1x2= m2+3>0, 2b 3 a 解得m<一3。 设抛物线C2的方程为y2=2px(p> 又因为斜率为正的双曲线的渐近线为 0),因为F为抛物线C,的焦点，且CD垂直 x轴，所以F(台0)，将x=代入C,的方 ,直线PM:-1=x+2,联立 可得xE= -2y1-x1 程得C(径，p)D(2,-p),则1CD1=2p y1-x1-39 同理得x= -2y2-x2 因为CD=4AB1,C,与C的焦点 y2-x2-3 3 S, IPFIIPElsin∠EPF 整理得4c=8 而S1+S 重合，所以 4、2b2 3a’ zPMI1 PNIsin∠MPN 2p=3×1 a PEPF (ZE+2)(xF+2) 所以3ac=2b2=2a2-2c2。 =PM·PN (x1十2) (x2十2) 设C1的离心率为e,则2e2+3e一2=0， -3x1-6 -3x2-6 y-x1-3·y2-x,-3 解得e= 2或e=-2(舍去)，故C的离心 (x1十2)(x2+2) 9 为 (x1+m-3)(x2十m-3) 47 中学生数理化 演练篇核心考点演练 高三数学2025年12月 9 2y0 x1x2+(m-3)(x1+x2)十(m-3) 2kaD x0+1 2yo(x0+1) 9 9 10-2m<16,所以16S,<9S,+9S,即 1-kop : 1 (y。 (xo十1)2-y8 x。+1 所以∈（后+ 7 2yo(xo+1) yo (x0+1)2-(3x8-3) x0-2 18.(1)依题意可得，1QA|-|QB1|= tan∠QBD,所以∠QBD=2∠QDB。 1|QA|-QP|1=2。而|AB|=4>2,故动 综上可得，入=2。 点Q的轨迹C是以A,B为焦点，实轴长为2 19.(1)因为左焦点为F(一√3,0)，所以 的双曲线，从而c=2,a=1,进而b2=3,于是 轨迹C的方程为一苦-1 .又商心率e=后-医则a=2b V-7=1,故稀圆E的方程为号+y=1, (2)由题意易知直线MN的斜率存在， 设直线MN:y=kx十1，M(x1,y1),N(x2, (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(xo, (y=ka+1, yo),由题意知直线AB:y=k(x十√3)。 y2),联立 x-兰-1，消去y整理得(3 3=1, 联立 y=k(x十B),消去y整理得1十 x2+4y2=4, k2)x2一2kx一4=0，所以3-k2≠0，△= 4k2)x2十8√3k”x十12k2-4=0,所以x1+ (2k)2-4·(3-k2)·(-4)>0,得k2<4,k 83k? 2k T2- ≠3，由韦达定理得十x=3,x2一 1十4k2。 一4 所以x。= x1十x2=- 4√3k 3-k20 2 1十4ky0=k(x。 OM.ON=x1x2十y1y,=x1x2十(k.x 十√3)= 博器品) √3k +1)(kx2十1)=(1十k2)x1x2十k(x1+x2) 因为 √3k +1=- 1- 十4k· 1十4k2 =0,所以点 M在直线l上。 令t=3-k2,则t∈(-1,0)U(0,3],所 (3)由(2)知点A到直线CD的距离与点 B到直线CD的距离相等。 于是OM.ON=-1-3k= 3t-10 因为△BDM的面积是△ACM的面积 3—k t 的3倍，所以|DM|=3|CM|。 又|OD|=|OC|,于是M是OC的中点。 (3)存在入且入=2。证明如下： 设点C的坐标为(xy,则。=兰 设Q(x0,y),则y=3x8-3。 [x=-4ky, 1 联立 当x。=2时，Q(2,3),此时QB⊥BD,且 x2+4y2=4 解得y=1十4 QB|=|BD|=3,易知△QBD为等腰直角 三角形，故∠QBD=90°，∠QDB=45°，即 1+46=4(3) 于是y=4,即，1 ∠QBD=2∠QDB,所以A=2。 解得k= 8,故=土2 1 4 xo-2kaD=yo 当xo≠2时，koB=y0 xo十1 所以存在k=士 ② 2tan∠QDB ,使得SAmM 因为tan2∠QDB= 1-tan∠QDB 3S△ACMO (责任编辑王福华) 48