16 夯实基磅，融会贯通-《中学生数理化》高考数学2025年10月刊

解题管￥经臭题突酸方清中学生教理化 高三数学2025年10月 修夯买基础融会贯通 L.6 2025年新高考全国Ⅱ卷中三角、平面简量的试题分桥及复习启示 ■山东省聊城第一中学 叶金焕 纵观2025年新高考全国Ⅱ卷，我们可以 分析1：首先，根据倍角公式可求出 发现涉及三角函数、解三角形和平面向量三 cosa;其次，根据同角三角函数基本关系可 块内容的试题比较基础，难度不大。三角函 求出sina;最后，根据两角差的正弦公式可 数、解三角形及向量作为高考数学的必考内 容，重点考查对三角函数公式、三角函数的图 求出sin(。一) 像与性质、正弦定理、余弦定理、平面向量的 解法1：因为cos 性质与坐标运算等基础知识的理解和应用。 2 5,所以cosa- 针对新高考背景下的三角函数、解三角形及平 2c0s-1=-。因为0<<，所以sin 面向量问题，我们以2025年新高考全国Ⅱ卷为 例，总结解题策略和技巧，以提高解题效率和 4 --osa=号，所以sin(a-牙) 准确性，为高考取得优异成绩奠定坚实基础。 一、三角函数试题分析 π7√2 sin acos 4-cos asin-10. 故选D。 1.三角函数恒等变换求值的考查 分析2：首先，根据角的范围和同角三角 例1(2025年新高考全国Ⅱ卷第8 题)已知0<a<x,c0s号-号， 函数基本关系求出tan乞：其次，根据万能公 =号，则sin(a- 式求出sina,cosa;最后，根据两角差的正弦 )=( )。 公式可求出sim(。一牙)的值。 4 B.2 C.310 D.72 10. 10 解法2：因为0<a<元所以0<号 十十十十十十十十++十十十十十十十十中十十十十十十中十十十十十十十十十十十 与定理，特别是那些看似简单却容易忽略的 编条件或结论，举一反三，真正做到触类旁通。 基础知识。对于教材中的例题和习题要反复 3.锤炼思维，提升素养 揣摩，因为很多高考题都是教材习题的变式 数学思维的锤炼是提升解题素养的核 或组合。同时要重视教材中的阅读材料、探 心。面对越来越灵活的高考数学题，仅靠题 究活动等拓展内容，这些往往成为命题的创 海战术难以取得突破。要在日常训练中培养 新点。基础扎实了，解题时才能准确理解题 数学建模能力，学会将实际问题转化为数学 意，快速找到突破口。 问题：要发展多角度思考能力，对同一个问题 2.精研真题，把握规律 尝试不同的解题路径；要注重解题的严谨性 精研真题是把握命题规律的关键途径。 规范使用数学语言表达。建议同学们在复习 通过分析近五年的高考真题可以发现，试题 中多进行“一题多解”的训练，比较不同解法 在知识点分布、难度梯度、考查方式等方面都 的优劣；要定期整理错题，分析错误背后的思 有规律可循。建议同学们按专题分类整理真 维缺陷；还要适当挑战一些综合性强的题目， 题，既要关注高频考点，也要留意新兴的考查 在限时条件下培养快速决策能力。通过持续 方向。在研读真题时，不仅要会做，更要理解 的有针对性的思维训练，逐步建立起解决新 命题意图，分析每个选项的设计思路，总结常 问题的能力体系，这样才能在高考中从容应 见陷阱和易错点。对于典型题目，可以尝试改 对各种创新题型。 (责任编辑王福华) 41 中学生表理化学聚破方待 2。又因为cosg= 2√5 2 ,所以si号- 5 5 令2π<2x十吾≤π十2kx,解得一是十 则tan2 =2。由万能公式得sina= kx≤：≤沿十kx,即g《x)的单调递减区间为 2tan 2 1-tan [十x+]∈7 1+tan? 5 cos a= 2 3 5, 同理可得g(x)的单调递增区间为 2 1+tan?a 2 所以sin(a-）=sinaco开 -cos asin 4 二、解三角形试题分析 -72 10。 故选D。 例3(2025年新高考全国Ⅱ卷第5 点评：解法1是利用三角函数公式直接 题)在△ABC中，BC=2,AC=1十√5，AB= 求解。解法2是利用万能公式求出sina和 √6，则A=( ）。 c0sa,再利用两角差的正弦公式求出答案。 A.45° B.60° C.120° D.135 这两种方法体现了三角函数题目解法的灵活 性，可以通过对公式的适当运用解决问题。 分析1：利用余弦定理可得c0sA= 2 2.三角函数的图像与性质的考查 再利用特殊角的三角函数值得到A=45°。 例2(2025年新高考全国Ⅱ卷第15 解法1：在△ABC中，由余弦定理得 题)已知函数f(x)=cos(2x十p),09<π， Cos A-AB+AC:-BC 2×ABXAC=2。又因为0< 0-是 A<π，所以A=45°。故选A。 (1)求 分析2：在△ABC中，根据边的大小关系 及大边对大角可得角A。 (2)设函数g(x)=f(x)十f(x-), 解法2：因为2<√6<1十√5，所以A 求g(x)的值域和单调区间。 60°，分析选项可知A正确。故选A。 分析：本题设置了两个问题，第一问考查 三、平面向量试题分析 特殊角的三角函数值；第二问考查两角和与 例4(2025年新高考全国Ⅱ卷第12 差的余弦公式、三角恒等变换、三角函数的图 题)已知平面向量a=(x,1),b=(x一1， 像与性质等。在这些问题中，重点考查同学 2x),若a⊥(a一b),则|a|= 们对必备基础知识的掌握程度，以及在构建 分析1：利用向量的加减及数量积坐标 完整知识体系框架方面的能力。 运算法则得到x=1,再根据向量模的坐标公 解：1)因为f(0)=,0≤e<,所以 式得到a|=√2。 解法1：因为a=(x,1),b=(x-1,2x), 9=3 所以a-b=(1,1-2x)。又因为a⊥(a一 (2)由1)可知，g(x)=c0s(2x十) b),所以a·(a一b)=0,即x十1一2.x=0,解 得x=1,所以|a|=√2。 cos2(-c08 2.xcos 3 分析2：根据数量积的运算法则和数量 积的坐标运算得到x=1,再根据向量模的坐 sin 2x sin+cos 2x- 2 cos 2x- V3 2 sin 2x 标公式得到|a=√2。 解法2：因为a⊥(a-b),所以a·(a一 =5o(2x+) b)=0,即a2-a·b=0,所以x2+1-(x2 所以g(x)的值域为[一√3，√3]。 x十2x)=0,解得x=1,所以|a|=√2。 42 解数学经腰要孩方清中学生表理化 四、溯源教材 角的三角函数值、三角函数公式、三角函数的 教材例题及习题是高考试题改编的参考 图像与性质、向量的运算法则和坐标运算、正 之一，特别是基础题目的考查，更要注重对教 弦定理和余弦定理等基础知识，通过大量练习 材的仔细研读，这几道高考题的母题在教材 提升运算速度和准确性。同学们要重视课本 中随处可见。 习题的研究。课本习题作为知识的直接应用 母题1（人教A版必修第一册第223 和巩固，不仅能够帮助同学们熟练掌握基本知 页第1题)已知c0s台= 5,8π<a<12x, 识和基本方法，还能让同学们深人思考，发现 解题的多样性和灵活性。通过反复钻研课本 求sin冬，cos年，tan÷的值。 习题，能够更好地把握三角函数、解三角形及平 面向量的核心要点，理解其背后的章节知识结 母题2（人教A版必修第一册第218页 构，为应对更复杂的数学问题打下坚实基础。 例3)已知sina=- 3 ，a为第四象限角，求 2.积少成多，熟能生巧 在高考复习的过程中，同学们需要重视 sin(于-acos(开+a)an(a-F)的值。 方法论的指导，而非简单的题海战术。在解 母题3（人教A版必修第一册第217 题过程中，不仅要追求答案的正确性，更要注 页第3题)已知cosa=一 a∈（受x,求 3 重解题过程的经验积累，提升解题技巧和思 维能力。三角函数的恒等变化很多，公式复 cos(于-a)的值。 杂多样，变化多端，可考查的知识点多，基本 每一种题型都有涵盖，因此，同学们要重视解 母题4（人教A版必修第一册第207 题视角的拓展。解三角形与平面向量将 页例5)求函数y=sin(2x+),x∈ 1 “数”与“形”结合起来，不仅能够直观地展现 [一2π，2π]的单调递增区间。 数学问题的本质，还更加有助于培养同学们 母题5（人教A版必修第一册第255 综合运用知识解决复杂问题的能力。 3.要重视两个能力的提升 页第21题)已知函数f(x)=sin(x十)十 与三角函数、解三角形及平面向量有关 的问题，方法灵活，计算繁杂，因此，同学们要 sin(x-若)十cosx十a的最大值为1. 重视逻辑思维能力、运算求解能力的提升。 (1)求常数a的值； 在解题时，首先，同学们要在熟练掌握三角函 (2)求函数f(x)的单调递减区间； 数公式、三角函数的图像与性质、正弦定理与 (3)求使f(x)≥0成立的x的取值集合。 余弦定理、平面向量的运算法则及坐标运算 母题6（人教A版必修第二册第60页 的基础上，灵活运用逻辑思维，构建一条或多 第8题)已知向量a=(1,0),b=(1,1)。当入 条清晰、可行的解题路径；其次，同学们要具 为何值时，a十Ab与a垂直？ 备较强的运算求解能力，准确无误的求解不 五、复习启示 仅能够提升解题效率，还能有效验证逻辑推 高考数学意在全面检验同学们的数学综 理的正确性，从而确保最终答案的可靠性。 合能力，培育其深厚的数学素养。近年来，高 总之，高考数学试题的命题趋势越来越 考数学改革经历了情境化新题型、深入数学本质、 注重回归教材，因此，同学们要重视教材例题 强化运算与结论活用等阶段，最终回归教材例题 和习题的学习。通过研究教材例题和习题， 导向。改革虽多，但核心目标始终如一。为了更 可以了解高考数学试题的命题特点和规律， 好地进行高考复习，同学们可以做好以下几点： 掌握解题方法和技巧，为高考备考提供有力 1.夯实基础，强化训练 的支持。 深入理解并熟练掌握三角函数定义、特殊 (责任编辑王福华) 43