12 多个三角形拼接问题中的解三角形易错点探秘-《中学生数理化》高考数学2025年10月刊

解题篇易错题归类剖析 中学生数理化离数学202年0月 一多个云角形拼接问题央的解三角形易错点探秘 ■江西省于都中学 刘洋杰 解三角形的核心在于正弦定理、余弦定 点评：上述解题过程中容易出错的地方 理和三角形面积公式的应用。近几年新高考 是忽略隐含条件，例如，有角平分线时没有考 命题趋势显示，涉及多个三角形拼接情境的 虑到角平分线定理或等面积思想，有等分，点 解三角形问题已成为考查热点。本文将针对 时没有想到两角互补。处理这类问题的策 多个三角形拼接情境下，解三角形的题型展 略：①如果三角形边上一点与对应顶点的连 开探究，寻找丢分原因，分析易错点并提出应 线为角平分线时，需要使用等面积法建立等 对策略。 式，结合其他已知条件综合解答；②如果三角 一、两个三角形拼接问题 形边上的，点是该边的等分点，假设图1中，有 此类问题也称为单边分割型，常表现为： CD=ADB,则需要根据∠ADC十∠ADB=π 在给定三角形的一条边上取一点，连接该点 来建立等式，即cos∠ADC十cos∠ADB= 与对应顶点，将原三角形分割为两个小三角 0,再结合其他已知条件综合解答。 形，再结合条件求解相关元素。这类问题的 二、多个三角形拼接问题 易错点主要是难以想到隐含条件。 此类问题也称为图形组合型，主要涉及 例1在△ABC中，已知∠BAC= 三个或以上三角形拼接（如四边形、网格图 120°，AB=3,BC=√19。 等)，其中部分三角形可解（即具备完整求解 (1)若∠BAC的角平分线交BC于点 条件)，部分三角形不可解。解题关键在于识 D,求AD; 别图形中的具体三角形，分析哪些是可解的， (2)若D为BC的中点，求AD。 并利用它们作为桥梁，逐步求解不可解的三 解析：(1)如图1所 角形。这类问题的易错点是判断三角形可不 示，记AB=c,AC=b, 可解存在困难。 BC=a,由余弦定理可G 例2如图2，在四边形 得32+b2-2×3×b× 图1 ABCD中，AD=2,CD=3, c0s120°=19。又b>0, △ABC是等边三角形。 解得b=5。由S△AC=S△ABD十S△AcD,可得 (1)若∠ADC=60°，求 }×3×5×sin120°月 1 ×3×AD×sin60 △ABC的面积： 图2 (2)若BC=2,求△BCD 1 +2×5×AD×sin6o,解得AD 的面积。 3×5×sin120° 15 解析：(1)在△ACD中，AD=2,CD=3, 3×sin60°+5×sin60= 8 ∠ADC=60°，由余弦定理得AC2=CD2十 (2)由(1)得b=5。因为D为BC的中 AD2-2·CD·AD·cos∠ADC,即AC= 点，所以CD=DB= W19 2 由∠ADC十 √8+2-2×2X3×2=V7。又△ABC是 ∠ADB=元，得cos∠ADC十cos∠ADB=0, 2 √19) √19 等边三角形，所以S△c-名×ACXABX 十AD2-5 +AD2-3 2 2 即 2X19 ×AD ×AD sin∠BAC=2×万XV7×sin60-7y5 4 2 2 (2)因为△ABC是等边三角形，所以AC =0,解得AD=2· =BC=2,∠ACB=60°。 30 然数学8腰折中学生表理化 在△ACD中，AD=2,CD=3,AC=2, 楼”美誉的黄鹤楼，位于糊北武汉，地处蛇山 由余弦定理得cos∠ACD 三 之巅，频临万里长江，更因历代诗人登楼作诗 AC+CD:-AD 而名闻天下。如图4，某同学为测量黄鹤楼 2×AC×CD 支号=兰则 的高度MN,在黄鹤楼的正东方向找到一座 sin∠ACD= ? 建筑物AB,高约为26m,在地面上点C处 4 (B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A、黄 因为∠BCD=∠BCA+∠ACD,所以 鹤楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A sin∠BCD=sin(∠BCA+∠ACD)= 处测得楼顶部M的仰角为15°，则黄鹤楼的 sin∠BCAcos∠ACD+cos∠BCAsin∠ACD 高度约为( )。 ×是+×- 21 4 8 -,所以S△xD -3 x BCX CDX sin∠BCD- 2×2×3× 157 3√3+√795+3√7 8 8 30 点评：本题是多个三角形拼接的题型，从 图3 图4 题目看包含多个三角形，丢分主要原因是在 A.48mB.51mC.52mD.54m 这8个三角形中，判断不出哪些三角形是可 解析：由题意知∠ACB=30°，∠ABC= 解的，以及可解三角形和不可解三角形的过 90°，∠MCN=45°，∠MNC=90°，∠MAC= 渡关系不清。解决这类问题的策略是分清可 30°+15°=45°，AB=26。在△ABC中， 解三角形和不可解三角形，一般所要解决的 ∠ACB=30°，∠ABC=90°，AB=26,则AC 问题是在不可解的三角形内，需通过可解三 =2AB=52。在△AMC中，∠MCA=180 角形，然后过渡到不可解三角形中，使不可解 -∠MCN-∠ACB=105°，则∠AMC=180 三角形可解。该题的第(1)问是求△ABC的 -∠ACM-∠MAC=180°-105°-45°= 面积，该三角形是不可解的，但是△ACD已知 两边及夹角，则该三角形可解，利用余弦定理 AC 30°。由正弦定理得sin∠AMC 求出AC=√7，从而使得△ABC可解；第(2)问 sin∠MAc,即52 MC MC 是求△BCD的面积，同样不可解，但是△ABC sin30-sin45,解得MC= 是等边三角形，过渡到△ACD中，得到AD= 522。在△MNC中，∠MCN=45°， 2,CD=3,AC=2,为可解三角形，进而求出 ∠MNC=9o°，所以MN=MCsin∠MCN= c0s∠ACD=是，则△BCD变为可解三角形。 522×2 2 =52。故选C 三、解三角形在实际问题中的应用 点评：本题是利用解三角形测量有“天下 利用解三角形解决实际问题（如测量、航 江山第一楼”美誉的黄鹤楼的高度，通过测量 海)是新高考热点，体现了数学建模、数学运 后，得到图4的几何图形，完全转化为多个三 算等核心素养。此类问题通常是涉及多个三 角形拼接的问题，具体策略是先解△ABC,求 角形拼接的几何模型，其解题关键是将实际 出AC=52,据此过渡到△AMC中，由正弦 问题抽象为数学几何模型，然后运用第二类 定理求出MC=52√2，最后回到△MNC中， 问题（多个三角形拼接）的解题策略。这类问 由正弦定理求出MN=52。因此，这类问题 题的易错点主要有：一是不能从实际问题中 的策略是将实际情境中的问题抽象出数学问 抽象出数学问题；二是不能对图形与数学、数 题，一般图形与数学直观，可以抽象为多个三 学与图形之间进行直观处理。 角形拼接问题，则按照多个三角形拼接问题 例3如图3是享有“天下江山第一 的解题策略进行处理即可。 31 中学生款理化餐整数学品铺盟焊爽新 米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米**米 多个三角形拼接问题作为新高考热点与 变得可解)。三是实际应用问题（建模转化 难点，对数学核心素养要求较高，因此也是易 型)：核心是将实际问题抽象为几何模型（通 错题型。文章梳理分析了这类问题的易错点 常是多个三角形拼接图形)，转化为第二类问 及其答题策略，旨在突破此类问题：一是两个 题后，按相应策略处理。掌握上述分类与核 三角形拼接（单边分割型）中，角平分线：首选 心策略，有助于系统攻克此类综合性强的解 角平分线定理，或等面积法建立方程；等分 三角形问题。 点：利用比例关系建立方程。二是多个三角 注：本文系江西省基础教育研究课题 形拼接（图形组合型）：关键在于识别可解三 2024年度立项的一般课题“‘三新’背景下高 角形与不可解目标三角形。策略是寻找过渡 中数学育人方式转型成效策略的实践研究” 路径：通过求解可解三角形得到公共边或角， (课题编号：GZSX2024-0432)的阶段性研究 作为“桥梁”信息，逐步求解目标三角形（使其 成果。 (责任编辑王福华) 32