13 三角函数f(x)=Asin(ωx+φ)中的易错点归类分析-《中学生数理化》高考数学2025年10月刊

中学生款理化餐整数学品铺盟焊爽新 三 角函数fx)=Asin(ωx+p)中的易错点归类分析 ■江西省赣州市赣县中学 曾祥榕 三角函数f(x)=Asin(wx十p)是高中 数学的核心知识，在新高考背景下，对函数 的相邻两个交点，若AB=受，则下列正确 f(x)=Asin(wx十p)的考查也是灵活多变。 的有( )。 然而，高考命题以新课标为依据，注重教考衔 A.函数的最大值为3 接，故对函数f(x)=Asin(wx十p)的考查 B.w=士2 不管怎么变化，其核心始终基于基础知识之 C.w=2 上。通过分析总结，解决与函数f(x)= D.一2π是函数的一个周期 解析：因为函数f(x)=3cos(wx十p), Asin(wz十g)有关的问题时，其中的易错点 所以A正确；因为A,B是函数图像与x轴 有以下五个方面：对w及周期T的误解、求中 时因素考虑不全、求单调区间的易错方面、求 相交的相邻两个交点，且AB一受，所以函 最值错误处理及已知其性质求参数等。本文 数的最小正周期为T=2×|AB|=π，因此 将从这五个方面展开讨论，希望能帮助同学 们有效规避错误。 1a-票=2，即a=士2，所以B正确，C错 一、对ω及周期T的误解 误；由函数的最小正周期为T一π，则π的整 在函数f(x)=Asin(wx十9)中，T= 数倍均是函数的一个周期，所以D正确。故 选ABD。 红，因此将二者归为一类进行讨论。在常规 点评：本题是考查同学们对w或周期T 情况下的“为正数，甚至很多题目也给出限 的认知问题，属于对基础知识的考查，其中的 制条件为ω>0，导致很多同学误认为w只能 易错点主要有：①对”的认知不够，认为w 大于0。而函数f(x)=Asin(wx十P)的周 0,但是教材中没有规定ω>0，而且题目也没 期问题，一般是研究其最小正周期，所以很多 有限制ω>0。根据ω求函数周期的公式为 同学误认为周期一定为正。 T一器，其中0有绝对值，这里就告诉我们 例1（多选题）已知函数∫(x)= w可正可负，但w≠0。②认为三角函数只存 3Cos(ωx十p),A,B是函数图像与x轴相交在最小正周期，其实根据名称不难理解，我们 米米米米米米米米米米米米*米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米*米米米米米米米米米 32 然数学8腰折中学生表理化 主要研究的是三角函数的最小正周期，根据 期的整数倍处理，使其在限定的范围之内。 周期函数的定义（对于任意函数∫(x),存在 代入坐标法本身就是待定系数法求函数的解 实数T,满足f(x十T)=f(x),则称实数T 析式，其中的易错点主要有：一是没有引入参 是函数∫(x)的一个周期)可知，最小正周期 数k,或引入了但没有取值范围；二是没有注 的整数倍都是它的一个周期。 意题目的限制条件；三是不能准确地确定参 二、求9时因素考虑不全 数k的取值。 根据三角函数的特征，求中的方法有两 三、求单调区间的易错方面 种：一是五点法；二是代人坐标法。这两种方 在求函数f(x)=Asin(wx+p)的单调 法各有各的优势，在采用五点法时的易错点 区间时的主要易错点有两个：一是没有考虑 为确定点为第几个点；在采用代入坐标法时 函数的周期性，即求出函数的单调区间后，没 的易错点是忽略函数的周期性，即不引入k, 有进行加整数倍周期处理，有的同学加了，但 或忽略k的取值范围。 是没有备注饣的取值范围；二是在小区间内 例2已知函数f(x)=Asin(wx十P) 求单调区间时，没有考虑全面。 (其中A>0,g<受)的 例3已知函数f(x)=2sin（wx一 图像如图1所示，求函数 晋)>0)的相邻两个对称轴的距离为受· f(x)的解析式。 (1)求w的值； 解法一：（五点法）由 (2)求函数∫(x)的单调递减区间； 图像得A=1,最小正周 图1 (3)求函数f(x)在区间(0,2π)内的单调 期T=4×(经晋)- 递增区间。 x,因此w 2=2。 根据正弦函数图像的变 解析：(1)由函数f(x)=2 sin wx一 ) 化特征可知，x=号是五点作图法中的第3个 (。>0)的相邻两个对称轴的距离为2，得函 数的最小正周期T=牙×2=元，所以0= 2元 点，因此有2×号十9=元，解得9= 3。故函 2 =2。 数的解析式为f(x)=sin(2x+)。 (2)由(1)得f(x)=2sin(2x-5). 解法二：（代人坐标法）由图像得A=1, 最小正周期T=4×(经-)=，因此如 令登十2m≤2x一晋<经十2kx(k∈ 票-2，则f(x)=sim(2x十9)。由函数图像 2),解得登+kx≤晋+kx∈》. 所以函数f(x)的单调递减区间为 过点(5,0)，代人f(x)=sin(2x十9)得 +,竖+]∈ [5 L12 晋十=kx(∈2)，解得g= 2匹十k元 (8)令-是十2x≤2x-吾≤受十2kx 2 (k∈》。又因为e<2,所以=否，放函 k∈D,得一吾十k≤x<晋十kr(k∈》。 数的解析式为f(x)=sim(2x十)： 因为x∈(0,2π)，所以当k=0时，0 点评：利用五点法求”时对点判断要准 x≤登当大=1时，晋≤x≤：当灰=2 确。另外，有时候对点判断准确，但是求出的 中不在限制范围之内，这时候需要进行加周 时，≤<2 33 中学生款理化餐整数学易铺盟焊爽新 故函数f(x)在区间(0,2π)内的单调递 先判断函数在指定区间内的单调性，然后根 增区间为，[，[路2 据函数的单调性确定最值。 五、已知函数性质求参数 点评：本题共三问，第一问是求w的值， 这种题型是考查的热点，也是难点，其中 属于基础性过渡问题。第二问是求函数的单 的易错点主要有两个：一是无法确定不等关 调递减区间，这里的易错，点主要有：①不会通 系；二是端点处的等号取舍困难。 过类比思维借助正弦函数y=sinx求函数 f(x)=2sim(2x一罗)的单调区间：@忽略函 例5已知函数f(.x)=2cos（wx一 数f(x)=2sin(2x一)的周期性，求出错 )在区间(0，牙)内有且仅有两个零点，求实 数ω的取值范围。 误的单调递减区间为 「5π，11π]，③忽略k的 L12’12」 解析：由x∈(0，)，可得ox-否∈ 取值范围。第三问是在小区间内求函数 f(x)=2sin(2x-）的单调递增区间，这里 的主要易错点是不会对两个集合取交集。 因为函数f(x)=2cos(ox一)在区间 四、求最值错误处理 这里的易错点是很多同学只记住了函数 (0,)内有且仅有两个零点，所以行“一君 f(x)=Asin(wx十9)的最大值为|A|,最小 应该处于函数y=cosx的第2个与第3个 值为一|A,但是这是有前提条件的，是在定 义域为一个最小正周期以上时成立，否则需 零点之间，则<行。一吾<解得< 2 3 要判断函数的单调性，根据单调性求最值。 32 3 例4已知函数f(x)=V3cos2.x+ 2 sin,求函数/(x)在区间[答，]内 故实数。的取值范围为（学，等] 点评：解答该题时的易错点主要有：一是 的最值。 不知如何建立不等关系，主要根据具体性质 解析：由f(x)=√3cos2x+2sinx· 进行；二是不清楚不等式的端点等号取舍，主 cosx,得fx)=2sin(2x+5） 要根据不等式特征和已知条件共同决定。 因为x∈ [后引，所以2x+号 总之，对于三角函数f(x)=Asin(wx十 )的问题，常见的易错点有以上几点，在解题 [] 时一定要认真分析，避免出错。在解题时，除 了以上注意情况，现提出几点建议：一是加强 因此函数f(x)=2sin(2x十)在区间 基础巩固，基础是解题之本，只有基础牢固， 才能避免很多易错点出现；二是注重教材，解 [后，引内单调递减，所以f(x) 题不能主观臆断，所有依据要从教材中去找； 三是认真分析题目，仔细观察题目的各个部 f()=x)=f(）=0. 分，特别是括号里面的条件很容易忽略。 点详：本题是在区间[答，] 注：本文系赣州市教育教学科学研究所 内求函数 重，点课题“新高考形势下高考题与教材、习题 f(x)=√3cos2x十2 sin xcos x的最值，此时 的关系的研究”（课题编号：GZSX2024一6）的 不能直接取最大值为|A「，最小值为一|A, 阶段性研究成果。 也不能把区间的端，点代入求最值，而是应该 (责任编辑王福华) 34