14 筑牢基础引爆思维，解码解三角形选填压轴题密钥-《中学生数理化》高考数学2025年10月刊

解题管学经臭题突酸方清中学生教理化 高三数学2025年10月 筑牢基础爆思维，解码解三角形选填压轴题密钥 ■江西省南昌中学 黄文强 杨一博 解三角形问题是高考的一个重要内容， 一2inB+2之 →4sinB+√2sinB-3=0→ 近几年高考该类试题稳中有变，变中有新，涉 及三角形中的线段长度、角度、三角形面积等 (√W2sinB-1)(2√2sinB十3)=0，所以sinB 的求值、最值与取值范围，通常难度中等，属 →tanB=1. 于“必得分”之列，但有时也会出现在压轴题 2 的位置。如何破解解三角形选填压轴题，夯 故选C。 实基础与提升思维是关键。2025年全国各 评注：推到sinB=2厄sin(牙+B）· 地模拟卷中出现了许多精彩的解三角形选填 压轴题，本文对这些试题进行梳理，以期为同 si(等-B）这一步后也可用正弦平方差公 学们的复习备考有所帮助。 式sina-sinB=sin(a+B)sin(a-B),所以 一、深度理解基本概念，熟练掌握定理 公式 有sinB=2E(sin答-simB)。 例1(2025年成都三诊第8题)在 二、注意隐含条件，避免落入陷阱 △ABC中，∠BAC=,∠BAC的平分线 例2(2025年南昌重点中学高三联 考第14题)在锐角△ABC中，若b2十c”= AD交BC于点D,若CD=√6AB,则 2a2,则cosA的取值范围是 tan∠ABC=()。 b2+c2-a2 A立 B号 解析：由余弦定理得cosA= 2bc C.1D.√2 b2+c2 2 解析：在△ABD中，由正弦定理得AD sin B 2bc Abc AB b2+c2 sin∠ADB ①D 1a2+b2>c2, 2 +b2>c2, sin(+) 由 a2+c2>b2 b2+c2 2 +c2>b 在△ACD中，由正弦定理得AD sin G= b∠B。 3 √6c AD =2√2c。② sin(-B) 由对勾函数的图像与性质知2≤名+合 ②÷①得 sin B sim(-B)） <45故osA-(么+台)e[位，）： 3 评注：此题易忽略对的取值范围的探 B)→sinB=2Esin(S+B)小sin(g-B)→ 求而出错 simB=E{co[(答+B)-(答-B)] 三、掌握基本模型，实施化归转化 o[(答+B)+(答-B)]}(积化和差)→ 例3(2025年山东聊城高三一模第 13题)在△ABC中，已知AB=5,AC=4, simB=E(cos2B-cos牙）→sinB=E(1 7 cOs(C-B)=名，则△ABC的面积是一 35 中学生款理化解学翠破方情 解析：如图1，在AB上 取点D,使BD=CD=x, =1或a=号（合去），所以B1,一. 则∠DCB=B,∠ACD=C 所以BD=2√7。 一B。在△ACD中，由余弦 B1 解法2：运动变化问题常选角为自变量， 定理得AD2=AC2十CD 图1 在立体几何运动变化问题中，也常选角为自 -2AC·CD·cos(C- 变量。 7 设∠CAB=0,所以AB=ACcos0= B),即(5-x)=16+x-8x·8,解得x=3。 又在△ACD中，由余弦定理得cosA= 4cos9,BC=4sin0,所以SAn= 2AD AD+AC-CD-416-9= 1 2AD·AC 2×2×4 16,所以 AB·sin(a+S）,Saam=2CD·BC· sin A-1-cos A315 16 sim(受-g+5) 所以S△Ac= AB·AC·sinA= 1 由SAm=2Sm,得8aos9·sin(0+牙） 15W15 =2x8sin0·os(3-9）→cosa(2sing+ 8 评注：爪形三角形是解三角形中的典型 cos0）=2aina(号cosg+sin o)- 题型，本题通过作捕助线CD转成爪形结构， 使得问题轻松解出。 2 sin dcos 3 1 2 cos +3 sin'0-0=tan 0 四、活用数学思想，斩破问题之茧 例4(2025年广州市二模第14题) -5+2√5tan0=0,解得tan0= 3,所以6 在平面四边形ABCD中，AC=AD=4, ∠CAD=60°，∠ABC=90°，若S△ABD= 若，因此BD=VAD+AB=27。 2S△BcD,则BD的长度为一。 解法3：把四边形通过补形转化为解三 分析：题目中的四边形可以是凸四边形也 角形问题。 可以是凹四边形，应该有两个结果，答案应是 如图3，延长DC到 2万或4，下面三种解法均以凸四边形来解。 点M,使得DC=CM,连 7 接AM,交圆O于点B。 解法1：建立坐标系，把思考问题降维成 因为DC=AC= 运算问题。取AC的中点 CM,所以∠DAM= 为O,建立如图2所示的平 90°，所以∠CAM=30°。 面直角坐标系。由S△AD= 又∠AB,C=90°，所以 2S△cD可知AE=2CF。因 AD∥BC,所以B。为 图3 为Rt△AEGc∽Rt△CFG, AM的中点，所以G为 所以AG=2GC,放G(号， △ADM的重心。又S△ABD=2S△D,所以B。 图2 与B重合，AM=√DM-AD产=4√3，AB 0)。在Rt△AOD中，AO =2√3，所以BD=√AD+AB=2√7。 =2,AD=4,可得OD=23,故D(0,25)。 【说明】以上三种解法都是基于四边形 ABCD为凸四边形的情况，若四边形ABCD 所以DG所在直线方程为号+ y 2 23 =1,即 为凹四边形，同理，AG=2GC,由解法1得 3 。号，所以B(号.8)则BD- 2 y=-3√x十2√5，与x2+y2=4联立解得 7。 36 解题篇经典题突破方法 高三数学2025年10月 中学生数理化 五、打破板块界线，融合知识方法 值为一 125√5 例5（湖北省武汉市2024年4月高 108 三调考第14题)设A,B,C是一个三角形的 评注：在“三新”背景下，高考试题越来越 三个内角，则cosA(3sinB+4sinC)的最小 注重知识板块的融合，所以要注意解三角形 值为一。 板块与导数、立体几何等板块知识的融合。 解析：cosA(3sinB+4sinC)= 六、巧用二级结论“快捷键”，开启解题 cos A[3sin B+4sin(-A-B)]=cos A. “快速道” (3sin B+4sin Acos B+4cos Asin B)= 例6已知a,b,c分别为△ABC的内 cos A[(3+4cos A)sin B+4sin Acos B]. 角A,B,C的对边，且S为△ABC的面积， 令3十4cosA=a,b=4sinA,则 1 cos A(3sin B+4sin C)=cos A (asin B+ 则，simC十1anA的最小值为 【预备知识】外森比克不等式：若a,b,c bcos B)=√a+b'cos Asin(8+B)。 为△ABC的三边，S为△ABC的面积，则 要想cosA(3sinB+4sinC)有最小值， a2+b十c≥43S,当且仅当△ABC为正三 显然A为钝角，即cosA<0,于是√a十b2· 角形时等号成立。 cos Asin(0十B)≥√a2+bcos A。 设f(A)=cosA√a+b=cosA· 解析：由正弦定理a sinA-sinC,可得 √9+24cosA+16cosA+16sinA=cosA· asin C-csin A. √25+24cosA。 又因为a2十b2十c≥4√3S(外森比克不 1 因为cosA<0,所以f(A)= a a cOs A 等式)，所以bsin C+tanA-bsin C sin A -V√25cosA+24cosA。 a? cos A a? cos A 令cosA=t(-1<t<0),g(t)=25t2十 absin C sin A bcsin A sin A 24t3,-1<t<0,则g'(t)=50t十72t2= 1 a b2+c2-a2 1 sin A bc 2bc sin A 2t(25+36t)。 故当-1<t< 25时，g'(t)>0,函数 a2+b+c2、43S 36 2bc 4S=5。 84单调递增：当-瓷<1<0时，g')<0, 我们不但要熟悉解三角形板块经典题型， 还要掌握解三角形问题的基础三角恒等变换。 函数g(t)单调递减。 2025年新高考全国1卷第11题和第19题均是 25 因此当t=一 时，函数g(t)有最大值 三角题，涉及和差化积公式的应用，大部分同 361 学知道和差化积这个公式，但平时没重视，考 (- 252×25 场上潜意识里就没有应用和差化积公式的意 36×3 识。在2004年的新课标改革中，基于减负的 所以f(A)的最小值为一 25'×25 要求，和差化积、积化和差公式从高中教材里 V36×3 消失了。这一去，便是许多年。然而，在 5,此时asA=受<A< 125W3 25 2019年版的高中数学教材修订时，它们又重 新被纳入教材。谁能想到，在2025年的高考 -3+4cos A= 2 9 -,所以存在tang 中，这些公式又“大显身手”，让不少同学感受 到了它们的“凶悍”。因此，筑牢基础还要熟 严>1,9∈（任，）显然存在B,使得 练掌握三角恒等变换。希望通过本文能够引 爆同学们的思维，掌握解三角形选填压轴题 B+0=受，即cosA(3sinB十4sinC)的最小 的密钥。 (责任编辑王福华) 37