11 平面向量易错点归类分析-《中学生数理化》高考数学2025年10月刊

中学生教理化解题薇学易错题归类制折 高三数学2025年10月 平面向量易错点归类分析专等 ■安徽省利辛县第十中学焦雪 平面向量是高中数学的核心知识，也是 高考必考内容，同时是解决几何问题的有力 号A+号A花.又际=号a+号A花，相 工具。在近几年的考试中，对向量的考查形 加得AD=BF+2A下，故B错误， 式多样，逐渐呈现多元化趋势，但是在易错点 对于D选项，B京=BA十A京=一AB+ 上失分较多。文章通过归类分析，对平面向 名店+市-号+动故D错误 量常见易错点进行了归类探究，希望能够为 故选C。 同学们的复习备考提供一些帮助。 点评：本题是平面向量的线性运算，核心 一、平面向量的线性运算 是三角形法则和平行四边形法则。解决这类 对于平面向量的线性运算，易错点主要 问题的易错，点是未能根据题目条件恰当选择 有：一是没有明确区分三角形法则和平行四 使用三角形法则和平行四边形法则。虽然平 边形法则；二是没有考虑向量的方向性。 行四边形法则与三角形法则的本质相通，但 例1如图1，在四 在具体应用中，三角形法则因更具一般性而 边形ABCD中，AB∥CD, 通常作为首选。 ∠A=90°，AB=2AD= 二、平面向量的坐标表示及其应用 2DC,BC 3 EC,AE 图1 涉及坐标表示必然联系直角坐标系，易 2A户，则下列表示正确的 错点主要有：一是不善于建立恰当的直角坐 是( )。 标系或建系方法不当；二是点的坐标求解错 A.成=-A证+Ad 误；三是向量坐标表示错误；四是向量坐标运 B.AD-B京+3A京 算错误；五是对向量共线（平行）和垂直的坐 标充要条件应用错误。 C.A=专A店+3Ad 例2如图2，在梯 n成=A店+号A币 形ABCD中，AB∥CD, AB⊥AD,AB=2CD=4, 解析：对于A选项，由AB∥CD,∠A E,F分别为DC,BC的中 图2 90°，AB=2AD=2DC,得AB=2DC,CB= 点，且AC·E下=2，P是 元+D时+A店=一是A店-Ad+A店= 线段AB上的一个动点。 (1)求∠EAF; 号A店-AD,放A错误， (2)求(PE+P下)·PA的取值范围。 对于C选项，由B元=3E元，AE=2A京， 解析：(1)如图3， 以A为坐标原点，AB 得A疗=应，所以A市=号A应=子(A市+ 为x轴正半轴，AD为 DC+C)-2A市+A店+日C成-2A时 y轴正半轴，建立平面 直角坐标系，则A(0, 图3 +破+品-君市-子防+号前. 0),B(4,0)。 设D(0,y)(y>0),则E(1,y),C(2, 故C正确； 对于B选项，由C选项可知2A下= ),F3,空)，所以A亡=(2，)，示= 28 然数学8腰折中学生表理化 2,-艺）。由AC.E原=2，得4-兰=2，即 2 号，故A店，B心=1A店11BC10s(元 y=4。又y0>0,所以y0=2,即AD=2。 ∠ABC)=|AB1 BCI cos(π-B)=-|AB|· 因此E(1,2),F(3,1),则AE=(1,2),AF= 1BC1cosB=-10X6×3 =-36。 5 (3,1)。 A克.A京 (2)因为(a+b)⊥b,所以(a十b)·b= 所以cos∠EAF= IAELAFI 0,即a·b十b2=0。因为a1=3,b|=1,所 5 √2 以3cos(a,b)+1=0,解得cos(a,b)=-号。 3 √5×√10 29 所以|a+3b|=√a+6ab+9b2= 又∠EAF为镜角，所以∠EAF=平 (2)设P(xo,0)(0≤xo≤4)，则PE=(1 √9+6x3×(-3）+9=25. -x0,2),PF=(3-xo,1),PA=(-x0,0), (3)由|a十b=√6，可得|a+b|2=(a+ 所以PE+P京=(4一2xo,3),(PE+PF)· b)2=a2+2a·b+b2=6。又1a1=1,1b1= PA=(4-2x0,3)·(-x0,0)=2x-4x0 2,代人解得a·b=1 2 =2(x。一1)2-2。因为x。∈[0,4幻，所以(PE 于是a在b上的投影向量的模为|a|· +PF)·PA∈[-2,16]。 点评：本题是利用向量解决几何问题。 1cos(a,b)1=a·b=1 1b=4。 主要易错点有：一是怎么建立平面直角坐标 点评：本题是由三个小题构成，第(1)题 系；二是建系后，点的坐标怎样得到；三是如 考查在三角形中求向量的数量积，最易错的 何根据建系和，点的坐标转化为向量问题。针 是向量AB与BC夹角的大小，很多同学误 对以上易错点，提出解题措施：一是建系要根 认为是∠ABC,这样计算的结果为36，避开 据平面直角坐标系的特征进行，即必须有两 这种易错点的主要策略是清楚向量夹角的撕概 条直线的垂直关系；二是找点的坐标的方法 念；第(2)题考查的是求|a十3b|的值，主要易错 是遵循作坐标轴垂线的方法进行；三是转化 点是没有想到对|a十3b|进行平方后再开方处 为向量问题的关键是根据已知向量的终点和 理，这种题型是考查的热点，要清楚遇到这类向 起，点求向量坐标的方法进行。 量模问题时，均需要进行平方或先平方后开方 三、平面向量的数量积 处理；第(3)题是涉及投影向量问题，这是新教 平面向量的数量积是向量的重要知识点， 材有变化的知识点，老教材只有投影这个概念， 也是常考知识，其中的易错点主要有：一是忽 现在有了投影向量的概念，在解决问题时，可以 视向量的方向性导致向量夹角大小计算错误； 对概念进行理解，这样能熟练利用公式求解。 二是对向量的数量积性质不熟悉，即|a|2= 总之，平面向量的易错点并非固定不变， α；三是对投影向量的概念及计算不熟练。 会因个体差异而有所不同。本文梳理总结了 例3(1)在△ABC中，已知AB=10, 平面向量中常见的三大类易错问题：线性运 BC=6,CA=8,求AB·BC的值； 算、坐标表示与应用、数量积，并结合例题进 (2)已知向量a,b满足a|=3,|b|=1, 行了分析，提出了相应的应对策略。最后，为 且(a+b)⊥b,求a+3b的值； 提高学习效果，建议如下：深入理解教材中的 (3)已知a为单位向量，|b|=2,|a十b1 每一个概念和定义，把握其本质内涵；对零向 =√6，求a在b上的投影向量的模。 量等特殊向量进行专项区分，明确其性质和 解析：(1)在△ABC中，由余弦定理得 应用场景；深刻领会并熟练运用数形结合、转 c0sB=AB+BC-CA-100+36-64 化与化归等数学思想方法，做到举一反三。 2·AB·BC 2×10×6 (责任编辑王福华) 29