9 立足特殊线，巧解三角形-《中学生数理化》高考数学2025年10月刊

然敏学新腰验根费背中学生表理化 立足特殊线，巧解三角形 ■四川省南充高级中学梁燕 解三角形是高考数学中的必考内容之 图1所示，在△ABC中，AD 一，也是高考解答题中的一个重要主干知识。 是BC边上的高。处理的基 特别地，立足三角形中的高线、中线、角平分 本策略包括：(1)等面积法： 线及其他条件，合理创设解三角形问题的应 AD·BC=AB·AC· 图1 用场景，是近几年高考题中出现频率很高的 sin∠BAC。(2)三角函数的 一类基本题型，充分落实新课标高考中“在知 定义：AD=AB·sin∠ABD=AC· 识交汇处命题”的指导思想，备受各方关注。 sin∠ACD。(3)射影定理：BC=AB·cosB 一、三角形中的高线 +AC·cosC。 立足三角形中的高线，可以合理对应与之 二、三角形中的中线 相应的直角三角形，由此通过三角形的面积公 立足三角形中的中线，可以通过中点的 式等来分析与解决对应的解三角形问题。 位置关系、线段的长度关系、三角形的面积关 例1在△ABC中，内角A,B,C的 系等方面来切人与应用，实现解三角形问题 的突破与求解。 对边分别为a,b,c,且acos B十E 2b=c。 例2在△ABC中，内角A,B,C的 (1)求角A的大小： 对边分别为a,b,c,满足b2(sinB一3cosB) (2)若b=3,c=√3，求△ABC中BC边 =-a(a+b),且sinC=sin2B。 上的高线长。 (1)求角B的大小： 解析：1)已知acos B+尽 (2)若△ABC的面积为2√3，求AC边 2 b=c,由正弦 上的中线长。 定理得sin AcosB十夸sinB=sinC 解析：(1)已知sinC=sin2B=2sinB· cosB,由正弦定理得c=2 bcos B,所以 sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A,化简 46。所以b(sin'B-3cos'B）= cos'B= 2sinB=sin Bcos A。因为0B元 6(1-4sB)=b(1-8) =一a2一ab,整 以sinB>0,所以cosA=3 2° 理得a2+b2-c2=-ab。 因为0<A<,所以A=后 由余弦定理得cosC=a十b-c 2ab (2)由1)得A=若，结合6=3c=5, 2,又因为C∈(0，x),所以C=2π 1 Γ39 利用余弦定理得a”=b2十c2一2 bccos A= 9+3-2×3×5×5=3,所以a=5。 由sinC=sim2B,sin5=sin2B,B∈ 2 设△ABC中BC边上的高线长为h,则 (0,),可得2B∈(o,),所以2B=吾，解 2bcsin A=1 ah,解得h=3 得B= 6 放△ABC中C边上的高线长为2. (2)由(1)得B= A=吾，C所以 感悟提升：涉及三角形中的高线问题，如 △ABC是等腰三角形，则S△Ax=2 absin C= 23 中学生款理化餐整数学盟婆靓 1 厂公。=23，解得a=22,结合等腰三角形 cos A=- 。又因为sinB= √② 7 ,结合c= 的性质得b=2√2。 b十1>b,利用三角形的几何性质可得B为 由余弦定理得c=√a2+b2-2 abcos C 锐角，所以cosB=√/个-sinB= 2√7 7 =√8+8-2×2E×2反×(-2)=26. 所以sinC=sin[π-(A十B)]=sin(A 设AC的中点为D,则AD=2AC +B)=sin Acos B+cos Asin Bx 2 √2。在△ABD中，由余弦定理得BD 27+1×四-3 2 7 14 WAD+AB-2AD·AB·cOsA 、由正弦定理亡=nB，可得≤ b √2+24-2×2×26×5 =√/14。 3√2T 14 所以AC边上的中线长为√4。 c ,解得c=3。 感悟提升：涉及三角形中的 √21 7 中线问题，如图2，在△ABC (2)由(1)知b=c-1=2。 中，AD为BC边的中线，已知 因为AD是∠BAC的平分线，所以 AB、AC及A,求中线AD的 图2 ∠BAD=∠CAD=30°。 长。处理的基本策略包括： 设AD=x,由SAABC=S△CD十S△ABD,可 (1)倍长中线：如图3，构造全 等，再用余弦定理即可；(2)向量 1 11 =2×2x×2+2×3x× 法：A币=2(A立+A心)，平方即 z,解得x-63 5 可；(3)余弦定理：邻补角的余弦 值为相反数，即cos∠ADB十 图3 所以AD的长为 5。 cos∠ADC=0。补充：若将条件“AD为BC 感悟提升：涉及三角形中的角平分线问 边的中线“换为部 =入”，则可以考虑方法 题，在△ABC中，AD平分∠BAC。处理的 (2)或方法(3)。 本策略包括：1)角平分线定理：把 三、三角形中的角平分线 立足三角形中的角平分线，结合角平分 CD:(2)利用两个小三角形的面积和等于大 B 线定理，可以合理构建对应的线段比例，也可 三角形的面积进行处理。 以借助三角形面积的关系合理切入与应用， 其实，在解决一些涉及解三角形的综合 从而解决相应的解三角形问题。 应用问题时，充分把握题设条件，立足平面几 例3在△ABC中，内角A,B,C的 何图形的直观想象，巧妙融合平面向量与三 对边分别是a,b,c,且A=60°，c=b+1, 角函数等基础知识来综合与应用。在此基础 上，合理利用三角形中的一些特殊线段（高 sinB=V②I 79 线、中线、角平分线等)的几何本质与代数内 (1)求边c的值； 涵加以化归与转化，合理构建对应的关系式， (2)设AD是△ABC的角平分线，求 成为问题解决的一个突破口与切入点。在平 AD的长。 时的复习备考时，同学们要系统理解并掌握 这些特殊线段的本质与内涵，并会加以基本 解析：1)因为A=60,所以sinA= 21 应用与拓展。 (责任编辑王福华) 24