8 高中数学三角函数创新题测源：基于核心素养导向的命题路径解析-《中学生数理化》高考数学2025年10月刊

中学生数理化 解题篇创新題追根溯源 高三数学2025年10月 高中数学三角函数创新题溯源： 基于核心素养导向的命题路径解析 ■吉林省长春市第二中学 侯小畅 在新课程改革持续推进的背景下，高中 数学命题愈发注重对核心素养的考查。三角 函数作为高中数学知识体系的关键板块，其 创新题型不断涌现。这些创新题打破传统命 题模式，以新颖的情境、综合的知识融合方 式，对同学们的数学抽象、逻辑推理、直观想 图1 图2 象等核心素养进行全方位考查。深人探究三 解析：由P。(3,-3√3)，得tan∠POx 角函数创新题的溯源，剖析基于核心素养导 33 向的命题路径，对增强同学们的应试能力具 3 =5,所以∠P,Ox=答.又因为R= 有重要意义。 √32+（一3√3）2=6，每旋转一周用时180 一、核心素养导向概述 高中数学核心素养包含数学抽象、逻辑 秒，则筒车旋转120秒时共旋转6×120 推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据 ,此时点P所在角的终边为a=一一 分析六大方面。在三角函数这一知识领域， 3 3 3 数学抽象主要体现在从实际问题或几何图形 5π 所以点P的横坐标为6cosa= 中提炼出三角函数模型；逻辑推理贯穿于公 式推导、性质论证及问题求解的过程；直观想 6cos 5元 =6cos =3。 3 象借助三角函数图像理解函数性质；数学运 故选C。 算则用于公式化简、求值等计算环节。这些 创新点：①情境创新（文化传承十建模素 核心素养相互关联、相互支撑，共同构建起同 养)：借古代筒车水利情境，打破常规数学题 学们解决三角函数问题的能力体系。 边界。将传统文化与动态生活场景融合，驱 二、典型例题的创新点与命题路径深度 动同学们抽象出匀速圆周运动模型，在文化 解析 感知中自然渗透数学建模素养，让其体会数 (一)基于生活实际与数学文化情境类 学源于生活、服务文化传承的价值。②知识 例1筒车是我国古代发明的一种水 创新（综合运用十运算/直观素养）：关联三角 利灌溉工具，既经济又环保。明朝科学家徐 函数定义、周期与平面直角坐标系，摒弃单一 光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工 知识考查。同学们解题时需综合运算（由坐 作原理（图1）。假定在水流量稳定的情况 标算三角函数值、角度换算)、借坐标系想象 下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运 运动情形（直观想象素养），推动知识跨模块 动，将筒车抽象为一个半径为R的圆，建立 融合，强化数学运算素养。 如图2所示的平面直角坐标系，已知筒车按 命题路径：以“生活一数学一应用”为脉 顺时针方向旋转，每旋转一周用时180秒，当 络，分层渗透素养：第一步（数学建模），给出 t=0时，某盛水筒位于点P。(3,一3√)，经 点P。的坐标，让同学们用三角函数定义求初 过t秒后运动到点P(x,y),则当筒车旋转 始角，驱动数学建模从实际坐标抽象数学关 120秒时，此盛水筒对应的点P的横坐标为 系，迈出素养实践第一步。第二步（数学运 ( 算)，依周期算120秒旋转角度，强化数学运 A.-3B.3V5C.3D.-3√3 算（周期换算、角度计算），让素养在知识应用 20 解题篇全创新题迪根调酒中学生教理化 高三数学2025年10月 中落地。第三步（综合输出），结合角度用三 cos (-B)=cosB·(-c0sB十 角函数求横坐标，联动直观想象（运动后坐标 位置)与运算，实现素养从输人到输出的完整 3 sinB）-- 2 cos'B3 .1 号sin Beos B 闭环，让解题过程成为素养培育的载体。 (二)知识融合类 4,即2cosB-2√3 sin Bcos B=1,即1+ 1 例2在△ABC中，内角A,B,C所对 的边分别为a,b,c。设向量m=(3cosA, os2B-5sin2B=1,所以1an2B=5 30 cosA十sinA),n=(2sinA,cosA-sinA),记 又因为B∈(，），所以B=吾C= fA)=mn,A∈[经， (1)求函数∫(A)的最大值； 由正孩定理A一一C可得 b C (2)f(A)=1,a=3,cos Bcos C= 车，求△ABC的面积。 1 b=2sinB,c=2sinC。 解析：(1)由题意知f(A)=m·n= 由方法一知sin Bsin C=子，所以Sa 2√3 sin Acos A+cos2A-sinA=√3sin2A 1 +cos2A=2sin(2A+若). 2bcsin A-2sin Asin Bsin C3 4 创新点：①知识融合建模（数学抽象十建 又因为A∈[任月，所以2A+音∈ 模素养)：串联向量、三角恒等变换、解三角形 知识，以向量数量积为纽带构建三角函数模 [后]，所以sim2A+若)∈[1.所 型。同学们需从向量与三角交织情境中，抽 象出f(A)的表达式，完成实际（三角形）到 以f4)=2×号=。 符号（向量、三角式）的转化，驱动数学抽象与 建模素养，突破知识模块壁垒。②逻辑运算 (2)方法一：由(1)可知，若f(A) 共生（逻辑推理十数学运算素养）：化简 2sim(2A+若)=1，又A∈[F,],则A ∫(A)时，向量运算、三角公式（二倍角、辅助 角)协同，运算过程嵌套逻辑判断（公式适配 性、符号合理性)；推导值域需严谨推导角度 因为cosA=-cos(B十C)=-cosB· 范围，运算结果依托逻辑推理呈现。二者相 cos Cin Bsino BcosC 1 互支撑，强化逻辑推理与数学运算素养，让知 41 识运用与素养培育深度绑定。 所以sin Bain C-=子。因为a=尽，sinA 命题路径：①素养启动（抽象建模）：第一 问以向量数量积切入，引导同学们用三角公 3 ，由正弦定理A一品B一C,可得 式化简，完成向量与三角的转化，启动数学抽 象与建模，让素养从知识衔接处萌芽。 sin B= 合，sinC=乞，所以bc=1. ②素养进阶（逻辑运算）：结合A的范围推导 所以Sac=2 lesin A=5 1 2A十石的范围，再求三角函数值域，逻辑推 4 理贯穿运算全程，推动逻辑推理与数学运算 方法二：同方法一得A一于。 素养进阶，使素养在解题深化中生长。③素 因为cos Beos C=-子，所以cosB. 养综合（应用迁移）：第二问以f(A)=1为 桥，关联余弦定理，需整合多知识解三角形求 21 中学生教理化解题薇鲜创新题逸根潮预 高三数学2025年10月 面积，驱动数学应用与综合素养，实现素养从 何等知识的融合，通过梳理知识关联，理解 单一到综合的落地闭环。 “向量运算→三角变换”“坐标定义→函数特 (三)探究性与逆向思维类 征”等转化逻辑，让数学抽象、建模素养自然 例3已知角日的顶点为坐标原点O, 生长。比如筒车问题，从实际情境抽象出匀 始边与x轴的非负半轴重合，点A(1,a) 速圆周运动模型，再关联三角函数定义，就是 (a∈Z)在角0的终边上，且|OA|≤3，则 知识融合与素养落地的典型，复习时要主动 tan8的值可以是。（写一个即可） 挖掘此类融合点，强化跨模块知识调用能力。 解析：由OA|≤3，可得1十a2≤9，解得 (二)拆解命题路径，靶向训练思维 一2√2≤a≤2√2。又因为a∈Z,所以a的值 剖析创新题“情境→抽象求解→应用” 的命题链条，针对探究性、逆向思维类题目， 可为-2、-1.012，则tang=号=a,所以 提炼“条件限制→范围推导→结论输出”的解 tan0的值可以是0或士1或士2。 题路径。比如角的终边问题，从模长限制解 故答案为：1(0，一1，士2均可。 不等式，结合整数条件筛选参数，再关联正切 创新点：①逆向思维（逻辑推理）：跳出直 定义，训练逆向推导、逻辑推理能力。针对生 接求三角函数值的常规，依托角的终边上点 活实际情境题，重点练习“实际问题数学化” 的坐标、模长限制与整数条件，构建“终边特 的建模过程，把文化、科技等素材转化为数学 征→参数范围→正切值”的逆向推导链。同 模型，提升数学建模、直观想象素养。 学们需通过解不等式1十a≤9（数学运算素 (三)紧扣核心素养，多维刷题复盘 养)，结合a∈Z筛选取值（逻辑推理素养）， 刷题时，标注每道题考查的核心素养，刻 驱动逆向思维，让知识应用与素养培育深度 意训练对应能力。做完题后，从“素养培育” 绑定。②概念理解（数学抽象）：以三角函数 角度复盘：思考解题中如何运用了抽象、推 定义为核心，将坐标、模长转化为a的限制条 理，哪些步骤体现了运算、建模。以向量与三 件，抽象出tan0与a的等价关系”，强化同学 角融合题为例，复盘向量数量积化简时的三 们对三角函数定义的数学抽象素养，凸显知 角恒等变换（数学运算），以及从向量关系推 识本质与素养关联。 导三角函数模型的过程（数学建模），让刷题 命题路径：①素养启动（概念关联）：借助 成为素养强化的载体。 角的终边上的点A(1,a)、模长|OA|≤3，关 (四)积累创新情境，拓展应用视野 联三角函数定义，让同学们用a表示tana, 平时多收集传统文化、生活科技等创新 启动数学抽象，建立知识与素养的初始连接。 情境素材，分析其与三角函数的结合方式。 ②素养进阶（运算推理）：推导a的范围（解不 比如筒车关联圆周运动、古代天文仪器关联 等式，数学运算)，结合a∈Z确定取值（逻辑 角度测量，积累这些情境，能提升“用数学眼 推理)，让素养随步骤深化，实现“条件转化→ 光观察世界”的素养。同时，尝试自主改编题 范围求解→值的推导”的素养落地闭环。 目，如给出现实情境，自己构建三角模型、设 ③素养输出（知识应用）：通过tanO=a输出 置问题，反向训练数学抽象与命题思维，让备 结果，检验同学们对三角函数定义的综合应 考从“被动解题”转向“主动创造”，深度契合 用，推动数学应用素养，完成从知识理解到素 核心素养导向。 养输出的完整过程。 总之，复习要以知识融合为载体，以命题 三、解题思维方法总结 路径为指引，以素养训练为核心，通过“理解 在基于核心素养导向下的三角函数创新 本质一拆解路径一刷题复盘一拓展情境”，让 题备考中，需多维发力，精准突破： 三角函数创新题备考精准对接核心素养，实 (一)悟透知识融合本质，筑牢素养根基 现知识与能力的双重突破。 聚焦三角函数与向量、解三角形、平面几 (责任编辑 王福华) 22