7 类型全剖析，问题妙求解-《中学生数理化》高考数学2025年10月刊

中学生表理化学创新降视 类型全剖析，问题妙求解 基于三角函数中参数ω的取值范围（或最值）的确定 ■山东省兰陵县第七中学 宋广霞 基于三角函数的应用场景，涉及参数。 范围（或最值）。 的取值范围（或最值）的确定问题，成为近年 二、借助单调性确定ω的取值范围 新高考数学试卷中的一大基本考点与常见题 借助三角函数的单调性，结合整体性思 型。依托三角函数的图像与性质，特别是结 维，综合单调区间的长度，并联系周期的大小 合三角函数中对应的基本性质加以合理切 来确定涉及参数“的关系式或不等式，实现 入，从不同视角层面与思维角度来创设，结合 参数ω的取值范围（或最值）的求解与确定。 参数ω的取值范围（或最值）的确定来达到全 结合给定区间上的单调性及其类型是构建不 面考查知识与能力的目的。本文结合实例剖 等式的前提。 析确定参数ω的取值范围（或最值）的技巧方 例2(2023一2024学年湖南省郴州 法与对应策略，以期抛砖引玉。 市教研联盟高一（上）期末数学试卷)已知函 一、借助周期性确定ω的取值范围 数f(x)= ② 借助三角函数的周期性，构建周期T与 2(sin wx+cos wx)(w>0)在区 参数“之间的关系式或不等式，往往是解决 间(，x)上单调递减，则实数ω的取值范围 参数”的取值范围（或最值）问题中最为直 接、有效的一个基本知识点。直接联系三角 为( )。 函数的周期公式是突破问题的关键。 A哈别 B.(. 例1(2023一2024学年上海市浦东 新区华东师大二附中高一（下）期中数学试 c[别 D.(0,2] 卷)为了使函数y=sin wx(w>0)在区间[0， 解析：函数f(x)= 2 (sin wx十cos wx) 1]上至少出现50次最大值，则w的最小值为 ()。 =sin(x+)水a>0)。由题意得子≥x A.98π B.197xC.19x 2 2 D.100元 吾-否，则T-≥，解得0<u≤2。当 解析：依题意，要使函数y=sin wx（w> 0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则 x∈（x)时，有< 4 <ox+牙< 该函数至少需要用49子个周期。所以 w+牙<紧。又函数fx)在区间（经）上 4 (49)×T=192×签≤1，解得m≥197x π3π 4 w 2 w十 4≤2， 故选B。 单调递减，所以。 元 ≥ 解得2≤w≤ 点评：借助三角函数的周期性来解决参 2w+ 数ω的取值范围问题时，关键是挖掘题设条 件，弄清周期T=2红与所给区间的关系，并结 子，即实数。的取值范围为[合，引] 故选C。 合三角函数的图像与性质等知识来构建对应 点评：借助三角函数的单调性来解决参 的不等式（组），从而得以确定参数仙的取值 数w的取值范围问题时，以正弦型函数为例， 18 解整数学摄州酒酒中学生教理化 相应的基本步骤为：①根据题意可知区间 间的长度、周期的大小等信息，给参数w相关 [x1,x门的长度不大于该函数的最小正周期 的关系式或不等式的构建创造条件，实现参 的一半，即，-≤号=5，求得0<w≤ 数的求解与应用。依托零点情况或零点个 数，合理构建满足条件的不等式。 工，一工②以单调递增，A>0为例，利用 元 例4(2023一2024学年江西省赣州 中学高一（下）第一次月考数学试卷)已知函 [or,十，，+]C[-受+2x,受 数f(x)=tan(owx十p)(w>0,g<2)的图 2kπ，k∈Z,解得w的取值范围；③结合第一 像经过点(0,3)，若函数f(x)在区间[0，π] 步求出山的范围对k进行赋值，从而求出 内恰有两个零点，则实数ω的取值范围是 (不含参数)的取值范围。 )。 三、借助最值（或极值，或值域）确定ω的 B[后) 取值范围 A层引 借助三角函数的最值（或极值，或值域）， c. [层》 结合整体性思维来切人与应用，合理构建与 解析：由条件知f(0)=tanp=3,|p 参数”相关的关系式或不等式，进而得以突 破与求解。确定函数的最值（或极值，或值 <受，所以9=吾，即f(x)=ian(ox+）。 域)为进一步构建不等式创造条件。 例3(2024年山东省济南市高考数 当x∈[0，]时，ax十答∈[管wx+]若 函数f(x)在区间[0，π]上恰有两个零点，则 学一模试卷)已知函数f(x)=sin(wx一 2x<十<3，解得号<<号 (w>0)在[0，]上的值域为 则 故选D。 实数ω的取值范围为 ,点评：借助三角函数的零，点来解决参数 解析：依题意，当x∈[0，]时，ax- ω的取值范围问题时，往往是借助三角函数 的零点个数求参数ω的取值范围。对于区间 ∈[-5，w-] 由函数)在[0，] 长度为定值的动区间，若区间上至少含有 个零，点，则需要确定含有k个零，点的区间长 上的值域为 2w- 度，一般和周期相关；若在区间上至多含有k 33 个零点，则需要确定包含十1个零，点的区间 解得号 10 ,即实数ω的取值范围是 长度的最小值。 其实，在解决与三角函数中参数w的取 [g] 值范围（或最值）相关的综合应用问题时，关 放填厂5,107 键在于全面理解并掌握三角函数的图像与性 33 质，结合图像的直观与性质的抽象，数形结合 点评：借助三角函数的最值（或极值，或值 或整体思维，结合三角函数中的基础知识，并 域)来解决参数ω的取值范围问题时，可以画出 合理融合其他相应的基础知识加以综合应 简图，利用三角函数的最值（或极值，或值域）或 用，巧妙结合相应的数学思维与技巧方法，正 结合三角函数的周期，列出关于参数仙的不等 确构造相应的关系式、不等式（组），从而实现 式，通过解不等式求解参数ω的取值范围。 对参数ω的取值范围（或最值）的确定与综合 四、借助零点确定ω的取值范围 应用。 借助三角函数的零点，可以有效确定区 (责任编辑王福华) 19