6 三角变换的“四变”技巧-《中学生数理化》高考数学2025年10月刊

中学生数理化 解题篇创新题追根溯源 高三数学2025年10月 0 三角变换的 “四变”技巧 ■江苏省沛县中学 冯良生 三角恒等变换及其应用，是分析与解决 变换，得以构建未知角与已知角之间的化归 三角函数及其相关综合问题中的一个重要手 与转化。 段。依托问题的题干与条件，合理联系起三 二、变名 角函数中相关角、函数、次幂，以及结构形式 三角函数变换中，涉及“名”的变换需明 与数值特征等之间的关系，可以给三角函数 确各个三角函数名称之间的联系，常用到同 问题的解决提供非常有效的帮助。而在实际 角三角函数的基本关系、诱导公式等，把正 三角恒等变换及其应用过程中，要依托条件， 弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余 挖掘内涵，切中脉络，进而巧妙实施“四变”解 弦等，通过互换关系或等价变形实现变名的 题技巧，正确应用三角函数公式，合理实施三 目的。 角变换，会使同学们正确、迅速、简捷地解题。 例2(2025年安徽安庆高考数学模 一、变角 三角函数恒等变换中，变角处理是其中 拟试卷)已知sin asin(答-a）=3cosa· 比较常见的一种变换形式，关键在于明确题 中相关非特殊角与特殊角、已知角与未知角 sin(e+若），则sim(2a+g)=( 等角之间的关系，进而加以合理变换与转化。 A.-1 B.-3 2 c.2 D. 例如：2a=(a十B)十(a一B),a=(a十B)-B 2 a-)+a,(年+a）+(贤-a)-,g 解析：由sin asin(g-a）-3cosa· 2×等。 n+,可得na停cs。sin) 例1 若cos(B-)cos是 停ine+2os心)，即s5ima+2g. =3cosa sin(日)sim登-号，则sin(28+）)- sin a cos a+3cos'a=0,即(sina+√3cosa)2 )。 =0,可得sina=一√3cosa,所以tana= 2√2 1 A. B.- D.- 2 sin 2a+2 3 6。所以in(2a+)- cos 2a=3 sin acos a cos'a- 1 解析：由和角余弦公式得0s(日-) 3,则cos(2p-）=2cos(日-号）-1 √3 sin acos&+ cos'a 1 √3tana cos'a+sin'a cos'a+sin'a 2 -1+tan'a 名，所以sin(2+5）=sim(2-+3） 1 1 -3 11 1+tan'a =1+3+1十32=-1。 cos(2B-）=名.故选A 故选A。 点评：三角恒等变换中的涉及函数名的 点评：三角恒等变换中的变角处理是基 于非特殊角与特殊角、已知角与未知角等角 变换技巧，以商数关系tana=sing的“切孩 cos a 之间的关系，合理拆分或巧妙配凑，通过不同 互换”与平方关系sina十cosa=1的“互余 角之间的关系，特别是“和”“差”“倍”“半”等 互换”等变名处理为主，通过合理的变名处 16 解整数学摄州酒酒中学生教理化 理，构建题设条件与所求结论之间的联系，巧 是在解题过程中，化相关的常数为相应的三 妙突破，有效解题。 角函数关系式，其中最为典型的就是常数“1” 三、变次 的变换：1=sin”a+cosa=sin90°=tan45 三角函数变换中，涉及“次”的变换，主要 等。在具体的三角变换中，常常根据题目条 是根据升幂、降幂公式：1十cos2a=2cosa, 件中的不同结构特征来选择不同的常数加以 1-cos 2a=2sin'a,1+sin 2a=(sin a+ 合理变换。 cos a )2,1-sin 2a=(sin a-cos a)2,cos'a= 例4已知a为第一象限角，B为第三 1+cos 2a ,sim'a=1-c9s2a等，通过“升次” 象限角，tana+tanB=4,tan atan B=√2+ 2 2 1,则sin(a十3)= 来统一角，“降次”来统一函数。 解析：因为α为第一象限角，3为第三象 例3(2025年山东泰安高考数学模 限角，所以π+2k元<a+B<2π十2kπ，k∈Z。 拟试卷)已知A为锐角，tan2A=2-sinA’ cos A 由tana+tanB=4,tan atan B=√2+l,可得 tan(A-B)=2v15 ,则tanB=( tan(a+β)= tan a+tan B =-2√2<0，故 1-tan atan 15 )。 A.- √15 B①G 可知3+2k元<&+B<2π+2kπ，k∈Z,即 2 17 17 a十B为第四象限角。所以cos(a十B)= C.-25 17 n cos (a+8) cos(a+B) 1 N sin2(a+8)+cos2(a+B) sin 2A 解析：因为tan2A= cos 2A 3,则有sin(a+g) 2sin Acos A cos A V1+tan(a++3) 1-2sinA 2-sinA,又A为锐角，cosA v1-cos(a+B)=- 2 >0,所以2sinA(2-sinA)=1-2sinA,解 3。 放填一2② 39 得sinA=子.所以c0sA= 点评：三角恒等变换中的“变数”技巧，主 4,tan A= 要是三角运算过程中的齐次化处理及同角三 sinA=/西 5。又因为tan(A一B)= 角函数应用等。解题过程中，为了实现齐次 cos A 化目的或其他对应的应用，经常将一些常数 2V15 15 ，所以tanB=tan[A-(A-B)]= (知1誓s,号)与和应的三角函 √152√15 数关系式、特殊角的三角函数值等进行互化 tan A-tan(A-B) 15 15 变形，给问题的进一步分析与求解创造条件。 1+tan Atan(A-B) 1+E×21⑤ 其实，熟练理解并掌握三角恒等变换中 15 15 的三角公式与基本技巧，综合三角函数的概 √15 1。 故选A。 念、公式与基本性质等，利用角、名称、运算形 式、关系式次幂及具体数值等的差异，寻求联 点评：三角恒等变换中的次数或次幂的 系，实现转化，可以更加有效、快速地解决相 变换技巧，往往是基于问题的统一性，借助三 角恒等变换公式转化为统一次幂的统一角来 应的三角函数综合应用问题。而基于三角恒 等变换中的“四变”（变角、变名、变次、变数） 分析与处理，再进一步统一函数，给问题的突 破与求解创造条件，是一个完美的辩证唯物 技巧，可以有效减少数学运算，优化三角解题 主义统一体。 过程，提高数学思维品质，提升数学解题效 益，养成良好数学习惯，培养数学核心素养， 四、变数 实现问题的最佳效益。（责任编辑王福华） 三角函数变换中，涉及“数”的变换，主要 17