4 平面向量中的最值(或范围)问题及其应用-《中学生数理化》高考数学2025年10月刊

中学生表理化学创新降视 平面向量中的最值（或范围）问题及其应用 ■江苏省沭阳如东中学 张森森 平面向量中的最值（或范围）问题，是立 足平面向量的基础知识，综合其他相关知识 sim(g-)+2≥-1+2 =一 2,当且仅当 与思想的一类综合问题，也是各类考试命题 sin(0-一）=-1时等号成立。 中的一类热点与难点问题。此类问题的综合 性强，场景变化多端，设置方式多样，成为全 所以m十n的最小值为一之 面考查平面向量及其相关知识的一个重要场 所，更是有效利用平面向量“数”与“形”的双 故填子 重性的一个重要体现。 点评：解决此类与系数有关的平面向量 一、与系数有关的最值（或范围）问题 的最值（或范围）问题时，关键在于利用平面 例1在△ABC中，AB=1,AC=2, 向量的线性运算及数量积公式等，合理构建 ∠BAC=60°，P是△ABC的外接圆上一点， 对应的关系式，在此基础上，合理利用基本不 若A下=mAB十nAC,则m十n的最小值为 等式放缩，或利用函数性质转化，或通过三角 函数的有界性等求其最值。 解析：在△ABC中，由余弦定理得BC 二、与数量积有关的最值（或范围）问题 =AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC=1 例2(1)已知在正△ABC中，其边长 +4-2×1×2×cos60°=3，所以BC=√3。 为2，若M,N分别为边BC,AC上的动点， 所以AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC, 且满足CN=BM,则AM·MN的最大值为 则AC为△ABC外接圆的直径。 如图1所示，以线段AC (2)已知⊙O1和⊙O,的半径分别为1 的中点为坐标原点O,CA所 和2，两圆外切于点P,若A,B分别为⊙O 在直线为x轴，建立平面直角 和⊙O2上的动点，且∠APB=120°，则 坐标系，易得A(1,0), PA·PB的最大值为一。 c(-1.0,B(经，），所以 图1 解析：(1)依题意，建立 如图2所示的平面直角坐标 a-(2,）ad=(-20). 系，则B(-1,0),C(1,0), A(0,√5)，所以BC=(2,0), 设P(cos0,sin0),则AP=(cos0-1, CA=(-1,3)。 图2 sin0)。 设BM=tBC(0≤t≤ 因为AP=mAB十nAC,所以(cos日 1),则CN=tCA(0≤t≤1)，则M(2t-1,0), N(1-t,5t)。 所以AM=(2t-1,-√3)，MN=(2 (受-2n号n),所以m=2 3 sin 0,n= 3t,W3t)。 所以AM.MN=(2t-1)×(2-3t)+ 2c0s+ 15 6 sin 0. (-5)×(3t)=-6t2+4t-2=-6(t 所以m十n= sin0-os0+号 1 ）广-专，所以当=子时，A·M取得 12 解数学摄州酒酒中学生教理化 最大值一专 (0,1),c=(x,y)。 所以(c一a)·(c一b)=(x一1，y)·(x, 故填一专 y-1)=x2+y2-x-y= 之，借助配方可知 (2)如图3所示，设 ∠APO,=8,则∠AO,P 点xy)满足(e-)'十(-）广=1 =元-20。而∠APB= 所以c-a1可以看作圆(x-之)十 爱，则∠BPO,=答-0，可 (-之）=1上一点到点(1,0)的距离，所以 知eo,] 图3 过点O1作OD⊥AP,可得|PA1= 1c-a的最大值为，√3-1)+(2-o)+ 2cos0,同理可得1PB=4cos(5-0) 1-1+② 2 所以PA.PB=1PA11PB1cos120°= 故选B。 8cos0cos(3-0）·(（-2）=-4cosg· (2)依题意，设向量a=OA,b=OB,c= O心，O币=一20A,如图4所示。 2cos20-2√3· 根据题设条件a·b= 1,a·c=一2，b·c=0,结 sin Ocos 0-- cos20-1-√3sin20= 合平面向量数量积的几何意 -2sin(29+石）-1≤-2-1=-3，当且仅 义，可得AB⊥OA,DC⊥ DO,OB⊥OC。 图4 当sin(20+晋)=1，即9=若时等号成立。 因为|b+c1=|b一c 所以PA·PB的最大值为一3。 =OB-OC1=|CB,结合平面儿何图形 的直观，可知CB|为夹在两平行直线AB 故填一3。 点评：解决此类与数量积有关的平面向 与CD间的线段长，所以当BC⊥AB时， 量的最值（或范围）问题时，一种思维方式是 |CB取得最小值3，则|b+c|的最小值 通过建立平面直角坐标系，利用坐标法来转 为3。 故选D。 化与运算；另一种思维方式是通过数量积的 定义，并结合相应的恒等式及其他知识来分 点评：解决此类与模有关的平面向量的 最值（或范围）问题时，侧重于代数法思维，就 析与应用。 是利用坐标法来构建与模相关的表达式，借 三、与向量模有关的最值（或范围）问题 助函，数思维、不等式思维或三角函数思维来 例3(1)已知平面向量a,b,c满足 确定最值；而侧重于几何法思维，就是借助向 a·b=0,a|=|b|=1,(c-a)·(c-b)= 量的模的几何意义，通过数形结合来确定对 2,则c一a的最大值为()。 应的最值或相关应用问题。 总之，在实际解决平面向量中的最值（或 A.√2 B.1+② 2 c D.2 范围)问题时，往往是通过坐标系下构建对应 函数的函数法、合理引入三角参数并结合三 (2)己知平面向量a,b,c满足|a|=1, 角函数的图像与性质应用的三角法、基本不 a·b=1,a·c=一2，b·c=0,则|b十c的 等式等不等式性质应用的不等式法，以及图 最小值为( )。 形几何性质的数形结合应用的图形法等来分 A.1 B.√2 C.2 D.3 析与处理，达到解决问题的目的。 解析：(1)依题意，不妨设a=(1,0),b= (责任编辑王福华) 13