2 例谈三角函数中ω与φ的取值范围问题-《中学生数理化》高考数学2025年10月刊

中学生表理化架学州衡幸新白 例谈三角函数中ω与φ的取值范围问题 ■甘肃省平凉市第四中学 周改玲 ■陕西省汉中市四。五学校 侯有岐（正高级教师，特级教师） 三角函数是高考的必考内容，其中求ω 与中的取值范围问题是热门考点。此类问题 所以k=0,则0<w≤之 主要结合函数的单调性、对称性、极值与最 所以的取值范围为0，] 值、零点等知识综合考查，需要同学们能够熟 故选B。 练应用三角函数的基本性质和图像。从近几 点评：若三角函数在区间[a,b]上单调递 年的高考情况来看，常在选择题中出现，难度 增，则区间[a,b]是该函数单调递增区间的子 稍大。本文就如何突破三角函数中参数“与 ?的取值范围问题做一些总结，以供同学们 集，可根据区间之间的包含关系，建立不等式 复习时参考。 (组)，即可求仙，P的取值范围。 题型一、三角函数的单调性与w,9的取 题型二、三角函数的对称性与w,9的取 值范围 值范围 例1 若函数f(x)=sin(ax十石) 例2已知函数f(.x)=2√2 cos wx· sn(ax+手)的图像在[o,] 上恰有一条对 2π1 上是增函数，则“的取 称轴和一个对称中心，则ω的取值范围为 值范围为( ) A.(o. n.(o. 解析：f(x)=22 cos wsin(ox+) 哈] c. D. 2co(incsi)- 解析：当x∈ [时ar+ sin2uu十cos2ur+1=2sin(2ax+不）+1. [+g+] 当“=0时，f(x)为常数函数，不符合题 意。 因为函数f(x)=sin(x十若) 当w>0,0≤x≤时，≤2x+≤ >0)在[，上是单调递增函数，所 云，要使1x)的图像在0，]上恰有一 w +吾≥-+2kk∈7 以 则 条对称轴和一个对称中心，则元≤“十牙< 3 十2kπ，k∈Z, 3π 5π w3 -8k,k∈Z, 当<0,0≤≤2时+≤2ar十 .1 0≤2+3k,k∈Z。 8 年≤紧，要使fu)的图像在0，】上恰有 -8k>0,k∈Z, 一条对称轴和一个对称中心，则一π<w十 又因为ω>0，所以 2 +3k>0,k∈Z, 4 6 程氯学学意费新费肉中学生凝理化 综上可得，的取值范围为(-平， 解析：因为x∈[0，]，所以2ax十号∈ [)。 [2wx+] 点评：已知三角函数的对称性，可利用对 因为函数f(x)在区间[0，π]上有且仅有 称轴、对称中心的坐标的一般形式，通过赋值 法求参数的值或范围。要注意在对称轴处函 3个极值点，所以警<2十晋≤受，解得 数取得最值，同时也是极值。 w 题型三、三角函数的最值（值域）与w,9 又因为函数f(x)在区间[0，π]上有且仅 的取值范围 例3 有2个零点，所以2x≤2元十否 <3π，解得 已知函数f(x）=sin wx一 sin(or+）w>0)。若f(x)在[0，x]上的 6 值域为 37 ?1,求w的取值范围。 综上可得，w的取值范围是 ) 故选B。 解析：f(x)=ain r-sin(ox+）= 点评：已知函数的零，点、极值点求ω， sin(ox-F）。 的取值范围问题的方法：一是利用三角函数 的图像求解；二是利用解析式，直接求函数的 当x∈[0，x]时，- wπ 零点、极值，点即可。注意三角函数的极值点 即为最大值或最小值，点，但要注意极值点只 号，又f(x)在[0，]上的值城为 能在区间内取得，而不能在区间端点处取得。 题型五、三角函数的周期性与w,9的取 即f(x)在[0，π]上的最小值为一 3 ，最大值 值范围 为1，结合函数的图像与性质有罗 例5设函数f(x)=2sin(w.x十p), 5 5 x∈R,其中a>0,9<。若f(g)=2, 综上可得，ω的取值范围是「5,5] f(g)=0,且f(x)的最小正周期大于2： 6’3 则( )。 点评：求三角函数的最值（值域）问题，主 2 要是整体代换ωx十p,利用正、余弦函数的图 A.w=3,9=12 像与性质求解，但要注意自变量的取值范围。 B.w= 题型四、三角函数的零点、极值点与w,9 12 1 11π 的取值范围 C.ω=39= 24 例4若函数f(x)=sin(2ar+) D.@- 7元 3,9=24 (w>0)在区间[0，π]上有且仅有3个极值点、 解析：由f()=2f( =0,可知 2个零点，则ω的取值范围是( )。 A制 () x-誓是函数了x)的对称轴且在此处取得 c》 (剖 最大值，(，0)是函数f)的对称中心 中学生表理化驾极学”袋幸新自 设函数∫(x)的最小正周期为T,则 2,所以g(x)=2sin(2x十 8 9)(|pπ)。 5r-3孤-2k+1)T(k∈Z),结合T=2红得 5 8 4 4 因为点(-2)在 2(2k+1(k∈2)。又f(x)的最小正周 g(x)的图像上，所以 3 期大于2x,所以0<a<1,故w=号。 2 2sim(g+)--2,所以 图1 由f(）=2,即2sim(×+e)=2 2x十2k元， 3 k∈Z。 可知10x 24 9=2k元十受(k∈Z),即9=2kπ十 因为|<π，所以9= 所以gx) k∈Z.因为p<x,所以g=是 2sin(2x+）. 故选A。 点评：本题首先根据已知条件确定对称 由题意可知，f(x)=g(x-) 轴和对称中心，从而确定周期T的范围，然 2sin 票求得 [2(e-)+】=2sin2x+) 后利用周期T与w的关系式|w= 所以f()=2sin(2×管+)- ω的值或范围，最后根据∫ =2及19< π确定中的值，考查数形结合的思想方法。 2sim(6x-+）-1. 事实上，观察三角函数的图像，我们可以寻找 点评：对于三角函数y=Asin(wx十9) 函数的周期，如：(1)图像中如果显示出相邻 (A>0,w>0)来说，通过图像求参数w的值， 两个最大值或是两个最小值的横向距离，则 关键是根据图像确定函数的周期T,则ω 可获得一个“T”;(2)图像中如果显示出相邻 严。求时常用的方法有：)代入法： 的两个对称中心，或相邻的一个最大值与最 小值，或相邻的两条对称轴等，通过求其横向 把图像上的一个已知点代入（此时要注意 该点是在上升区间上还是在下降区间上)， 距高则可我得“雪”：(3)在图像中如果显示出 或把图像上的最高，点或最低，点代入；(2)五 点法：往往以寻找“五点法”中的特殊点作 相年的对称中心与对称轴等，即可获得工”； 为突破口，若能求出离原点最近的右侧图 (4)在图像中如果显示点的位置的平移，可以 像上升（或下降）的“零点”横坐标x,则令 通过对应关系寻找“T”;(5)有时我们可能找 wx。十9=0（或wx。十9=π），即可求出9的 不到一个周期或部分周期，但可以通过求周 取值范围。 期的范围来获得“w”的范围。 总之，y=Asin(wx十P)的图像源于y= 题型六、三角函数的图像与w,9的取值 sinx,y=Acos(wx十9)的图像源于y= 范围 cosx,y=Atan(wx十p)的图像源于y= 例6已知函数g(x)=2sin(wx十p) tanx,无论题目的背景换成什么，其本质不 (ω>0，|p<π)的部分图像如图1所示，将 变，都是通过正弦函数、余弦函数、正切函数 的图像和性质来解决，因此，借助三角函数的 函数g(x)的图像向右平移天个单位长度，得 6 性质求解函数解析式中参数ω，p的取值范 到函数f(x)的图像，则 /35元 围问题，应在熟悉基本三角函数图像的基 12 础上，通过掌握参数ω，中与三角函数的周 解析：由图1可知，周期T=π，w= 2π 期性、单调性、对称性和最值等之间的密切 8 高三数学4车新指月中学生教理化 知识篇科学备考新指向 入入入入入入六入入入入入个入入入六入入入六入入入入入入六入入入入入个 联系，利用整体和数形结合等思想方法，把复 问题的能力，只有抓住概念的本质，把数学思 杂问题简单化、熟悉化，才能更有效地破解求 想方法贯穿于数学解题中，才能提高思维水 参数w,p过程中的难点。 平，培养解题能力，提升数学学科核心素养， 三角函数具有几何和代数两个特征，命 从而适应考试题目的创新。 题专家往往利用它来考查同学们分析和解决 (责任编辑王福华) 9