1 平面向量典型问题的常用策略-《中学生数理化》高考数学2025年10月刊

超氯学色新月中学生款理化 平面向量典型问题的常用策略 ■江苏省无锡市第一中学钱铭 向量是近代数学中重要和基本的数学概 解析：因为AC=入AM+BD=入(AB+ 念之一，是高中生必须理解和掌握的数学概 Bi)+u(BA+A市)=入(A店+之AD)十 念。向量具有大小和方向两个特征，兼具数 与形的双重特性，是沟通代数与几何的重要 (-A店+A市)=a-)A店+（位+）Ai, 工具，形成了自身独特的知识体系和思想方 入一=1， 法体系。学习好向量知识的关键在于要求同 且AC=AB+AD,所以 解得入= 学们在理解掌握向量基本概念、基本运算的 += 基础上，必须充分理解向量丰富的实际背景 4 5 和几何背景，综合运用代数方法和几何方法 故选B。 解决一些与数学有关的实际问题，提升数学 反思感悟：(1)向量线性运算的基本原 运算能力和综合分析思维能力。近几年的高 则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量 考试卷围绕平面向量的概念、平面向量的运 的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一 算、向量基本定理及坐标表示、向量的应用等 个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的 内容进行设置，不刻意追求知识的覆盖面。 理解和运用要注意向量的大小和方向两个方 除了对基本知识、基本技能的考查，还重点考 面。(2)向量平行的等价条件：设a=(x1, 查同学们进一步发展所需要的数学抽象、数 y1),b=(x2,y),其中b≠0，则a∥b台a= 学运算、直观想象等数学学科核心素养。 入b台x1y,一x2y1=0。(3)三点共线的等价条 一、平面向量的基本概念和基本运算的 件：A,B,C三点共线→存在入∈R,使得A 灵活运用 =AAC成立台存在m,n∈R,使得OA= (一)向量的线性运算 mOB十nOC成立，其中m十n=1。 向量的线性运算有平面向量及其坐标的 (二)向量的数量积运算 加法、减法和数乘等运算。从形式上看，向量 平面向量的数量积是向量的核心内容， 的线性运算类似于实数与多项式的运算，所 重点是数量积的运算，利用向量的数量积判 以实数与多项式运算中的去括号、移项、合并 断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算 同类项等规则在向量的线性运算中都可以使 向量的长度等。本部分通过向量的数量积运 用。但这种相似仅仅是体现在形式上，在具 算，提升同学们的逻辑推理和数学运算等素 体意义上则有明显不同，比如向量加法的运 养。 算法则是三角形法则和平行四边形法则等。 例2若等边△ABC的边长为3，现平 本部分通过向量的线性运算，培养同学们的 面内有一点M满足C成-C成+C,则 数学运算和逻辑推理等素养。 例1如图1所示，在 AM·BM的值为( )。 正方形ABCD中，M是BC A号 B.-2 c号 D.2 的中点，若AC=XAM+ 解析：因为AM=CM-CA,BM=C BD,则入十4等于( )。 CB,所以AM·BM=(CM一CA)· A号 B. 3 图1 C成-G)-(}+2-c)·(3成 c D.2 +2-)-(-)·(-子应 3 中学生表理化架学州衡幸新白 +)-+成.c厨- 系求得|OA|=2√5，设OD=xOB,O元 2 ×9+2×3×3×c0s60°- ×9 1 ,结合平面向最线性运算及余张定理可 知，当A,D,F三点共线时取得最小值 一2。故选B。 解：作出符合题意的图形，如图2所示。 例3已知平面向量a=(2,入)，b= (1,-2),c=(-1,),若a∥b,b⊥c,则a+b 由条件知Oi1-1O成1sm冬=4× 与b十c所成角的余弦值为_一。 解析：因为a=(2,入)，b=(1,一2)，c= 25。设0市-x0成，0成-2Oi,则1x0成 （一1)，ah,bLc,所以是-A =21×(-1) o1+0成-2o-1oi-o1十 1OD-O龙|=1AD1+1E市1。 十（一2）4=0，解得入=一4，=一 2,所以a 作E关于直线OB的对称点F, =2,-4),c=(-1,-2）,所以a+b=(3, 连接OF,AF,，AD,FD,则 OF|=|OE|=√3，∠FOA= -6),b+c=(0,-受)，所以cos(a十b,b+ 2∠BOA= ξ，所以A1十 图2 (a+b)·(b+c) 15 c〉= 2w5 ED=|A市1+FD1≥|A京|。 a+bb+c 35× 5 50 在△AOF中，由余弦定理得|A下|= 反思感悟：(1)向量数量积的两种计算方 IOF+10A1-21OF1.I0AIcos3 法：①定义法：当已知向量的模和夹角日时， a·b=a||b|cos0,有时需要注意结合平面 A√3+12-2×5×25×三=3，所以1A市 向量基本定理和向量共线定理去表示向量； ②坐标法：当已知向量a=(x1,y1),b=(x2, +1ED1=AD1+1FD1≥1A京=3，当且仅 y2)时，a·b=x1x2十y1y2。(2)利用向量数 当A,D,F三点共线时取等号，所以|xOB一 量积可以解决以下问题：设a=(x1,y1),b oi1+o-2o ,x∈R的最小值为3。 (x2,y2),①两向量垂直的等价条件：a⊥b曰 故选C。 a·b=0台x1x,十y1y2=0(a,b均为非零向 三、三角法解向量取值范围问题 量)；②求向量的模：|a|=√x十y;③求两 例5已知平面直角坐标系xOy中， 向量夹角的余弦值(0≤≤0≤元，a,b为非零向 OA1=Oi1=√2,1AB1=2,设C(3,4),则 量)：cos0= a·b x1x2十y1y2 lallbl √xi+yi√Wx+y 2CA+AB|的取值范围是( )。 二、运用几何法解决向量最值（或范围） A.[6,14 B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12] 问题 解法一：（三角法）依题意可得OA2十 例4已知∠OBA=空，O1=4,且 O店1=4=AB12,则OA⊥OB。不妨设 AB⊥OA,则1xO店-OA1+xOB A(√2cos0,√2sina),0∈R,则B√2cos0+ 2 ,x∈R的最小值为( )。 2)2sim(9+)）,即B(-2sin0w巨cos0 3 于是CA=(-3+√2cos0,-4+2sin8), A.25 B.2√5 C.3 D.2 2CA=(-6+2√2cos0,-8+2√2sin8), 分析：根据题意画出图形，并利用位置关 AB=(-2 sin 0-2 cos 0,2 cos 0- 知识篇科学备考新指向 高三数学2025年10月 中学生数理化 √2sin0),所以2CA+AB=(-6+√2cos0- (y>0),则4+1 十y十的最小值为( )。 x √2sin0,-8+√2sin0+√2cos0),则|2CA +AB|2=(-6+2cos0-√2sin0)2+(一8 A R号 C.3 D.9 +√2sin0+√2cos0)2=36-12(√2cos0 解析：因为M为线段BC的中点，所以 √2sin0)+2-4sin0cos0+64-16(√2sin日 Ai=合(A店+AC).又因为AG=2G.所 +√2cos0)+2+4sin0cos日=104 (28√2cos0+4√2sin日)=104-4√2(7cos0 以AG=号Ai=子A+Ad)。又A丽= +sin0)=104-40sin(0+9),其中tan9= xAP(x>0),AC=yAQ(y>0),所以AG= 7。所以|2CA+AB?的最大值为144，最小 值为64，所以|2CA+AB|∈[8,12]。故选 专A市+苦Ad。又P,G,Q三点共线，所以 D。 解法二：（几何法）因为1OA|=1OB|= √2，|AB|=2,所以线段AB是以O为圆心， (层+z+(+1门-[4+ √2为半径的圆上长度为2的一条弦。设AB x 4(y+1) y+1+ 十 ≥[5 1 的中点为M,则OM=1,所以点M在以O为 圆心，1为半径的圆上。因为C(3,4),所以 x4(y+1)1 4,当且仅当 9 x |CO|=5,所以1CM1∈[|CO|-1,1C0|+ 2√y+1 x +1 1]=[4,6]。又因为2CA+AB1=1CA+ 4(y+1 ,即x=8 3y= 3时取等号。故选B。 CB1=2CM1,所以|2CA+AB|的取值范围 反思感悟：求最值（或范围）的常用方法： 是[8,12]。故选D。 (1)利用三角函数求最值（或范围）；(2)利用 解法三：因为OA|=|OB|=√2，|AB 基本不等式求最值（或范围）；(3)建立坐标 =2,由AB=OB-OA平方可得，OA·OB 系，设变量构造函数求最值（或范围）；(4)数 =0,所以0.0)=受。因为2C+A店- 形结合，应用图形的儿何性质求最值（或范 围)。 2(OA-OC)+OB-OA=OA+OB-20C, 总之，对于平面向量的复习，要追本溯 O元1=√32+4=5，所以|2CA+AB12= 源，构建向量知识结构体系。概念、定理与运 OA'+OB+40C-4(OA+OB).OC=2 算法则是知识运用的前提，要熟练掌握向量 +2+4×25-4(OA+OB)·OC=104 数量积的运算及其儿何意义，掌握向量平行、 4(OA+O)·OC。又因为|(OA+OB)· 垂直的数量表示，掌握与长度、角度有关的运 O元1≤1OA+O馆11O元|=5×√2+2=10， 算技巧及坐标运算等核心知识。紧扣数与形 即-10≤(OA+Oi)·OC≤10，所以|2CA 两条主线，重视向量的儿何背景。例如，三角 +AB1∈[64,144]，即|2CA+AB|∈[8， 形四心问题的向量表述必须建立在理解的基 12]。故选D。 础上，要明晰诸如三点共线的充要条件、各种 四、向量共线的运用 情形引发的隐形圆、极化恒等式、绝对值不等 例6如图3，在△ABC 式等常见模式。既要善于转化图形关系，把 中，M为线段BC的中点，G 向量问题几何化，使得问题简洁直观；又要能 为线段AM上一点，AG= 把几何问题向量化，通过平面向量运算解决 2GM,过点G的直线分别交 一些几何问题。数形结合、类比联想是解题 直线AB,AC于P,Q两点， 的核心数学思想方法。 AB=xAP(x>0),AC=yAQ 图3 (责任编辑王福华) 5