16 例说四类特殊的圆-《中学生数理化》高二数学2025年10月刊

中学生表理化然氨学新鼻 例说四类特殊的圆 ■湖北省巴东县第三高级中学 廖庆伟 圆，是一个看起来简单，实际上十分奇妙的 形状。2000多年前，墨子（约公元前468一前 心，青为半径的圆。 8+4)+0 376年)给圆下了一个定义：圆，一中同长也。意 48 ,故点M的轨迹在曲线C内， 思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周上任意一点 3 的距离都相等。下面举例分析四类特殊的圆， 即两圆为内含关系，故C错误。 即阿氏圆、蒙日圆、康威圆和九点圆。 因为点C(一4,0)到直线3x-4y一13= 一、阿氏圆 0的距离h= [3×(-4)-0-13=5,所以曲 √32+(-4) 例1（江苏扬州大学附属中学2024 线C上的点到直线3x一4y一13=0的最小 年高二月考)（多选题）已知在平面直角坐标 距离为h-4=1,故D正确。 系xOy中，A(-2,0),B(4,0)。点P满足 故选ABD。 IPA 1 PB=2,设点P所构成的曲线为C,下列 评注：古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧 几里得、阿基米德齐名。他发现：平面内到两 结论正确的是()。 个定，点A、B的距离之比为定值入（入≠1）的，点 A.曲线C的方程为(x+4)2十y2=16 所形成的图形是圆。后来，人们将这个圆以他 B.在曲线C上存在点D,使得点D到点 的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，筒称阿氏圆。 (1,1)的距离为3 二、蒙日圆 C.在曲线C上存在点M,使得MO|= 例2（湖北楚天教科研协作体2025年 2MA D.曲线C上的点到直线3x一4y一13= 高二期中考试)已知椭圆+ =1(a>b>0) 0的最小距离为1 的蒙日圆方程为x2十y=a2十b。若圆(x 解析：设P(x,y),则PA PBI 4+y=16与椭圆后+ =1的蒙日 √(x十2)+y ，整理得4(x+2)2+4y 1 圆有且仅有一个公共点，则n的值为( )。 √/(x-4)+y2 A.士3 B.土√33 =(x一4)2十y2,即(x十4)2十y2=16,故A C.士√34 D.土6 正确。 因为曲线C是以C(一4,0)为圆心，4为 解标：对于稀园后+苦-1，其中。-6。 半径的圆，所以点(1,1)到C(一4,0)的距离d b2=3,根据蒙日圆方程x2十y2=a2十b2,可 =√1+4)十1=√26，故曲线C上的点到 得该椭圆的蒙日圆方程为x”十y2=6十3= (1,1)的距离的取值范围为[√26一4，√26十 9,其圆心坐标为(0,0)，半径r1=3。 4幻。显然3∈[√26一4，√26+4]，故B正确。 圆(x一4)2十(y一n)2=16,其圆心坐标 设M(m,n),由|MO|=2|MA|,得 为(4，n),半径r2=4。 因为两圆有且仅有一个公共点，所以两 m+n=4m+2)'+4,即(m+)广+ 圆内切或外切。 n2= ,故点M的轨迹是以(-，0)为圆 16 当两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆 的半径之和。 42 露学新视费晋中学生表理化 两圆的圆心距d=/(4一0)2十(n一0)2 √+6=√37，即由△ABC生成的康威圆 =√I6十n,由d=r1十r2,得√16十n= 的半径为√37。 3十4=7，两边平方得16十n2=49,解得n2= 故选A。 33,则n=士√33。 评注：在同圆或等圆中，圆心到相等弦所 当两圆内切时，两圆的圆心距等于两圆 在直线的距离相等。 的半径之差的绝对值。 四、九点圆（欧拉圆） 由d=1r1-r2|,得√16+n=13一4|= 例4（河北秦皇岛2025年高三联考） 1,两边平方得16十n=1(无解)。 平面几何中有一个著名的定理：△ABC的三 综上，n的值为土√33。 条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心 故选B。 连线段的中点共圆，该圆称为△ABC的九点 评注：蒙日圆是19世纪法国著名数学家 圆或欧拉圆。若A(一2,1)，B(4,1),△ABC 加斯帕尔·蒙日提出的。当两圆有且仅有一 的垂心为G(3,3),则△ABC的九点圆的标 个公共点时，分两圆内切或外切两种情况。 准方程为( )o 三、康威圆 Ax2+(6+)- 64 例3（福建晋江五校2025年联考） B.(x+2)2+(y+ 145 “康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以 64 为豪的研究成果之一。其定理的内容为： C.(x-2)+(y 145 64 △ABC的三条边长分别为1BC|=a,|ACI =b,|AB|=c,延长线段CA至点A1,使得 D.(x+2)+(y 17) 145 8 64 |AA1|=a,延长线段AC至点C2,使得 解析：因为A(一2,1)，B(4,1),G(3,3), CC,|=c,以此类推得到点A2,B1,B,,C1, 所以AB的中点为D(1,1),AG的中点为 那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆。已 知a=4,b=3,c=5,则由△ABC生成的康 E(合2)，BG的中点为F(台2) 威圆的半径为( )。 设△ABC的九点圆方程为x2十y2+ A.37 B.√39 mx十ny+t=0,代人D、E、F三点的坐标， C.√4I D.43 1+1十m+n十t=0, 解析：因为a=4,b=3,c=5,即a2十b2= 1 1 c2,所以△ABC为直角三角形，∠ACB=90°。 可得4+4+2m十2n十t=0, 如图1，设M是由 C 49 4十4士2十22十=O。 △ABC生成的康威圆的 圆心，因为|A1C21= 4,即x+ 解得m=一4，n三一4，t一25 |A,B1l=|B,C1|=a+ =0,则△ABC的九点圆 b十c,所以M到直线 + AB,BC,CA的距离相 图1 等，从而M是直角 的标准方程为x-2+(一）)-。 64 △ABC的内心。 故选C。 评注：△ABC的三条高线的垂足、三边 作MN⊥AC,交AC于N,连接MC2,则 中点及三个顶点与垂心连线段的中，点是该三 IMN|=a+b-c=4+35=1,NC, 2 2 角形中的特殊，点，可设圆的一般方程或标准 a+b+c=4+3+5=6,所以|MC,【- 方程，用待定系数法求圆的方程。 2 2 (责任编辑赵倩) 43